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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\section{Hypothèses}
\begin{itemize}
\item la non-linéarité est statique et n'évolue pas dans le temps. On peut la séparer de la dynamique du système. Par exemple, la saturation (ou la zone morte) est une non-linéarité statique.
\item la partie dynamique (linéaire) est un filtre passe-bas \emph{suffisamment efficace} pour négliger les harmoniques d'ordre supérieur à 1. Plus précisément, l'ordre relatif du filtre doit être supérieur strict à 1.
\end{itemize}

\section{Schéma-blocs}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
10 11 12 13 14 15
\[ x \longrightarrow \boxed{
    \begin{array}{c}
      \text{Non} \\
      \text{Linéarité}
    \end{array}
} \longrightarrow y \longrightarrow \boxed{H(p)} \longrightarrow z \]
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
La fonction de transfert $H(p)$ (fraction rationnelle) correspond à un filtre passe-bas de degré relatif $\geq 2$.\\

On prend $x=X\sin \omega t$. Dans le cas linéaire, seule la valeur de $\omega$ influe sur le tracé de la diagramme de Bode du système. Dans le cas non-linéaire, on a plusieurs tracés de réponses fréquentielles. Par exemple, avec une saturation, on obtient des réponses fréquentielles qui dépendent de l'amplitude d'entrée de $X$ dès qu'elle devient trop élevée.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-1.png}
\end{figure}

Puisque $H(p)$ rejette les harmoniques d'ordre supérieur à 1, on peut donc décomposer \[y(t)=P \sin \omega t + Q \cos \omega t\]

Dans le cas d'une NL symétrique, on a
\begin{align*}
P& =\frac{2}{T} \int_{[T]} y(t) \sin \omega t dt\\
Q& =\frac{2}{T} \int_{[T]} y(t) \cos \omega t dt \quad \text{ avec } \omega T = 2\pi
\end{align*}

\begin{rem}
Si la NL est non-symétrique, $y(t) = Y+P\sin \omega t + Q \cos \omega t$ avec $Y=\frac{1}{T}\int_{[T]} y(t) dt$. La composante continue $Y$ peut être négligée pour l'analyse de stabilité et modélisée par une perturbation constante à l'entrée de $H(p)$.
\end{rem}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
36 37 38
\begin{defin}
On définit le \emph{gain complexe équivalent}:
\[ N(X) = \frac{P+jQ}{X} \text{ qu'on note } N(X) = N_P(X) + jN_Q(X) \]
39 40 41 42
\begin{itemize}
\item $N_P(X)=\frac{P}{X}$ est la gain en phase,
\item $N_Q(X)=\frac{Q}{X}$ est la gain en quadrature.
\end{itemize}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
43
\end{defin}
44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

\begin{rem}
\begin{itemize}
\item À la différence du système linéaire, pour une même pulsation, on a plusieurs réponses fréquentielles qui dépendent de l'amplitude de l'entrée $X$. L'analyse de stabilité doit donc se faire par rapport à tous les tracés.

% Inclure le nyquist du génie

\item Les manipulations de schéma-blocs doivent satisfaire les règles connues (principe de superposition) et s'assurer que le signal en amont du bloc NL est le même, et en aval, qu'il est suffisamment filtré pour ne garer que le 1er harmonique.

\begin{example}
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}

\sbComp[3]{comp}{E}
\sbRelier[$e$]{E}{comp}

\sbBloc[2]{C}{$C(p)$}{comp}
\sbRelier{comp}{C}

\sbBloc[2]{NL}{Non-linéarité}{C}
\sbRelier[$x$]{C}{NL}

\sbBloc[2]{sys}{$H(p)$}{NL}
\sbRelier{NL}{sys}

\sbSortie[2]{S}{sys}
\sbRelier{sys}{S}

\sbRenvoi{sys-S}{comp}{}

\end{tikzpicture}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
77 78 79
\[
\Updownarrow
\]
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}

\sbBloc[3]{C}{$C(p)$}{E}
\sbRelier[$e$]{E}{C}

\sbComp[4]{comp}{C}
\sbRelier{C}{comp}

\sbBloc[2]{NL}{Non-linéarité}{comp}
\sbRelier[$x$]{comp}{NL}

\sbBloc[2]{sys}{$H(p)$}{NL}
\sbRelier{NL}{sys}

\sbSortie[2]{S}{sys}
\sbRelier{sys}{S}

\sbDecaleNoeudy[4]{S}{R}
\sbBlocr[8]{Cr}{$C(p)$}{R}
\sbRelieryx{sys-S}{Cr}
\sbRelierxy{Cr}{comp}
\end{tikzpicture}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
103 104 105
\[
 \Updownarrow\hspace{-0.8em}/
\]
106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}

