chap2.tex 22.5 KB
Newer Older
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668
\documentclass[main.tex]{subfiles}
\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
\begin{document}
\section*{Introduction et rappels}
\subsection*{Types de modulations}
Vu précedemment :
On veux transposer l'information d'un signal $x(t)$ appelé signal modulant
dont le spectre est :
  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}%
      [axis lines = middle,
      height = 5cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|X(f)|$},
      xmin = -5 ,xmax = 5, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-3,3},
      xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
      ytick=\empty]
      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-3,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (3,0)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
\end{center}


\begin{defin}
  Signal modulé :
  \[
    s(t) = A(t)\cos(\Phi(t))= A(t)\cos(2\pi f_0 t + \phi(t))
  \]
  où:
  \begin{description}
  \item[A(t)] est l'amplitude instantanée
  \item[$\Phi(t)$]  est la phase instantanée
  \item[$\phi$]  est la déviation de phase par rapport a la porteuse
  \end{description}
\end{defin}

\begin{prop}[Modulation d'amplitude]
  On agit sur l'amplitude de la porteuse.
  \[
    A(t) = k_ax(t)+k_0
  \]
  Avec $k_a$ et $k_0$ des constantes.

\end{prop}
\begin{prop}[Modulation de phase]
  On agit sur la déviation de phase
  \[
    \phi(t) = k_p x(t)+\phi_0
  \]

\end{prop}
\begin{prop}[Modulation de fréquence]
  On agit sur la déviation de fréquence:
  \[
    \Delta f = \frac{1}{2\pi}\deriv[\phi(t)]{t} = k_F x(t)
  \]
\end{prop}

\section{Modulation d'amplitude}
\subsection{Génération d'un signal AM à double bande latérale}
\subsubsection{porteuse supprimée}
\begin{center}
  \begin{circuitikz} \draw
    (0,0) node[mixer,box,anchor=east] (m) {}
    to[amp,box,>,-o] ++(2.5,0) node[right]{$s(t) = kA_0x(t)cos(2\pi f_0 t)$}
    (m.west)  node[inputarrow] {} to[short,-o] ++(-0.8,0) node[left]{$x(t)$}
    (m.east) node[below right]{$k$}
    (m.south) node[inputarrow,rotate=90] {} --
    ++(0,-0.7) node[oscillator,box,anchor=north](osc) {}
    (osc.east) node[right]{$p(t) = A_0\cos{2\pi f_0 t}$};
  \end{circuitikz}
\end{center}

On en déduit le spectre suivant :
  \begin{align*}
    S(f) &= \frac{1}{2}kA_0X(f) * (\delta(f-f_0)+\delta(f-f_0)) \\
         &=\frac{1}{2}kA_0(X(f-f_0)+X(f+f_0))
  \end{align*}
  On peux tracer son spectre :
  \begin{figure}[H]
    \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}%
      [axis lines = middle,
      height = 5cm,width =15cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|S(f)|$},
      ytick=\empty,
      xmin = -10 ,xmax = 10, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-9,-6,-3,0, 3,6,9},
      xticklabels = {$-f_0-F_M$,$-f_0$, $-f_0+F_M$,$0$,$f_0-F_M$,$f_0$, $f_0+F_M$,},
      ]
      \addplot+[no marks,color =blue] plot coordinates
      {(-9,0) (-9,1) (-6.5,0) (-5.5,0) (-3,1) (-3,0)};
      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
      {(9,0) (9,1) (6.5,0) (5.5,0) (3,1) (3,0)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Spectre dans le cadre de la modulation d'amplitude à porteuse supprimée}
  On a un spectre à \emph{double bande latérales} et sans présence explicite de la raie de la porteuse.
\end{figure}

