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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
\begin{document}

\section{Trajectoire}

\begin{rem}
Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ avec $x(0)=x_0$. Cette solution est unique. Qu'en est-il en non-linéaire?
\end{rem}

\begin{defin}
Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,s)$$s:\R \times \D \rightarrow \D$ tel que les axiomes suivants sont vérifiés :
\begin{enumerate}
\item Continuité : $s(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $s(.,x)$ est dérivable.
\item Consistance : $s(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
\item Propriété de groupe : $s(\tau, s(t,x_0)) = s(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{rem}
\begin{itemize}
\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $s(.,.)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
\item On dénote la trajectoire $s(t,.) : \D \rightarrow\D$ par $s_t(x_0)$ ou $s_t$.
\item Suivant l'axiome de consistance, $s_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
\[ (s_{\tau} \circ s_t)(x_0) = (s_t \circ s_{\tau})(x_0) = s_{t+\tau}(x_0) \]
Ainsi l'application inverse de $s_t$ est $s_{-t}$$s_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).

En effet, montrons que $s_t$ est injective.

Soit $y,z\in \D$ tels que $s_t(z)=s_t(y)$.
On a $z=s_0(z)=s(0,z)=s(t-t,z)=s(-t,s(t,z))=s(-t,s(t,y))=s(0,y)=y$

$s_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y \in \D$ tel que $y=s(-t,z)$.

Enfin, $s_t$ est continue sur $\R$ donc $s_{-t}$ est continue.
\end{itemize}
\end{rem}

\begin{exemple}
Système linéaire causal de dimension $n$ ($n$ variables d'état)

$s:[0,+\infty[ \times \R^n \rightarrow \R^n$$s(t,x)=e^{At}x$$A\in\R^n$ matrice d'évolution

Ainsi $s_t(x) = e^{At}x$$s_t :
\begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R\\x & \mapsto e^{At}x
\end{cases}
$

On a $(s_{\tau} \circ s_t) (x) = s_{\tau}(s_t(x)) = e^{A\tau}e^{At}x = s_{t+\tau}(x)$
\end{exemple}

\begin{prop}
Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D \rightarrow \R^n$ définie par $f(x) = \dd{s(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$.
\end{prop}

\begin{exemple}
Système linéaire $f(x)=\dd{e^{At}x}{t}|_{t=0}=Ax$
\end{exemple}

\begin{rem}
Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle unique ?
\end{rem}

\section{Théorème du point fixe}

\begin{thm}
Soient $X$ un espace de Banach de norme $||.||$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $S$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,

\[ \text{ alors } \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]

De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $.
\end{thm}

\begin{defin}
Une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$ est lipschitzienne si $\exists \alpha > 0$ tel que \[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y)) \leq \alpha d_x(x,y)\]
\end{defin}

\begin{rem}
Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
\end{rem}

\begin{thm}
Soient le système dynamique défini par :$\dot{x}(t)=f(x(t))$ et $x(t_0)=x_0, t \in \R (*)$.

Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que (*) a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$
\end{thm}

\begin{proof}
Soient $T(x) = x_0 + \int_t^{t_0}f(s)ds$, $t\in[t_0,\tau] = x(t)$

et on définit $S = \{ x(t) \text{ tel que } t\in [t_0,\tau], ||x-x_0|| \leq r \}$

Ainsi, $\forall x \in S$
\begin{align*}
||T(x) - x_0|| & = ||\int_{t_0}^t f(s)ds || \\
& = || \int_{t_0}^t (f(s)-f(t_0)+f(t_0))ds || \\
& \leq \int_{t_0}^t ||f(s)-f(t_0)||s + \int_{t_0}^t ||f(x_0)||ds \\
& \leq (\alpha r + C) ds \quad (f \text{ lipsch. et } ||s-x_0|| \leq r) \\
& \leq (\alpha r + C)(t-t_0) \leq r
\end{align*}

$\exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\tau - t_0) \leq \frac{r}{\alpha r + C}$ donc $T:S\rightarrow S$.