\sbComp[3]{comp}{E}
\sbRelier[$e$]{E}{comp}

\sbBloc[4]{NL}{Non-linéarité}{comp}
\sbRelier[$\hat{x}\neq x$]{comp}{NL}

\sbBloc[2]{sys}{$H(p)C(p)$}{NL}
\sbRelier{NL}{sys}

\sbSortie[2]{S}{sys}
\sbRelier{sys}{S}

\sbRenvoi{sys-S}{comp}{}

\end{tikzpicture}
\caption{Transformations de schéma-blocs}
\end{figure}

\end{example}
\end{itemize}
\end{rem}

\newpage
\section{Analyse de la stabilité.}

Système NL bouclé à retour unitaire

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}

\sbComp[4]{comp}{E}
\sbRelier[$e$]{E}{comp}

\sbBloc[4]{NL}{$N(X)$}{comp}
\sbRelier[$x$]{comp}{NL}

\sbBloc[4]{sys}{$T_{BO}(p)$}{NL}
\sbRelier{NL}{sys}

\sbSortie[4]{S}{sys}
\sbRelier{sys}{S}

\sbRenvoi{sys-S}{comp}{}

\end{tikzpicture}
\end{figure}

Dans l'analyse harmonique, la NL est modélisée par $N(X)$. Ainsi, il faut trouver l'expression de $N(X)$ en fonction de la NL :

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
160
\begin{exemple}[saturation]
161 162

\begin{figure}[h!]
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines =middle,
      width=8cm, height=6cm,
      xlabel=$X$,ylabel=$Y$,
      xtick={-2,2},xticklabels={$-X_m$,$X_m$},
      ytick={-1.5,1.5},yticklabels={$-Y_m$,$Y_m$},
      ymin=-3,ymax=3, xmin=-5,xmax=5,
      ]
      \addplot[no marks,black] plot coordinates
      {(-4,-1.5) (-2,-1.5) (2,1.5) (4,1.5)};
      \addplot[no marks,dashed,black] plot coordinates
      {(-2,0) (-2,-1.5) (0,-1.5)};
      \addplot[no marks,dashed,black] plot coordinates
      {(2,0) (2,1.5) (0,1.5)};
    \end{axis}

    \begin{axis}[at ={(8cm,0cm)},
      width=10cm,height=6cm,
      axis lines =middle,
      xlabel=$t$,ylabel=$X$,
      xtick={1,2,3.1415},xticklabels={$t_1$,$\frac{\pi}{\omega}-t_1$,$\frac{\pi}{\omega}$},
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
186
      ytick={-2.1,2.1},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
187 188 189
      ymin=-3,ymax=3, xmin=0,xmax=7,
      domain=0:7,
      ]
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
190 191 192 193 194 195
      \addplot[no marks,black,smooth,dashed] {2.5*sin(deg(x))};
      \addplot[thick, no marks,domain=0:1]{2.5*sin(deg(x))};
      \addplot[thick, no marks,domain=2.1415:4.1415]{2.5*sin(deg(x))};
      \addplot[thick, no marks,domain=5.283:7]{2.5*sin(deg(x))};
      \addplot[thick, no marks] coordinates {(1,2.1) (2.1415,2.1)};
      \addplot[thick, no marks] coordinates {(4.1415,-2.1) (5.283,-2.1)};
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
196 197
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217
\end{figure}

Calcul de $N(X)$ :

Pour $0 \leq t \leq t_1$ : $y(t) = X\sin \omega t$

$t_1 \leq t \leq \frac{\pi}{\omega}-t_1$ : $y(t) = X_m = X\sin \omega t_1$

\begin{align*}
P & = \frac{4\omega}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2\omega}} y(t) \sin \omega t dt \\
& = \frac{4\omega}{\pi} [ \int_0^{t_1} X \sin^2 \omega t dt + \int_{t_1}^{\frac{\pi}{2\omega}} X \sin \omega t_1 \sin \omega t dt ] \\
& = \frac{2X}{\pi}[ \omega t_1 + \frac{\sin 2\omega t_1}{2} ] \\
\intertext{ $t_1=\arcsin(\frac{X_m}{X})$ et $Q=0$}
\intertext{Ainsi}
N(x) & =
       \begin{cases}
         1 & \si X << X_m\\
         \frac{2}{\pi}[\arcsin\frac{X_m}{X}+\frac{X_m}{X}\sqrt{1-\frac{X_m^2}{X^2}}] & \si X > X_m
       \end{cases}
\end{align*}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
218 219
\begin{prop}
  Le dénominateur de la BF, $1+N(X)T_{BO}(p)$, donne la limite de stabilité : \[T_{BO}(j\omega) = - \frac{1}{N(X)}\]
220