\subsubsection{Modulation d'amplitude à porteuse conservée}
\begin{center}
  \begin{circuitikz} \draw
    (0,0) node[mixer,box,anchor=east] (m) {}  ++(2.5,0) node[mixer,anchor =east] (m2){}
    (m.west)  node[inputarrow] {} to[short,-o] ++(-0.8,0) node[left]{$x(t)$}
    (m.east) node[below right]{$k$}
    (m.east) --  (m2.west) node[inputarrow]{} node[right=-0.2em]{+}
    (m.south) node[inputarrow,rotate=90]{} -- node[midway,left](middle){}
    ++(0,-0.7) node[oscillator,box,anchor=north](osc) {}
    (osc.south) node[below]{$p(t) = A_0\cos{2\pi f_0 t}$}
    (middle) -| (m2.south) node[inputarrow, rotate=90]{} node[above=-0.2em]{+}
    (m2.east) -- ++(1.5,0) node[inputarrow]{}node[right]{$s$};
  \end{circuitikz}
\end{center}
\begin{prop}
Le signal modulé avec porteuse conservée est de la forme:
\[
s(t)  = A_0 (1 + mx(t))\cos(2\pi f_0 t)
\]
\begin{itemize}
\item $e(t) = \frac{x(t)}{max(|x(t)|)}$
\item $m = k.max{|x(t)|}$ est le taux de modulation.
\end{itemize}
\end{prop}
\subsubsection{Sur-,  et sousmodulation}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}
        [samples=100,ticks=none,width=\linewidth,
        domain =-10:10]
        \addplot+[no marks, smooth]{(1+0.3*sin(2*pi*5*x))*cos(2*pi*50*x)};
        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{1+0.3*sin(2*pi*5*x)};
        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{-1-0.3*sin(2*pi*5*x)};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \subcaption{$m<1$}
  \end{subfigure}%
  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}
        [samples=100,ticks=none,
        domain =-10:10]
        \addplot+[no marks, smooth]{(1+3.3*sin(2*pi*5*x))*cos(2*pi*50*x)};
        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{1+3.3*sin(2*pi*5*x)};
        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{-1-3.3*sin(2*pi*5*x)};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \subcaption{$m>1$}
  \end{subfigure}\\
  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}
        [samples=100,ticks=none,
        domain =-10:10]
        \addplot+[no marks, smooth]{(1+1*sin(2*pi*5*x))*cos(2*pi*50*x)};
        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{1+1*sin(2*pi*5*x)};
        \addplot+[no marks, dashed, color = black]{-1-1*sin(2*pi*5*x)};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \subcaption{$m=1$}
  \end{subfigure}
  \caption{Différentes modulations d'amplitude a porteuse conservée}
\end{figure}

\subsubsection{AM a porteuse conservée, spectre}
Sans surprise :
\begin{figure}[H]
    \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}%
      [axis lines = middle,
      height = 5cm,width =15cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|S(f)|$},
      ytick=\empty,
      xmin = -10 ,xmax = 10, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-9,-6,-3,0, 3,6,9},
      xticklabels = {$-f_0-F_M$,$-f_0$, $-f_0+F_M$,$0$,$f_0-F_M$,$f_0$, $f_0+F_M$,},
      ]
      \addplot+[no marks,color =blue] plot coordinates
      {(-9,0) (-9,1) (-6.5,0) (-5.5,0) (-3,1) (-3,0)};
      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
      {(9,0) (9,1) (6.5,0) (5.5,0) (3,1) (3,0)};
      \draw[-latex,blue] (axis cs:-6,0) -- (axis cs: -6,1.2);
      \draw[-latex,blue] (axis cs:6,0) -- (axis cs: 6,1.2);
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Spectre dans le cadre de la modulation d'amplitude à porteuse conservée}
\end{figure}

  On retrouve le même encombrement, toujours double bande latérale.

  \begin{prop}
    on défini le rapport entre puissance utile au final et la puissance émise :
    \[
      \rho = \frac{m^2 P_e}{1+m^2P_e}
    \]
  \end{prop}
  \subsection{Démodulation par détection d'enveloppe ou cohérente}

  Système peu couteux , mais nécessite $m < 1 $ :
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{circuitikz}
      \draw (0,0) to[open, v=$s(t)$] (0,2) to[D,l=$D_1$] (2,2) to[R,l_=$R_1$] (2,0)
      (2,2) -- (3.5,2) to[C,l_=$C_1$,v^<=$u(t)$] (3.5,0) (0,0) -- (2,0)node[ground]{} -- (3.5,0);
    \end{circuitikz}
    \caption{Circuit détecteur de crête}
  \end{figure}
  \begin{prop}
    Pour obtenir une bonne détection il faut :
    \[
      \frac{1}{2\pi f_0} \ll R_1C_1 < \frac{\sqrt{1-m^2}}{2\pi m F_M}
    \]
\end{prop}
\begin{proof}