\begin{align*}
\forall x,y \in S, \quad ||T(x)-T(y)|| & \leq \int_{t_0}^t || f(x(s))-f(y(s)) || ds \\
& \leq \alpha \int_{t_0}^t || x(s) - y(s) || ds \\
& \leq \alpha \max_{s\in [t_0,\tau]} ||x(s)-y(s)|| \int_{t_0}^t ds \\
& \leq \alpha |||x(s)-y(s)||| (t-t_0) \quad \text{ avec } |||.|||=\max_{s\in [t_0,\tau]}(.)
\end{align*}

On veut $\alpha (t-t_0) \leq \alpha (\tau - t_0) \leq \rho$ avec $\rho<1$ donc $|||T(x)-T(y)|| \leq \rho |||x-y|||$.

Il suffit de choisir $\tau$ tel que $\tau - t_0 \leq \frac{\rho}{\alpha}$

$T:S \rightarrow S$ est contractante pour $\tau - t_0 \leq \min \{ \frac{r}{\alpha r + C}, \frac{\rho}{\alpha} \}$

(*) a une unique trajectoire.
\end{proof}

\begin{exemple}
Soit le système $\dot{x}(t) = \sqrt{|x(t)|}$, $x(0)=0$, $t\geq 0$

Ce système a une infinité de solutions paramétrées par $T$
\[
  \begin{cases}
x(t) = 0 & \si 0 \leq t \leq T\\ \frac{(t-T)^2}{4} & \si t > T
\end{cases}
\]

$\forall x,y \in \R_+$,
\[ |\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leq \alpha |x-y| \]
donc $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \leq \alpha$.

Ainsi, si $x$ et $y$ sont proches de 0, on peut rendre la partie à gauche de l'inégalité arbitrairement grande.
\end{exemple}

\section{Attracteur}

\begin{defin}
Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système

\[G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad (*) \]

si $s_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$$s_t(M) = \{ s_t(x), x\in M \}$.\\

Il est négativement invariant suivant la dynamique (*) si $s_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant (*) si $s_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$
\end{defin}

\begin{prop}
Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant (*), alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow x$ avec $x\in \overline{M}$.

Puisque $M$ est invariant, alors $(s_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $s_t(x_n) \rightarrow s_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.

Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant (*).
\end{proof}

\begin{defin}[Attracteur]
Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un attracteur du système (*), s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $s_t(x) \in M$
\end{defin}

\begin{rem}
Un cycle limite stable ou semi-stable est un attracteur.
\end{rem}

\begin{exemple}
Soit le système :
\[
  \begin{cases}
\dot{x_1}(t) = -x_2(t) + x_1(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t)) \\ \dot{x_2}(t) = x_1(t) + x_2(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t))
\end{cases}
\]

En utilisant les coordonnées polaires, on trouve l'attracteur de $M$.\\

On a en effet
$r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ et $ \theta = \arctan\frac{x_2}{x_1}$

donc
$\dot{r} = \derivp[r]{x_1} \dot{x_1} + \derivp[r]{x_2}\dot{x_2} = r(1-r^2)$ et $\dot{\theta} = \derivp[\theta]{x_1}\dot{x_1} + \derivp[\theta]{x_2}\dot{x_2} = 1$\\

Ainsi,

$r>1 \quad \dot{r}<0 \Rightarrow r \rightarrow 1$

$r<1 \quad \dot{r}>0 \Rightarrow r \rightarrow 1$

$r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 / \{(0,0)\}$ car $x_1=x_2=0$ est un point d'équilibre, les trajectoires convergent vers le cercle unité. Suivant le théorème de Poincaré-Bendixon le cercle unité est un cycle limite, car c'est un compact et ne contient pas de point d'équilibre.
\end{exemple}

\section{Types de stabilité en non linéaire}

\paragraph{Stabilité suivant Lagrange} Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque lesp oints d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$

%\img{0.3}{3/1.png} %HALLELUJAH !

Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si de faibles perturbations induisent de faibles variations de la solution (trajectoire).

\begin{rem}
La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
\end{rem}

\begin{defin}
Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si

\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || s(t_0,x_0)-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))-x^* || \leq \epsilon\]
\end{defin}

Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$ implique un petit changement borné après

\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que }  ||s(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]

Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.

