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Mise a jour du cours, thx wikipedia

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......@@ -6,7 +6,7 @@
\emph{blabla ,les centrales nucléaire c'est 1GW , avec des machines synchrones. Les MCC sont pas utilisé en forte puissance. on préfère utiliser une machine synchrone ou une machine asynchrone (plus simple, moins cher,etc)}
La machine asynchrone fonctionne en moteur ou en alternateur.
Premier dépot déposé en 1888 par Nicolas Tesla.
Premier brevet déposé en 1888 par Nicolas Tesla.
Utilisation des différentes technologies de moteur (brushless, bobinés) en automobile et industrie (80\% des moteur de l'industrie sont des machines asynchrones)
......@@ -167,7 +167,7 @@ Dans le cas triphasé on répartis les enroulements de manière sinusoïdales (s
\addplot+[no marks,color=black, dotted] {cos(pi*deg(x)/2-120)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Évolution d'une onde pulsante en fonction du temps}
\caption{Forces magnétomotrices en triphasé}
\end{figure}
Alors la force magnétomotrice totale vaut:
\begin{align*}
......@@ -212,13 +212,13 @@ On a créer un champ tournant , avec trois bobinage , le module de la force magn
\end{figure}
On a :
\begin{align*}
e&= -deriv{\Phi}{t} =R_r i_r
&= -L\deriv{i_r}{t}+B.n_rS_r\deriv{\theta_s-\theta_r}{t}\sin(\theta_s-\theta_r)\\
e&= -\deriv[\Phi]{t} =R_r i_r
&= -L\deriv[i_r]{t}+B.n_rS_r\deriv[\theta_s-\theta_r]{t}\sin(\theta_s-\theta_r)\\
\end{align*}
Pour $\theta_s=\omega_st$ , position du champs statorique et $\theta_r = \Omega t+ \theta_{r_0}$ ,position du champ rotorique on a:
\[
e = -L\deriv{i_r}{t}+B.n_rS_r(\omega_s-\Omega)\sin((\omega_s-\Omega)t+\theta_{r_0})
e = -L\deriv[i_r]{t}+B.n_rS_r(\omega_s-\Omega)\sin((\omega_s-\Omega)t+\theta_{r_0})
\]
\subsection{Rotor à 3 spires en court circuit}
......@@ -268,18 +268,18 @@ On considère une machine triphasé au rotor et au stator à une paire de pôle
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw[red] (0:1.5) node(As){} to[L,v=$V_{as}$,i^<=$i_{as}$,color=red] ++(0:2.5);
\draw[red] (120:1.5)node(Bs){} to[L,v=$V_{bs}$,i^<=$i_{bs}$,color=red] ++(120:2.5);
\draw[red] (240:1.5)node(Cs){} to[L,v=$V_{cs}$,i^<=$i_{cs}$,color=red] ++(240:2.5);
\draw[red] (0:2) node(As){} to[L,v=$V_{as}$,i^<=$i_{as}$,color=red] ++(0:2);
\draw[red] (120:2)node(Bs){} to[L,v=$V_{bs}$,i^<=$i_{bs}$,color=red] ++(120:2);
\draw[red] (240:2)node(Cs){} to[L,v=$V_{cs}$,i^<=$i_{cs}$,color=red] ++(240:2);
\draw[dashed] (As) -- (0,0) (Bs) --(0,0) (Cs) --(0,0);
\draw[blue] (35:1) node(Ar){} to[L,v^=$V_{ar}$,i_<=$i_{ar}$,color=blue] ++(35:2.5);
\draw[blue] (155:1)node(Br){} to[L,v^=$V_{br}$,i_<=$i_{br}$,color=blue] ++(155:2.5);
\draw[blue] (275:1)node(Cr){} to[L,v^=$V_{cr}$,i_<=$i_{cr}$,color=blue] ++(275:2.5);
\draw[blue] (35:0.) node(Ar){} to[L,v^=$V_{ar}$,i_<=$i_{ar}$,color=blue] ++(35:2);
\draw[blue] (155:0.)node(Br){} to[L,v^=$V_{br}$,i_<=$i_{br}$,color=blue] ++(155:2);
\draw[blue] (275:0.)node(Cr){} to[L,v^=$V_{cr}$,i_<=$i_{cr}$,color=blue] ++(275:2);
\draw[dotted] (Ar) -- (0,0) (Br) --(0,0) (Cr) --(0,0);
\draw (0,0) circle(4);
\draw[dotted] (0,0) circle(3.5);
\draw[-latex] (4.2,0) arc(0:35:4) node[midway,right]{$\theta =\Omega t$};
\draw[dotted] (0,0) circle(2) (35:2) -- ++ (35:2);
\draw[-latex] (4.1,0) arc(0:35:4.1) node[midway,right]{$\theta =\Omega t$};
\end{circuitikz}
\caption{Modèle électrique}
......@@ -297,6 +297,8 @@ On note $\omega_s$ pulsation des courants statoriquen $\omega_r$ la pulsation de
\subsection{Mise en équation}
\subsubsection{Équation statorique}
Chaque phase du stator possède un couplage magnétique avec les autres phases du stator (mutuelle $M_s$) et avec les phases du rotor (mutuelle $M_0$).