\emph{issue de la préparation du TP3}

$D_1$ est une diode Schottky à faible tension de seuil, on la néglige donc dans le modèle de la diode considérée.
\begin{itemize}
\item Lorsque la diode est passante :
  \begin{center}
    \begin{minipage}[r]{0.4\linewidth}
      \begin{circuitikz}
        \draw (0,0) -- (2,0) -- (4,0) to[C,l_=$C_1$,v^<=$r(t)$] (4,-2) -- (0,-2) to[open,v=$s(t)$] (0,0)
        (2,0) to[R,l=$R_1$] (2,-2);
      \end{circuitikz}
    \end{minipage}%
    \begin{minipage}[l]{0.4\linewidth}
      le condensateur se charge et on a
      \[r(t)=s(t)\]
    \end{minipage}
  \end{center}
\item Lorsque la diode est bloquée:
  \begin{center}
    \begin{minipage}[r]{0.4\linewidth}
      \begin{circuitikz}
        \node (A) at (0,0){}; % pas propre
        \draw (2,0) -- (4,0) to[C,l_=$C_1$,v^<=$r(t)$] (4,-2) -- (2,-2)
        (2,0) to[R,l=$R_1$] (2,-2);
      \end{circuitikz}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[l]{0.4\linewidth}
      \begin{align*}
        i_c = -\frac{r(t)}{R_1} &= C_1 \dot{r}(t)\\
        \tau \dot{r}(t) + r(t) &= 0 \quad\text{; avec } \tau= R_1C_1\\
                       r(t) &= r_0e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}
      \end{align*}
      Avec $r_0$ valeur en début de la décharge ie $r_0=s(t_1) = S_p(1+m\cos(\Omega t))$.
    \end{minipage}
  \end{center}
\item Dans la phase de décharge : la pente de la droite de décharge est alors :
\[
  \left.\frac{dr(t)}{dt}\right|_{t=t_1} = -\frac{S_p}{R_1C_1}(1+m\cos(\Omega t))
\]
\item la pente de l'enveloppe vaut :
  \[
\left.\frac{ds(t)}{dt}\right|_{t=t_1} = -m\Omega S_p\sin(\Omega t_1)
  \]
  Pour que la restitution soit bonne il faut que la pente de la décharge soit \emph{légèrement} plus faible que la pente de l'enveloppe.
  \begin{align*}
    -\frac{S_p}{R_1C_1}(1+m\cos(\Omega t_1)) &< -m \Omega S_p\sin(\Omega t_1)\\
    R_1C_1 &< \frac{1+m\cos(\Omega t_1)}{m\Omega \sin(\Omega t_1)}
  \end{align*}

  On étudie donc la fonction :
  \[
    y(t) = \frac{1+m\cos(\Omega t)}{m\Omega \sin(\Omega t)}
  \]
  \begin{align*}
    \frac{dy(t)}{dt}= 0 &\iff  \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{sin(\Omega t)}+m \frac{1}{tan(\Omega t)}\right) = 0 \\
                        &\iff \frac{\Omega \cos(\Omega t)}{\sin(\Omega t)^2}-m\Omega\frac{1}{\sin(\Omega t)^2} = 0\\
                        &\iff  \Omega t_1 = arccos(-m)
  \end{align*}
  Alors :
  \[
    y(t_1) \leq y(\arccos(-m))=\frac{1-m^2}{\Omega m \sin(\arccos(-m))} = \frac{1-m^2}{\Omega m\sqrt{1-m^2}} = \frac{\sqrt{1-m^2}}{\Omega m}
  \]
  Donc :
  \[
    \boxed{R_1C_1 = \frac{\sqrt{1-m^2}}{2\pi F m}}
  \]

\item La modulation de la sinusoïde est trop forte pour pouvoir etre suivi par le montage détecteur de crète. En effet:
  \[
    R_1C_1 \xrightarrow{m \to 1} 0
  \]