%\img{0.5}{4/lag}

\paragraph{Stabilité au sens de Lyapunov}

\begin{defin}
\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || s(t,s(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
\end{defin}

Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.

%\img{0.5}{4/lya}

\begin{rem}
La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
\end{rem}

\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
\[
  \begin{cases}
\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
\end{cases}
\]

Point d'équilibre $x^* =(0,0)$

\begin{rem}
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
\end{rem}

%\img{0.3}{3/2.png}

$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\

Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
$ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||s(t,s(t_0,x_0))|| < \epsilon $

\end{example}

\begin{example}[Pendule sans frottement]
L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.

Elle n'est pas stable suivant Lagrange $x_0=(x_1= \pi, x_2=0)$ : $\nexists \epsilon >0 \text{ tel que } ||s(t,s(0,s_0))|| < \epsilon$
\end{example}

\paragraph{Stabilité uniforme}
\begin{defin}
Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
\end{defin}


\begin{defin}
On définit les classes suivantes :
\begin{enumerate}
\item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.

Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$), alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$

\item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue, strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$

\item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+ \rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$

Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \Lc$.
\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{example}
$\beta(||x_0||,|t|)=||x_0||e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$

Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ ||s(t,x_0)|| \leq \beta(||x_0||,t),t \geq 0$ (enveloppe)
\end{example}

\begin{prop}
L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq c \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \alpha (||s(t_0,x_0)||)\]
\end{prop}

\begin{proof}
Condition suffisante.

Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ existe).

Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.

Si $||s(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\

Condition nécessaire.

$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } ||s_0|| \leq \delta \Rightarrow ||s|| \leq \epsilon$

Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.

Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$
\begin{align*}
||s_0|| \leq \delta & \Rightarrow ||\delta|| \leq \epsilon\\
||s_0|| \leq \delta' & \Rightarrow ||\delta|| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
\end{align*}

Si on définit $\alpha(||.||)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$$||s_0||=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(||s_0||)$

Suivant Lyapunov, cela implique $||s|| \leq \epsilon \leq \alpha (||s_0||)$
\end{proof}

\paragraph{Attractivité (convergence)}
\begin{defin}
$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq r \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \sigma, \forall t \geq T$

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Autrement dit : $||s_0|| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} ||s_t|| = 0$.

On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
\end{defin}

\paragraph{Stabilité asymptotique}
L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \beta (||s_0||,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
\end{itemize}

\paragraph{Stabilité exponentielle}
L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \alpha ||s_0|| e^{-\lambda t}$
\end{itemize}

\paragraph{Stabilité locale et globale}
\begin{itemize}
\item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
\item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable.
\end{itemize}

\paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire.

\begin{defin}[Fonction de Lyapunov]
$V$ est une fonction de Lyapunov si :
\begin{enumerate}
\item $V :
  \begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
\end{cases}
$ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
\item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{||x|| \rightarrow \infty} \infty$
\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov]
Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et $f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$ (fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que
\[ \exists D \subset \R^n, 0 \in \D \text{} \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \]
Alors l'origine est stable au sens de Lyapunov sur $\D$.

Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
\end{thm}

\begin{proof}
Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq \delta \Rightarrow ||s|| \leq \epsilon$.

Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } ||x|| \leq r \}$

Soit $\alpha = \min_{||x|| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.

$0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.

Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
\begin{align*}
\Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
\Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in \Omega_{\beta}) \\
\Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
\Rightarrow & ||x(t)|| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
\end{align*}

(Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)

$\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset \Omega_{\beta}$
\end{proof}

\begin{thm}[Stabilité asymptotique]
Soient le système $G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
\[ \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{} Q(x) \text{ est définie positive } \]

Alors l'origine est asymptotiquement stable.
\end{thm}

\begin{example}

$\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$

Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) = 0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)

On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov

\begin{align*}
\dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\
& = x^T APx + x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x
\end{align*}

Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$.

$\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.