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
221 222
  Le lieu critique remplace le point critique $-1$.
\end{prop}
223 224 225
On a donc pour notre exemple de saturation

\begin{figure}[h!]
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines= middle,
      xmin=-4,xmax=3,ymin=-2,ymax=3,ticks=none,
      xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
      \addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
      \addplot[smooth,thick,|-latex] coordinates {(-2.5,0) (-4,0)};
       \node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
      \node[below] at (axis cs: -3,0) {$-\frac{1}{N(X)}$};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{INSTABLE} 
240 241
\end{figure}

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
242
\end{exemple}
243 244

Ainsi dans le cas NL, on remplace le point critique $-1$ par le lieu critique $\frac{-1}{N(X)}$. Par conséquent, l'analyse de stabilité est réalisée par rapport à $\frac{-1}{N(X)}$.
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
245 246 247 248
On a alors deux cas
\begin{enumerate}
\item
  Dans le cas où le tracé de Nyquist ne présente \emph{pas d'intersection avec le lieu critique}
249

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Pierre-antoine Comby committed
250
  on applique le critère de Nyquist ($ N_{\frac{1}{N(Y)}^{+}} = P^T_{T_{BO}}$) pour la stabilité ou celui du revers sur la FT, qui est alors stable, strictement propre et à déphasage minimal.
251

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
252 253
\item Si on a une ou plusieurs intersections, on a un régime auto-oscillant (cycle limite). $x(t) = X_0 e^{j\omega_0 t}$
\end{enumerate}
254 255
\section{Étude de la stabilité du cycle limite}

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
256 257 258 259
Soit $(X_0,\omega_0)$ solution de $T_{B0}(j\omega_0)=-\frac{1}{N(X_0)}$ sur son cycle limite :
\[
  x(t)= X_0e^{j\omega_0t}
\]
260

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
261
\subsection{Critère analytique}
262

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
263
On pose \[T_{B0}(j\omega)+\frac{1}{N(X_0)}=R(\omega,X)+jI(\omega,X) = 0\]
264

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
265 266
Ainsi, on a \[R(\omega_0,X_0)=0 \text{ et }I(\omega_0,X_0)=0\]
Pour analyser la stabilité on applique À $t_0$  une perturbation :
267 268
\[X_1 = X_0 + \delta X \text{ et }\omega_1 = \omega_0+\delta \omega \quad \text{ avec } |\frac{\delta X}{X_0}|<<1 \text{ et }|\frac{\delta \omega}{\omega_0}|<<1 \]

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
269
$x(t)$ n'est plus périodique (plus d'intersection avec le lieu critique) et présente ainsi un amortissement $m>0$ (stable) ou $<0$ (instable).
270 271 272

\[ x(t) = (X_0 + \delta X) e^{-mt} e^{j(\omega_0 + \delta \omega) t} =(X_0 + \delta X) e^{j(\omega_0 + \delta \omega + jm) t} \]

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Pierre-antoine Comby committed
273
Ainsi la perturbation nous donne un régime auto-oscillant avec une amplitude $X_0+\delta X$ et une \emph{pulsation complexe} $\omega_0 + \delta \omega + jm$.
274 275 276 277 278

\[ R(\omega_0+\delta \omega + jm, X_0 + \delta X) + jI(\omega_0 + \delta \omega + jm,X_0 + \delta X) = 0 \]

\newcommand{\zero}{(\omega_0,X_0)}
On applique un DL du 1er ordre autour de $\zero$ :
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Pierre-antoine Comby committed
279 280
\[ \left(\left.\derivp[R]{X}\right|_{\zero} + j \left.\derivp[I]{X}\right|_{\zero}\right) \delta X + \left(\left.\derivp[R]{\omega}\right|_{\zero} + j \left.\derivp[I]{\omega}\right|_{\zero}\right)(\delta \omega + jm)\approx 0 \]
i.e. en notant $\left.\derivp[]{X}\right|_{\zero}=\left.\derivp[]{X}\right|_0$
281 282 283 284 285 286
\begin{align*}
\derivp[R]{\omega}|_0 .\delta \omega + \derivp[R]{X}|_0 .\delta X - \derivp[I]{\omega}|_0 .m & = 0 \\
\text{ et }\quad \derivp[I]{\omega}|_0 .\delta \omega + \derivp[I]{X}|_0 .\delta X + \derivp[R]{\omega}|_0 .m & = 0
\end{align*}

Élimination de $\delta \omega$ :
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
287 288
\[\underbracket{ \left( \left(\left.\derivp[R]{\omega}\right|_0\right)^2 + \left(\left.\derivp[I]{\omega}\right|_0\right)^2 \right)}_{\ge 0} m
  = \left( \left.\derivp[R]{X}\right|_0.\left.\derivp[I]{\omega}\right|_0 - \left.\derivp[R]{\omega}\right|_0.\left.\derivp[I]{X}\right|_0 \right) \delta X \]
289 290 291 292 293