\item
  Lorsque la fréquence du signal modulant se rapproche de la fréquence de la porteuse la détection crête ne fonctionne pas non plus (phénomène de battement).
\end{itemize}
\end{proof}
\subsubsection{Démodulation AM cohérente : principe}
\begin{center}
  \begin{circuitikz} \draw
    (0,0) node[mixer,box,anchor=east] (m) {}
    to[lowpass,box,>,-o] ++(2.5,0) node[right]{$d(t)$}
    (m.west)  node[inputarrow] {} to[short,-o] ++(-0.8,0) node[left]{$s(t)$}
    (m.east) node[below right]{$k$}
    (m.south) node[inputarrow,rotate=90] {} --
    ++(0,-0.7) node[oscillator,box,anchor=north](osc) {}
    (osc.east) node[right]{$p(t) = A_r\cos{2\pi (f_0 +\Delta f) t+\Delta\phi}$};
  \end{circuitikz}
\end{center}
On dispose de la porteuse à la reception (récupérer par VCO ou générée indépendamment).
\[
  u(t)=\frac{kA_rA_0}{2}x(t)(\cos(2\pi \Delta f t +\Delta\phi)+cos(2\pi(2f_0+\Delta f)t+\Delta\phi))
\]
Dans le cas de la porteuse supprimée ( en considérant $\Delta f = 0 $ et $\Delta \phi = 0$):

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
     \begin{axis}%
       [axis lines = middle,
       at = {(0,0)},
      height = 5cm,width =12cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|S(f)|$},
      ytick=\empty,
      xmin = -25 ,xmax = 25, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-11,11},
      xticklabels = {$-f_0$,$f_0$},
      ]
      \addplot+[no marks,color =blue] plot coordinates
      {(-12,0) (-12,1) (-11,0) (-11,0) (-10,1) (-10,0)};
      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
      {(12,0) (12,1) (11,0) (11,0) (10,1) (10,0)};
    \end{axis}
    \begin{axis}%
      [axis lines = middle,
      at = {(0,-5cm)},
      height = 5cm,width =12cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|U(f)|$},
      ytick=\empty,
      xmin = -25 ,xmax = 25, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-22,22},
      xticklabels = {$-2f_0$,$2f_0$},
      ]
      \addplot+[no marks,color =blue] plot coordinates
      {(-23,0) (-23,1) (-22,0) (-22,0) (-21,1) (-21,0)};
      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
      {(23,0) (23,1) (22,0) (22,0) (21,1) (21,0)};
      \addplot[no marks ,color=blue] plot coordinates
      {(1,0) (1,1) (0,0) (0,0) (-1,1) (-1,0)};
      \addplot[no marks, dashed, color=black]  plot coordinates
      {(-2.5,0) (-1,1.2) (1,1.2) (2.5,0)};
      \draw[-latex](axis cs:3,1) node[right] (box){
        \begin{tabular}{c}
          Passe-Bas,\\
          $F_M<f_c\ll2f_0$
        \end{tabular}
} (box) to[bend left] (axis cs:1.75,0.6);
    \end{axis}

    \draw[-latex] (0,1cm) to[bend right] node[midway,left]{Démodulation} (0,-4cm);
  \end{tikzpicture}

\caption{Spectre des signaux considérés}
\end{figure}
En $d(t)$ on retrouve bien $x(t)$ a un facteur multiplicatif pres.  (et une constante additive si porteuse conservée)

\paragraph{Remarque}: si on a pas un synchronisme parfait (phase et fréquence) les spectres se superposent en effet :
\[
  d(t) = \frac{kA_0A_r}{2}x(t)cos(2\pi\Delta f t+\Delta\phi)
\]
\subsection{Modulation AM particulière}
\subsubsection{Modulation d'amplitude en quadrature}
\subsubsection{Modulation à bande latérale unique}
pour réduire le support fréquenciel du signal modulé.
\subsubsection{Modulation à Bande latérale atténuée}