On a les équations suivantes pour le stator:
\begin{align*}
v_{as} &= R_s i_{as}(t)+\deriv[\Phi_{as}(t)]{t}\\
......@@ -306,7 +308,7 @@ On a les équations suivantes pour le stator:
\end{align*}
On en déduit donc (Dans le formalisme complexe de l'ARQS)
\[
\underline{V_{as}} = R_s \underline{I_s}+jL_{sc}\omega_s\underline{I_{as}}+j \frac{3}{2}M_0\omega_sI_r
\underline{V_{as}} = R_s \underline{I_s}+jL_{sc}\omega_s\underline{I_{as}}+j \frac{3}{2}M_0\omega_s\underline{I_r}
\]
$I_r$ est à la pulsation $\omega_s$ !
......@@ -326,13 +328,25 @@ Donc on a dans le formalisme complexe de l'ARQS, avec le rotor en court-circuit:
\[
V_{ar} = R_rI_{ar}+jL_{rc}\omega_rI_{ar}+j\frac32 M_0\omega_rI_s =0
\]
Soit en posant $g= \frac{\omega_s-\Omega}{\omega_s}=\frac{\omega_r}{\omega_s}$:
On pose alors le \emph{facteur de glissement:}
\[
\frac{\underline{V_{ar}}}{g} = 0 = \frac{R_r}{g} + jL_{Rc}\omega_sI_{ar}+j\frac32 M_0 \omega_sI_s
\boxed{g= \frac{\omega_s-\Omega}{\omega_s}=\frac{\omega_r}{\omega_s}}
\]
\subsubsection{Modèle par analogie}
On a donc un couplage magnétique et on peux construire un modèle équivalent:
Dans le cas d'une machine à simple alimentation(on étudie l'usage d'une machine à double alimentation dans \ref{sec:MADA}) le rotor est en court circuit:
\[
\frac{\underline{V_{ar}}}{g} = 0 = \frac{R_r}{g} + jL_{Rc}\omega_sI_{ar}+j\frac32 M_0 \omega_sI_s
\]
Le facteur de glissement permets d'exprimer toute les grandeurs comme évoluant à la fréquence statorique.
Il y a un couplage magnétique entre le stator et le rotor , et on peux construire un modèle équivalent,avec $L_{sc}$ et $L_{rc}$ les inductances cycliques du stator et du rotor.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{circuitikz}
......@@ -340,11 +354,14 @@ On a donc un couplage magnétique et on peux construire un modèle équivalent:
\draw (4,0) to[L,l_=$L_{rc}$] ++(0,2)
to[short,i=$I_r$] ++(2,0)
to[R,l=$R_r/g$] ++(0,-2) to[short] ++(-2,0);
\draw[latex-latex] (3,2.1) to[bend left] ++(1,0) node[above left]{$\frac{3}{2}M_0$};
\end{circuitikz}
\caption{Modèle électrique équivalent}
\end{figure}
Le couplage n'est pas parfait: $\frac{3}{2}M_0 < \sqrt{L_{sc}L_{rc}}$. On fait l'analogie avec un transformateur parfait avec pertes :
Le couplage n'est pas parfait: $\frac{3}{2}M_0 < \sqrt{L_{sc}L_{rc}}$.