\newpage
\noindent Différents types de perturbation

\begin{figure}[h!]
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines= middle,
      ticks=none, domain=0:10,
      xmin=0,xmax=10,ymin=-2,ymax=2]
      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))};
      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(exp(x/10))};

    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-61.png}
\end{figure}
$m > 0$ et $\delta X > 0$ : CL est stable

$m < 0$ et $\delta X > 0$ : CL est instable

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-62.png}
\end{figure}
$\delta X < 0$ et $m < 0$ : CL est stable

$\delta X < 0$ et $m > 0$ : CL est instable

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
319 320
\begin{prop}[Condition de stabilité du cycle limite dans le plan de Nyquist]
le cycle limite est stable si et seulement si $\delta X . m >0$\\
321 322

Pour que $\delta X . m >0$ :
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
323 324
\[\boxed{ \left.\derivp[R]{X}\right|_0.\left.\derivp[I]{\omega}\right|_0 - \left.\derivp[R]{\omega}\right|_0.\left.\derivp[I]{X}\right|_0 > 0 }\]
\end{prop}
325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

On pose $T_{B0}(j\omega) = U(\omega) + jV(\omega)$ et $-\frac{1}{N(X)} = L(X) + jM(X)$

On a un cycle limite si
\[ T_{B0}(j\omega_0) = -\frac{1}{N(x)} \quad \Rightarrow \quad
  \begin{cases}
R(\omega,X) & = U(\omega) - L(X)\\I(\omega,X) & = V(\omega) - M(X)
\end{cases}
\]

d'où d'après la condition de stabilité du cycle limite :
\[\boxed{-\derivp[L]{X}|_0.\derivp[V]{\omega}|_0 + \derivp[U]{\omega}|_0.\derivp[M]{X}|_0 > 0}\]

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354
\subsection{Critère graphique}
On repart de l'équation caractéristique du cycle limite:
\[
  T_{BO}(j\omega) + \frac{1}{N(X)} = 0
\]
On note alors :
\[
  \begin{cases}
    T_{BO}(j\omega) = U(\omega)+j V(\omega) \\
    -\frac{1}{N(X)} = P(X)+j Q(X) \\
  \end{cases}
  \implies
  \begin{cases}
    \Re(X,\omega) = U(\omega)-P(X)\\
    \Im{X,\omega} = V(\omega)-Q(X)
  \end{cases}
\]
355

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Pierre-antoine Comby committed
356 357 358 359 360
La condition de stabilité du cycle limite devient :
\[
  \left.\derivp[Q]{X}\right|_0 \left.\derivp[U]{\omega}\right|_0 - \left.\derivp[V]{\omega}\right|_0 \left.\derivp[P]{X}\right|_0 >0
\]
Si on se place dans $\R^3$, on a 2 vecteurs : $\vect{U\\V\\0}$ et $\vect{P\\Q\\0}$ qui décrivent respectivement $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$.
361

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Pierre-antoine Comby committed
362 363 364
Les tangentes aux courbes $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$ sont colinéaires aux vecteurs:
\[\vec{v_T} = \derivp[]{\omega}\vect{U\\V\\0} \text{ et } \vec{u_N}=\derivp[]{X}\vect{P\\Q\\0} \text{ alors }
\vec{v_T}\wedge\vec{u_N} = \vect{0\\0\\-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[Q]{X}}\]
365

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Pierre-antoine Comby committed
366
Ainsi, la condition $-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[Q]{X}>0 \Rightarrow (\vec{v_T},\vec{u_N})$ dans le sens direct.
367 368

\begin{figure}[h!]
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403
  \centering
  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines= middle,name=plot1,
      at={(0,0)},
      xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
      xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
      \addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(0,-4) (-1,-2) (-3,-1)};
      \node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
      \node[above] at (axis cs: -1,-2) {$-\frac{1}{N(X)}$};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{STABLE}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines= middle,
      xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
      xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
      \addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
      \addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-3,-2) (-2,-1) (-0.5,-0.5)};
       \node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
      \node[below] at (axis cs: -1,-1) {$-\frac{1}{N(X)}$};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{INSTABLE}
\end{subfigure}
\caption{Critère géométrique de stabilité}
404
\end{figure}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
405 406 407 408

\begin{thm}[Critère de Loeb]
Le cycle limite est stable si l'intersection de $T_{BO}(j\omega)$ et de $-\frac{1}{N(X)}$ est telle qu'en parcourant le lieu de Nyquist $T_{BO}(j\omega)$ dans le sens des $\omega$ croissants, on laisse à gauche la direction des $X$ croissant sur le lieu critique.
\end{thm}
409
\end{document}
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Pierre-antoine Comby committed
410 411 412 413 414

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
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%%% End: