On ne considère que des instances où la fonction de coût vérifie l'inégalité triangulaire.
Le problème dans le cas métrique est APX-difficile, même avec des poids 1
ou 2, ce qui empêche l'existence d'un schéma d'approximation en temps
\end{alertblock}
polynomial. Le facteur de 3/2 est en fait le meilleur facteur connu.
\end{frame}
\begin{exampleblock}{Exemple}
Cas de la distance euclidienne dans le plan. Facilement représentable.
\subsection{Intérêt pratique}
Mais le problème de décision associé reste \NP-complet.
\begin{frame}
\frametitle{Applications}
\end{exampleblock}
\begin{itemize}
\ds
\item Logistique
\item Réseaux
Bonne nouvelle : le problème métrique est approximable, et même à ratio $123/122$\cite{Karpinski, M., Lampis, M., & Schmied, R. (2015). New inapproximability bounds for TSP. Journal of Computer and System Sciences, 81(8), 1665-1677.}.
\item Robotique \cite{brassai2012optimization}
\item Biologie (génétique)
\item Machine Learning~: prédiction des fonctions
des protéines \cite{Johnson2006}
\end{itemize}
\end{frame}
\end{frame}
\subsection{Banque de problèmes}
\begin{frame}
\begin{frame}
\frametitle{TSPLIB}
\frametitle{TSPLIB}
\begin{block}{TSPLIB95}
\begin{block}{TSPLIB95}
TSPLIB is a library of sample instances for the TSP (and related problems) from various sources and of various types.
TSPLIB une librairie d'instances de TSP avec entre $10$ et $10000$ sommets.
\end{block}
\end{block}
\begin{exampleblock}{Parsing}
\begin{exampleblock}{Parsing}
Données sous forme de :
\begin{itemize}
\begin{itemize}
\itemMatrice
\itemmatrice explicite des coûts,
\itemEuclidien
\itemcoordonnées des sommets dans le plan (distance euclidienne)
\itemDistance GÉO
\itemdistance géodésique (lat, lon).
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{exampleblock}
\end{exampleblock}
...
@@ -128,44 +116,51 @@
...
@@ -128,44 +116,51 @@
\section{Approximation}
\section{Approximation}
\subsection{La 2OPT}
\begin{frame}
\begin{frame}
\frametitle{L'algorithme 2OPT}
\frametitle{L'algorithme 2-OPT}
\begin{block}{Algorithme}
\begin{block}{Algorithme pour optimiser un tour}
Tant qu'on peut trouver deux arêtes
Tant qu'on peut trouver deux arêtes
du tour $(v_1,v_2)$ et $(v_1', v_2')$ telles que
du tour $(v_1,v_2)$ et $(v_1', v_2')$ telles que
le tour en les remplaçant par $(v_1, v_2')$ et $(v_1',v_2)$
le tour en les remplaçant par $(v_1, v_2')$ et $(v_1',v_2)$
a une valeur inférieure, on effectue cette opération.
a une valeur inférieure, on effectue cette opération.
\end{block}
\end{block}
DESSIN
\begin{block}{Description équivalente}
On recherche un segment du tour
à renverser en raisonnant sur les
sommets.
\end{block}
\begin{alertblock}{Temps}
\begin{alertblock}{Temps}
Temps très long, potentiellementp pas borné !!!
La complexité en temps dans le pire des cas est un problème ouvert.
Néanmoins, cas euclidien avec quelques restrictions,
on peut se ramener à un truc bien
Cependant elle est raisonnable en pratique.
\end{alertblock}
\end{alertblock}
\end{frame}
\end{frame}
\subsection{La 2 approximation}
\begin{frame}
\begin{frame}
Dans le cas de l'inégalité triangulaire. Calcul en temps $O(|G|^2)$.
\frametitle{Garantie d'approximation}
\begin{block}{2-approximation}
Basée sur un arbre couvrant de poids minimal. Complexité quadratique.
\end{block}
\begin{block}{1.5-approximation}
Algorithme de Christofides : arbre couvrant de poids min + couplage de poids minimum. Complexité cubique.