On fait l'analogie avec un transformateur parfait avec pertes :
% l_fuite= l_2
% sigma = 1 - M_c^2/(L_cs L_cr)
\begin{figure}[H]
......@@ -355,12 +372,14 @@ Le couplage n'est pas parfait: $\frac{3}{2}M_0 < \sqrt{L_{sc}L_{rc}}$. On fait l
(G.B1) to[L,l=$l_{fuites}$] ++(2,0) to[R,l=$R_r/g$] ++ (0,-2) |- (G.B2)
(M) to[R,l=$R_s$] ++(-2,0)
(G.A2) -- ++(-3,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2);
\draw[latex-latex] (G.A1)++(0,0.2) to[bend left] ++(2,0) node[midway, above=1.5em]{$m$}
;
\draw[latex-latex] (G.A1)++(0,0.2) to[bend left] ++(2,0) node[midway, above=1.5em]{$m$} ;
\end{circuitikz}
\caption{Modèle électrique équivalent}
\end{figure}
Avec $m = \frac{M_c}{L_{sc}}$
L'inductance de fuite est la pour témoigné des fuites des lignes de champs qui ne circulent pas dans le rotor.
Avec $m = \frac{M_0}{L_{sc}}$ et $l_{fuites} = L_r-\frac{M_0^2}{L_1}$
On a donc l'impédance équivalente suivante à alimenter:
......@@ -374,14 +393,65 @@ On a donc l'impédance équivalente suivante à alimenter:
\end{tikzpicture}
\caption{impédance équivalente au stator}
\end{figure}
Avec: $ l_{fr}' = \frac{l_{fuite}}{m^2} $ et $R_r' = \frac{R_r}{m^2}$.
Avec:
\begin{itemize}
\item $ l_{fr}' = \frac{l_{fuite}}{m^2} $
\item $R_r' = \frac{R_r}{m^2}$.
\item $R_{fs}$ est ajoutable pour prendre en comptes les pertes fertes, qui pourrait alors être considérée linéaire.
\end{itemize}
\paragraph{Détermination des grandeurs du modèle équivalent:}
\begin{itemize}
\item $R_s$ :
Essai en courant continu , on mesure la resistance des bobinages d'une phase du stator.
\item $L_{sc}/R_{fs}$:
Essai à vide au synchronisme.\\
Lors d'un essai au synchronisme, le champ tournant et le rotor tournent à la même vitesse. Le glissement g est nul et 1/g tend vers l'infini. Le modèle équivalent d'une phase de la machine devient :
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw (0,0) to[open,v=$V_{s0}$] ++(0,2) to[R,l=$R_s$,i>=$I_{s0}$]++(2,0)to[short] ++(1,0) coordinate(A) to[L,l^=$L_{sc}$] ++(0,-2) -- ++(-3,0);
\draw [dotted] (2,2) to[R,l_=$R_{fs}$] ++(0,-2);
\end{circuitikz}
\caption{Modèle au synchronisme}
\end{figure}
On mesurre la puissance active $P_0$ et la puissance réactive $Q_0$ et les courants $I_{s0}$ et $V_{s0}$ on obtient les équations:
\[
\begin{cases}
P_0 = R_s I_{S0}^2+\frac{V'^2}{R_{fs}}\\
Q_0 = \frac{V'^2}{L_{sc}\omega_s}\\
V' = V_{s0} \frac{R_{fs}L_{sc}\omega}{\sqrt{(R_sR_{fs})^2+(L_{sc}\omega(R_F+R_s))^2}}
\end{cases}
\]
$R_S$ étant connue, on peut calculer les trois inconnues :
$R_f,L_{sc},V'$
Le courant $I_{s0}$ étant faible lors de l'essai au synchronisme, on peut généralement négliger la chute de tension due à la résistance statorique devant la tension $V_{s0}$. Les équations deviennent alors :
\[
\begin{cases}
P_0 = \frac{V_{s0}^2}{R_{fs}}\\
Q_0 = \frac{V_{s0}^2}{L_{sc}\omega_s}\\
\end{cases}
\]
Et on a :
\[
\boxed{R_F = \frac{V_{s0}^2}{P_0}} \text{ et } \boxed{L_{sc}=\frac{V_{s0}^2}{Q_0\omega}}
\]
\item $l_{fuites}/R_r$ :
Essai en nominal, on connait le glissement:
\end{itemize}
\subsection{Bilan de puissance}
\begin{align*}
P_{transmise} &= \frac{R_r}{g}I_r^2 \\
P_{Joules} &= R_r I_r^2 \\
P_{Joules, rotor} &= R_r I_r^2 \\
P_{meca} &= P_{transmise}-P_{joules} = R_rI_r^2(\frac{1}{g}-1)
\end{align*}
......@@ -401,20 +471,120 @@ g =\frac{\omega_s-\omega}{\omega_s}
\end{exemple}
\subsection{Couple et puissance}
On a :
À partir du mpdèle déterminer précédement on a en terme valeur efficaces:
\[
I_r = \frac{V_s}{\sqrt{\left(R_s+\frac{R_r'}{g}\right)^2+(l_{fuites}\omega_s)^2}}
\]
\subsubsection{Couple en fonction du glissement}
On étudie une MAS à $p$ paire de poles :
\[
\Omega =(1-g)\frac{\omega_s}{p}
\]
En faisant le bilan de puissance au rotor on a :
\[
I_s = \frac{V_1}{\sqrt{\left(R_1+\frac{R_2}{g}\right)^2+(l_2\omega_s)^2}}
P_e = 3 \frac{R_r'}{g}I_r^2 = C_e \Omega
\]
On étudie une MAS à $p$ paire de poles : $\Omega_{meca} p = \omega $ et $C_{meca}= pC_{em}$.On a
On en déduit alors le couple électromagnétique. \emph{en négligeant la resistance du stator}:
\begin{align*}
C_{em} &= 3 p \frac{V_s^2}{\omega_s} \frac{\frac{R_r'}{g}}{\left(\frac{R_r'}{g}\right)^2+(l_{fuites}\omega_s)^2}\\
&= 3 p \frac{V_s^2}{\omega_s} \frac{1}{\left(\frac{g(l_f\omega_s)^2}{R_r'}\right) + \frac{R_r'}{g}}\\
&= \frac{3p}{l_f}\frac{V_s^2}{\omega_s^2}\frac{1}{\left(\frac{g(l_f\omega_s)^2}{R_r'}\right)+\left(\frac{R_r'}{g(l_f\omega_s)^2}\right)}\\
\Aboxed{&= 2C_{max}\frac{1}{\left(\frac{g}{g_{max}}\right)+\left(\frac{g_{max}}{g}\right)}}
\end{align*}
Avec
\[
C = 3 \frac{P_{meca}}{\omega}
\begin{cases}
C_{max} = \frac{3p}{2l_f}\frac{V_s^2}{\omega_s^2}\\
g_{max} = \frac{R_r'}{l_f\omega_s}
\end{cases}
\]
La courbe représentative de l'expression du couple en fonction du glissement possède une symétrie par rapport à l'origine :
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines =middle,
width = 14cm, height=8cm,
xmin =-1.2, xmax = 1.2,
ymin = -2.5, ymax = 2.5,
ylabel=$C_{em}$,xlabel = $g$,
xtick = {-1,-0.1,0.1,1},
xticklabels={-1,$-g_{max}$,$g_{max}$,1},
ytick= {-2,2},
yticklabels={$C_{max}$,$-C_{max}$},
domain=-1.5:1.5,
samples=100,
]
\addplot[blue] {4/(0.1/x + x/0.1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Couple en fonction du glissement}
\end{figure}
Avec la relation glissement vitesse on a:
% Ajout de la figure
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{Domaines_fonctionnement_MAs.png}
\caption{Mode de fonctionnement de la MAS}
\end{figure}
\subsection{Alimentation par un onduleur}
\emph{merci wikipédia}
\bigskip
Les onduleurs les plus répandus sont les onduleurs MLI (à modulation de largeur d'impulsion) dont le mode de commande permet de garder le rapport U1/f constant et d'obtenir des courants quasiment sinusoïdaux. U1 étant la valeur efficace du fondamental.
\subsubsection{Commande en U/f}
\paragraph{Présentation}
En régime sinusoïdal, la conservation du rapport U/f permet au circuit magnétique d'être dans le même état magnétique quelle que soit la fréquence d'alimentation. Autrement dit, la forme du cycle d'hystérésis parcouru par le circuit magnétique reste identique quelle que soit f. Ainsi, lorsque la fréquence diminue, la valeur efficace du fondamental de la tension diminuant dans les mêmes proportions, il n'y a pas de risque de saturation du matériau magnétique.
Ceci a pour conséquence qu'une commande qui maintient U1/f constant, où U1 représente la valeur efficace du fondamental, permet de conserver la même courbe de couple en fonction du glissement pour n'importe quelle fréquence d'alimentation. Les autres harmoniques présents, multiples de 5 et 7, créent des couples pulsants dont la moyenne est nulle.