On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive. On a donc $P$ définie positive.

\[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = [e^{A^Tt}Qe^{At}]_0^{\infty}\]

Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \rightarrow_{t\rightarrow \infty} 0$

\[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]

Pour le système linéaire
\[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
$\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité asymptotique
\end{example}

\begin{thm}[Stabilité exponentielle]
Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
\begin{enumerate}
\item $\exists \alpha > 0, \beta > 0$ et $c\geq 1$ tel que
\[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha ||x||^c \leq V(x) \leq \beta ||x||^c\]
\item $\exists \gamma > 0$ tel que
\[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma ||x||^c \]
\end{enumerate}
Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on a aussi la stabilité globale.
\end{thm}

\begin{proof}
$\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq V(x(0))e^{-\gamma t}$

si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$
\begin{align*}
V(x(0)) & \leq \beta ||x(0)||^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha ||x(t)||^c \\
V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\
\beta||x(0)||^c e^{-\gamma t} & \geq  \qquad \Rightarrow ||x(t)|| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}||x(0)||e^{-\frac{\gamma}{c}t}
\end{align*}
\end{proof}

\begin{example}

Soit le système NL

\[
  \begin{cases}
\dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
\end{cases}
\]

$(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?

On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x \neq 0$.

\[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4 \leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x) \geq 0 \]

L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\

Est-il exponentiellement stable ?

\[ \alpha ||x(t)||^c \leq V(x(t)) \leq \beta ||x(t)||^c \]

$\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$

\[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4 + x_2^4) \]

Pour $\D = \{ ||x|| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.

Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
\end{example}

Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\

\begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité]
Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.\\
Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$), tel que
\[\forall x \in \D^*, \quad  \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
 alors l'origine est instable.
\end{thm}

\begin{proof}
Instable $\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors $||x_0|| \leq \delta$ et $||x|| \geq \epsilon$\\

$\forall \delta > 0$ soit $r \in ]0;\delta[$ tel que:\\
$B_r(0) = \{ x\in \D$ tel que $ ||x|| \leq r \}$ est compact.\\
On pose $\alpha = max_{B_r(0)} V(x)$ et $x_0 \in B_r(0)$\\
$V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
\begin{align*}
\Rightarrow & V(x) > \alpha\\
\Rightarrow & x \notin B_r(0) \\
\Rightarrow & x \in B_r^c(0)\\
\Rightarrow & ||x||> r
\end{align*}
Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $||x|| \geq \epsilon > r$
\end{proof}

\begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V} \leq 0\]
Soit $S = \{x \in \D$ tel que $\dot{V(x)} = 0\}$.

Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement stable.
\end{thm}

\begin{example}
Soit le système :
\[
  \begin{cases}
\dot{x_1} &= -x_1^3 + 2 x_2^3\\\dot{x_2} &= -2x_1x_2^2
\end{cases}
\]
L'origine est un point d'équilibre.\\
\begin{align*}
V(x) &= \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 >0\\
\dot{V(x)} &= x_1\dot{x_1} + x_2\dot{x_2} = -x_1^4 \leq 0
\end{align*}
On ne peut pas conclure sur la stabilité asymptotique car $Q(x) = \frac{1}{2}x_1^4$ ne dépend pas de $x_2$. \\

On utilise le théorème de Barbashin :
\begin{align*}
S = \{x \in \D \text{ tel que }\dot{V(x)} = 0\} \Rightarrow x_1 = 0\\
\Rightarrow & \dot{x_2} = 0\\
\Rightarrow & x_2 = 0\\
\Rightarrow & S = \{0\}\\
\Rightarrow & \text{Stabilité asymptotique}
\end{align*}
\end{example}

\begin{thm}[Principe d'invariance de LaSalle]
Soient $ \dot{x} = f(x)$ avec $f: \D \rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant tel que $\Omega \subset \D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable tel que $\dot{V} \leq 0 $ dans $\Omega$, $E= \{x \in \Omega$ tel que $ \dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant inclus dans E.

Alors toute solution $x$ tel que $x_0 \in \Omega$ converge vers M quand $t \longrightarrow \infty$. Autrement dit $\overline{M}$ est l'attracteur.
\end{thm}


\begin{example}[Barbashin]
Soit le système \[
  \begin{cases}
\dot{x_1} & =x_2\\ \dot{x_2} & = -h(x_1) - g(x_2)
\end{cases}
\]$h,g:[-a,a] \rightarrow \R$ avec $h(0)=g(0)=0$

et $\forall x \neq 0, \quad x.h(x) >0 \text{ et }  x.g(x) >0$.\\

L'origine est un point d'équilibre.\\

Fonction de Lyapunov candidate :
\[ V(x) = \int_0^{x_1} h(s)ds + \frac{1}{2}x_2^2 \]

$x_1 = 0$ et $x_2=0 \Rightarrow V(x)=0$

$x_1 \neq 0$ ou $x_2 \neq 0 \Rightarrow V(x) > 0$

donc $V$ est définie positive.\\

\begin{align*}
\dot{V}(x) & = h(x_1) \dot{x_1}+ x_2 \dot{x_2}\\
& = h(x_1)x_1 - x_2h(x_1) - g(x_1)x_2 \\
& = -g(x_2)x_2 \leq -Q(x) \text{ définie positive, dépend de } x_1 \text{ et } x_2
\end{align*}

Barbashin :

$E = \{ x \in  \R^2, \dot{V}(x) = 0 \}$

$\dot{V}(x)=0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x_1}=0$

$\dot{x_2} = 0 + x_2 = 0 \Rightarrow h(x_1)=0 \Rightarrow x_1 = 0$

Alors $E=\{0\}$ stabilité asymptotique globale.
\end{example}

\begin{example}[Invariance de La Salle]
Soit le système $\dot{x} = ax + u$, $a$ inconnu mais borné.

$u=-kx$ et $\dot{k}= \gamma x^2, \gamma >0$

On pose $x_1=x$ et $x_2=k$
\[
  \begin{cases}
\dot{x_1} & = ax_1 - x_2x_1 \\\dot{x_2}&  = \gamma x_1^2
\end{cases} \]

La fonction de Lyapunov candidate
\[ V(x) = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2\gamma} (x_2-b)^2, \quad \text{ avec } b>a \text{ car $a$ est borné} \]
$V(0,b)=0$ et non pas l'origine

$V(x) \geq 0, \forall x \in \R^d$
\begin{align*}
\dot{V}(x) & = x_1 \dot{x_1} + \frac{1}{\gamma}(x_2-b)\dot{x_2} \\
& = ax_1^2 - x_1^2 x_2 + (x_2-b)x_1^2 \\
& = x_1^2 (a-b) \leq 0
\end{align*}

$E = \{ x \in \R^2, \dot{V}=0 \} = \{ x_1 = 0 \}$ : attracteur

Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc (attracteur) $x_1 \to 0$
\end{example}

\section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e. $\dot{x}=f(t,x)$}

\begin{defin}
Un système $G : \dot{x}(t) = f(t,x)$, $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.

L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
\[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } || S(t_0,x_0) || \leq \delta \Rightarrow || S(t,S(t_0,x_0)) || \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
\end{defin}

\begin{thm}[Théorème de Lyapunov]
L'origine du système $G$ est stable au sens de Lyapunov s'il existe une $V:[0,+\infty[ \times \D \rightarrow \R_+$ continue et différentiable telle que :
\begin{itemize}
\item $V(t,0) = 0, \forall t\geq 0$
\item $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
\item $\dot{V}(t,x) = \derivp[V(t,x)]{t} + (\derivp[V(t,x)]{x})^Tf(t,x) \leq 0$, $\forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
\end{itemize}

S'il existe $Q(t,x)$ tel que
\begin{itemize}
\item $Q(t,0)=0, \forall t \geq 0$
\item $Q(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
\item $\dot{V}(t,x) \leq - Q(t,x), \forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
\end{itemize}

Alors l'origine est asymptotiquement stable.\\

Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel que }$
\begin{itemize}
\item $\alpha ||x||^c \leq V(t,x) \leq \beta ||x||^c$
\item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma ||x||^c$
\end{itemize}