\section{Modulation angulaire : FM et PM}
\subsection{Principe, aspect spectral}

\begin{defin}
   \begin{description}
    \item[Déviation de fréquence]~\\
      $\Delta f(t) = \frac{1}{2\pi}\deriv[\phi(t)]{t}=k_Fx(t)$
    \item[Excursion en fréquence]~\\
      $\Delta f_{max}=\max |k_f x(t)|$
    \end{description}%
      \[
        s_{FM}(t)= A_0 \cos(2\pi f_0t +2\pi k_f \int_0^tx(\tau)d\tau)
      \]
  \end{defin}
\begin{defin}
\begin{description}
    \item[Déviation de phase]~\\
      $\Phi(t) = k_p x(t)+\phi(0)$
    \item[Excursion en phase]~\\
      $\Delta \Phi_{max}=\max |k_f x(t)|$
      \[
        s_{PM}(t)= A_0 \cos(2\pi f_0t +2\pi k_p x(t))
      \]
    \end{description}
\end{defin}


\begin{prop}
  Pour une modulante sinusoïdale $x(t) = A_X \cos(2\pi F_X t)$ on a :
  \[
    s_{FM}(t)=A_0 \cos\left(2\pi f_0 t +\frac{\Delta f_{max}}{F_X}sin(2\pi F_{X}t)\right)
  \]
  Et
  \[
    S_{PM} =A_0 \cos\left(2\pi f_0 t +\Delta \phi_{max}sin(2\pi F_{X}t)\right)
  \]
  On défini \emph{l'indice de modulation} $\beta$ comme :
  \[
    \beta =
    \begin{cases}
      \Delta \phi_{max} & \text{en PM}\\
      \frac{k_FA_X}{F_X} & \text{en FM}
    \end{cases}
  \]
\end{prop}

\subsubsection{Spectre pour une modulante sinusoïdale}

\begin{thm}[identité de Bessel]
  \[
    e^{jx\sin(y)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)e^{jny}
  \]
  Avec la fonction de bessel de première espèce d'indice $n$:
  \[
    J_n(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}cos(xsin(\theta)-n\theta)d\theta
  \]
  On a de plus $J_{-n}(\beta)= (-1)^nJ_n(\beta)$
\end{thm}

Ainsi on a pour le signal modulé en FM :
\[
  s_{FM} = A_0 \Re(e^{2j\pi f_0t}e^{j\beta\sin(2\pi F_Xt)}) = A_0 \Re \left(e^{2j\pi f_0 t} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)e^{j2\pi F_x t}\right)
\]

[Insert Spectre FM]

On a un encombrement en fréquence infini , mais la fonction de bessel est décroissante ainsi :
\begin{prop}[règle de Carson]
  98\% de la Puissance du signal modulé se trouve dans la bande de fréquence utile $B_u$ donnée par :
  \[
    B_u = 2F_X(\beta+1)
  \]
  Cela se généralise pour tout signal $x(t)$ :
  \[
    B_u = 2F_M(\beta_{nom}+1) = 2\Delta f_{max}+2F_M
  \]
\end{prop}

\paragraph{Remarque} Ce n'est qu'un des critère possibles. De manière générale le support fréquentielle en FM est plus large qu'en AM.

Dans le cas d'une phase $\phi(t) \ll \frac{\pi}{2}$ on peux faire un DL et on retrouve un spectre semblabe a celui d'une AM à double bande latérale :

\[
s(t) = A_0 \Re(e^{2j\pi f_0t}e^{j\phi(t)}) \simeq  A_0 \Re(e^{2j\pi f_0t}(1+j\phi(t))) = A_0 \cos(2\pi f_0t) - \phi(t)\sin(2\pi f_0t)
\]

[insert Graphics]

En FM er à DSP de bruit constante on a interet a préaccentuer les aigus et de $x(t)$ par rapport aux graves (apres démodulation désacentuation).


\subsection{Méthode de génération d'une modulation angulaire}
\subsubsection{FM par oscillateur controllé en tension}
\subsubsection{FM par régulation de fréquence porteuse}
\subsubsection{PM par réactance variable}
\subsubsection{Modulation PM à base de PLL}
\subsection{Méthode de démodulation angulaire}
\subsubsection{Démodulatateur a PLL}
\subsubsection{Autre démodulateurs}
\paragraph{Démodulateur par déphasage}
\paragraph{Démodulateur FM par comptage}