Pour cela, la machine asynchrone est alimentée par un onduleur délivrant une tension de fréquence f et dont la valeur efficace du fondamental V1 est telle que le rapport V1/f est maintenu constant
\paragraph{Mise en équation}
On reprend l'équation générale du couple :
:\[ T_{em}= \frac{3 p}{\mathcal{N}_r} \cdot \frac{V_S^2}{ \omega_S^2} \cdot \frac{1}{\left(\frac{g \mathcal{N}_r \omega_S}{R_r^*}\right)+ \left(\frac{R_r^* }{g \mathcal{N}_r \omega_S }\right)} \,\]
On note $ C_{max} $le couple maximal.
\[ C_{max}=\frac{3 p}{2*\mathcal{N}_r} \cdot \frac{V_S^2}{ \omega_S^2} \]
On réécrit la relation flux/tension afin de faire apparaître le flux.
\[\frac{d\Phi_A}{dt}=j \omega_S * \Phi_A = V_A \]
On note $ \Phi_s$ la valeur efficace du flux nominal.
\[ C_{max}=\frac{3 p}{2*\mathcal{N}_r} \cdot \Phi_s^2 \]
Si on garde le rapport $\frac{V_S}{ \omega_S}$ constant, il est donc possible de déplacer la vitesse à laquelle $ C_{max}$ est disponible. L'expression du couple devient :
\[T_{em}= \frac{2 C_{max}}{\left(\frac{g \mathcal{N}_r \omega_S}{R_r^*}\right)+ \left(\frac{R_r^* }{g \mathcal{N}_r \omega_S }\right)}\]
Après un \emph{développement limité} au premier ordre de $T_{em}$ lorsque $g$ tend vers 0, on obtient :
\[T_{em}= Cte \cdot g \cdot \omega_S = Cte \cdot (\omega_S - \omega) = Cte \cdot (n_S - n) \,\]
pour faire varier $\omega_s$ on fais varier $V_s$.
\section{La machine asynchrone a double alimentation}
\label{sec:MADA}
Variation de fréquence à $U/f$ constant : droite affine. (seuil à l'origine)
\section{La machine asynchrone en génératrice}
......
......@@ -393,8 +393,29 @@ On en déduit que la contribution de cet élément à la puissance mécanique es
\d P_m = \d C \Omega =\frac{1}{2}\rho r V_a^2\Omega.l\left(C_L(i).cos(\beta-i)-C_D(i).\sin(\beta-i)\right)dr
\]
$V_a= f(V,\Omega,)$ et $i= f(\beta,r,\Omega,V)$
La figure 6 représente l’allure de la contribution à la puissance mécanique de ce tronçon pour un angle $y$ de calage et une vitesse de vent donnés.
\[V_a^2 = V^2+(\Omega r)^2 \]
et \[i= \beta-\arctan\left(\frac{r\Omega}{V}\right)\]
La figure suivante représente l’allure de la contribution à la puissance mécanique de ce tronçon pour un angle $y$ de calage et une vitesse de vent donnés.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[xmin=0,xmax=2,ymin=0,ymax=1.4,
ytick={0,0.2,0.4,0.6,0.8,1},
height=9.5cm,width=7cm,
ylabel=$dPm$,xlabel=$\Omega$,
xtick={1,1.2,1.8},
xticklabels={,$\Omega_1$,$\Omega_2$},
domain=0:2]
\addplot[black] {-x*(x-1.8)/0.81};
\addlegendentry{$V=10m/s,\beta_1=\pi/4$};
\addplot[black,dashed] {-x*(x-1.2)*2};
\addlegendentry{$V=10m/s,\beta_1=\pi/5$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Évolution de la puissance en fonction de la vitesse angulaire de rotation pour un angle de calage donné et deux vitesses de vent}
\end{figure}
À vitesse de vent donnée, la puissance passe par un maximum qui dépend de la vitesse du vent. Cette puissance s’annule pour un angle $(i)$ d’incidence nul, soit encore pour : $\Omega=\frac{V}{r}\tan(\beta)$
\begin{rem}
......
......@@ -11,17 +11,15 @@
\maketitle
\tableofcontents
\chapter{La machine asynchrone - principe et modèle}
\chapter{La machine asynchrone}
\emph{Anthony Juton}
\subfile{chap1.tex}
\chapter{Production d'électricité d'origine non nucléaire}
\subfile{chap2.tex}
\chapter{L'éolien : principe physique}\label{chap:eol}
\subfile{chap3.tex}
\chapter{La machine asynchrone en génératrice}
\chapter{La machine asynchrone à double excitation}
\chapter{Physique de la conversion électrovoltaïque}
\subfile{chap6.tex}
\chapter{Électronique de puissance pour les parcs éoliens connectés au réseau}
......
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