Alors l'origine est exponentiellement stable.
\begin{rem}
Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
\end{rem}

\end{thm}

Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in \R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$,  $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et $\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$

\begin{example}[Système linéaire non stationnaire]
$\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$

Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$$P(t) > 9, \forall t \in \R_ +$

$V(t,0) = 0, \forall t \in \R_+$ et $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \R^n \setminus \{0\}$

\begin{align*}
& \dot{V}(t,x) = x^T(t) \dot{P}(t) x(t) + x^T(t)A^T(t)P(t)x(t) + x^T(t)P(t)A(t)x(t) \leq 0 \\
& \Leftrightarrow \dot{P}(t) + A^T(t)P(t) + P(t)A(t) \leq 0 \\
\end{align*}
Inégalité de Lyapunov dynamique

Stabilité asymptotique :
\[ P(t)+A^T(t)P(t) + P(t)A(t) = - Q(t) \]
Équation de Lyapunov dynamique

\[ \lambda_{min}(P(t)) ||x||^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t)) ||x||^{1=c} \]

$\forall t \in \R_+, \exists \gamma > 0$
\[ \dot{V}(t,x) \leq -\lambda_{min}(Q(t))||x|| \] stabilité exponentielle
\end{example}

\begin{rem}
Dans le cas non autonome, la fonction de Lyapunov candidate peut ne pas dépendre du temps, mais elle doit dépendre de toutes les variables d'état.
\end{rem}

\begin{example}
Soit le système non-linéaire
\begin{align*}
\dot{x_1}(t) & = -x_1^3(t) + \sin \omega t x_2(t) \\
\dot{x_2}(t) & = - \sin \omega t x_1(t)  - x_2^3(t)
\end{align*}
avec $x_1(0) = x_{10}, x_2(0) = x_{20}$ et $t\geq 0$

L'origine est bien un point d'équilibre. Est-il asymptotiquement stable ?

\begin{align*}
V(x) & = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\
\dot{V}(x) & = x_1 (-x_1^3 + \sin \omega t x_2) + x_2(-\sin \omega t x_1 - x_2^3) \\
& = -x_1^4 - x_2 ^4 \leq 0 \text{ : stable } \\
& \leq - \frac{1}{2}(x_1^4 + x_2^4) = -Q(x) \text{ : globalement aymptotiquement stable }
\end{align*}
\end{example}

\section{Stabilité entrées-états (SEE)/ Input-States Stability (ISS)}

Soit le système $ G: \dot{x}=f(x,u)$$f:\R^n \times \R^m \rightarrow \R^n$ ($m$ désigne le nombre d'entrées)

Soit l'origine un point d'équilibre :

\begin{enumerate}
\item S'il est globalement stable, alors on peur analyser la SEE
\item S'il est localement stable, alors la SEE est locale ($\D \subset \R^n$)
\end{enumerate}

Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on analyse localement ($\D$) la stabilité du système en SEE.

\begin{defin}
Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq 0$ et $\exists \alpha \in \Kc\Lc$ et $\exists\gamma \in \Kc_{\infty}$ tels que :

\[ ||x(t,x_0)|| \leq \alpha(||x_0||,t) + \gamma(||u||_{\infty})\]

$||u||_{\infty} = \sup_{t\geq0}||u(t)|| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$

\end{defin}

\begin{rem}
\[ \lim_{t \to \infty} ||x(t,x_0)|| \leq \gamma (||u||_{\infty}) \]

$\gamma$ gain asymptotique du système
\end{rem}


\begin{example}
Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$

A Hurwitz implique que l'origine est stable.

Le système est-il SEE ?
\[ x(t,x_0) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) de \tau \]

\begin{align*}
||x(t,x_0)|| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}||x_0|| + \frac{1}{k} ||B||.||u||_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(||u||_{\infty}) \text{} k = -\lambda_{max}(A)
\end{align*}

$||B|| = \sup_{||v||=1} ||Bv||$
SEE
\end{example}


\end{document}