\section{Modulation et bruit}
\subsection{Différentes origines du bruit electronique}
Le Bruit est une tension nusibile qui se superposant au signal utile. Les principales sources de bruits sont :
\begin{itemize}
\item bruit thermique
\item bruit electromagnétique
\end{itemize}
Dans la suite on considère que le bruit est \emph{additif} , centrée , ergodique, de puissance finie...
On le note $n(t)$ et $D_n(f)$ sa DSP. (TF de la fonction d'autocorrélation)\footnote{cf. UE 451}.
\subsubsection{Bruit thermique}
Le bruit thermique est issu du mouvement brownien des électrons libre dans un conducteur , proportionnel à la température (agitation thermique)
\begin{center}
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) to[R,l={R bruyante},v=$v(t)$] (0,2) -- (2,2) to[voltmeter,l=$V_{eff}$] (2,0) -- (0,0);
  \end{circuitikz} $\iff$%
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) to[V,l=$n$] (0,2) to[R,l={R non bruyante}] (0,4) -- (2,4) to[R,l={R non bruyante},v=$v$] (2,0) -- (0,0);
  \end{circuitikz}
\end{center}
\begin{prop}
  On a alors $v = n/2$ et :
  \[
    <n^2> = 4k_B T R \Delta f = 4k_B T \Re(Z)
  \]
  \[
    D_n = 4k_B T R (en V^2/Hz)
  \]
  La DSP est constante (bruit blanc).
\end{prop}

\subsubsection{Température équivalente}
par analogie avec le bruit thermique on peux définir la température d'un bruit blanc pour d'autr source de bruit. Par exemple le bruit d'une antenne en reception : $T = 300 K$ (vers le sol) , $T=qq K$ (vers le ciel)). On parle alors d'antenne "froide" (peu de pertubation) .

\subsubsection{Autres bruits}
\begin{description}
\item[bruit blanc de grenaille] (Cf Schottky, 1918) : nombre faible de porteur de charge franchissant une barrière de potentiel
\item[bruit de scintillation] DSP en $1/f $ : fluctuation de grandeur physique (densité de défaut chargé, rugosité d'interface..)
\item[Bruit coloré] DSP en $f^n$ (traité par des ampli ,CF TD10).
\end{description}

Tous ces différents bruit s'ajoute pour former un DSP d'allure :


[Insert graphics, plancher de bruit]

\subsection{Bruit dans une chaine de Quadripole}
{\LARGE
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \node (e) at (0,0) {$u$};
    \node[rectangle,draw] (f) at (2,0) {$H$};
    \node (s) at (4,0) {$v$};
    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
  \end{tikzpicture}
\end{center}}
\begin{defin}
D'après la formule d'interférence:
\[D_v(f) = |H(f)|^2D_u(f)+D_p(f)\]
  On défini le \emph{facteur de bruit} d'un quadripole $Q$ de fonction de transfert $H$:

    \begin{align*}
      F &= \frac{\text{DSP de bruit total en sortie}}{\text{DSP de bruit si Q non bruyant}}\\
        &= \frac{|H(f)|^2D_u(f)+D_p(f)}{|H(f)|^2D_u(f)}\\
        &= 1 + \frac{D_p(f)}{|H(f)|^2D_u(f)} \geq 1
     \end{align*}
   \end{defin}

   On peux également définir la température équivalente de bruit du quadripôle:

   \paragraph{Hypothèse}
   \begin{itemize}
   \item Adaptation d'impédance entre Q et les connections ($Z_c$ supposée réelle)
   \item[$\implies$] Optimisation du transfert de puissance car pas de reflexionsur Q
   \item Bruit Thermique par une impédance $Z_c$ placée en entrée de Q.
   \end{itemize}

   \begin{center}
     \begin{circuitikz}
       \draw (0,0) to[R, l=$Z_c@ T_e$,v=$u$] (0,2) -- (2,2) to[R, l=$Z_c$] (2,0) -- (0,0);
       \draw (1.5,-0.2) rectangle (4,2.2) node[above]{Q};
       \draw (4,2) -- (5,2) to[R] (5,0) --(4,0);
     \end{circuitikz}
   \end{center}

   \begin{prop}
     On a :
     \[\left.
       \begin{array}{r}
         D_u(f) = k_B T_eZ_c \\
         ~\\
         D_p(f  = |H(f)|^2k_BT_QZ_C
       \end{array}\right\} \implies F = 1 + \frac{T_Q}{T_e}
     \]
   \end{prop}

\subsubsection{Quadripole en cascade}
   Pour deux quadripole en série de gain $H_1$ et $H_2$ :

{\LARGE
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \node (e) at (0,0) {$u$};
    \node[rectangle,draw] (f1) at (2,0) {$H_1$};
    \node[rectangle,draw] (f2) at (4,0) {$H_2$};
    \node (s) at (6,0) {$v$};
    \draw[->] (e) -- (f1) -- (f2) -- (s);
  \end{tikzpicture}
\end{center}}


\begin{thm}[Formule de Friis]
  Pour la mise en cascade de deux quadripoles le facteur de bruit total est:
  \[
    F_{tot} = F_1 + \frac{1}{|H_1(f)|^2}(F_2-1)
  \]
  La formule se généralise par récurrence pour $N$ quadripoles en série:
  \[
    F_{tot} = F_1 + \frac{1}{|H_1(f)|^2}(F_2-1) + \frac{1}{|H_1(f)|^2|H_2(f)|^2}(F_3-1)+ \dots + \frac{1}{|H_1(f)|^2|H_2(f)|^2|H_{N-1}(f)|^2}(F_N-1)
  \]
\end{thm}
\paragraph{Remarque}
On a tout intêret à placer un amplificateur faible bruit (LNA\footnote{Low Noise Amplifier}) pour minimiser le facteur de bruit total (cf TD11).

\subsubsection{Facteur de bruit et RSB}
{\Large
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \node (e) at (0,0) {$s_u(t)+n_u(t)$};
    \node[rectangle,draw] (f) at (4,0) {$H$};
    \node (s) at (8,0) {$s_v(t)+n_v(t)$};
    \draw[->] (e) -- (f) -- (s);
  \end{tikzpicture}
\end{center}}
\begin{prop}
  Dans le cas où $|H(f)|$ et les DSP \emph{sont indépendantes de $f$ dans la bande de fréquence} B considérée, alors :
   \[
     F = \frac{D_{n_v}}{|H|^2D_{n_u}} = \frac{S_{ueff^2}}{S_{veff^2}}\frac{D_{nv}}{D_{nu}} = \frac{(S/N)_{entree}}{(S/N)_{sortie}}
   \]
\end{prop}
\subsection{Efficacité vis-à-vis du bruit en démodulation [WIP]}
\subsubsection{Contexte}
\begin{center}
  \begin{circuitikz}
\draw (0,0) to[tline] ++(2,0) to[twoport,t={\tiny capteur}] ++(2,0)to[twoport,t={\tiny preamp}] ++(2,0) to[amp] ++(2,0) to[twoport, t={\tiny Demod},-o]++(2,0) node[right]{$\alpha x(t)+n_s(t)$};
  \end{circuitikz}
\end{center}
Modélisation du bruit (décomposition analytique transformée de hilbert)
\[
n_e  = \Re(n_I(t)+jn_Q(t)exp(2j2\pi f_0 t))
\]
But: calculer :
\[
  \eta =\frac{<\alpha^2x^2>/<n_s^2>}{<c^2><n_e^2>}
\]
\subsubsection{Cas de l'AM}
\[
  \eta = \frac{<n_e^2>}{(1/2)kA_1<x^2>} = 2
\]
efficacité faible mais garantie
\paragraph{Autre Modulation AM}
\begin{description}
\item[BLU]  $\eta =1$
\item[BL atténuée]  $\eta = \frac{2}{1+c^2}$ avec $0\le c \le 1$
\item[Quadrature] $\eta =2$
\item[DB+porteuse] $\eta= 2 \frac{2k^2<x^2>}{1+k^2<x^2>}$
\end{description}

\subsubsection{Démodulation angulaire}
\paragraph{généralité}

\paragraph{Démodulation PM}
\[
  \eta = 2 k_P^2 <x^2> \simeq 2\beta^2
\]
Peux devenir $\gg 1 $ mais il faut RSB grand et $B_u$ large.

\paragraph{Démodulationn FM}
\[
  \eta = 6 \frac{k_f^2<x^2>}{F_M^2} \simeq 6 \beta^2
\]


\end{document}