En pratique, soit $V\in\mathbb{K}^{n\times}$ inversible, tel que $V^{-1}AV = J$, $J\in\mathbb{K}^{n \times n}$ matrice de Jordan ou bien $J =\Lambda=\text{diag}(\lambda_1...\lambda_n), \lambda_i$ valeurs propres de A
\begin{thm}[Exponentielle d'un bloc de Jordan]
On note $J_p(\lambda)\in\K^{p\times p}$ le $p$-ième bloc de jordan $
\begin{bmatrix}
\lambda&1&&\\
&\ddots&\ddots&\\
&&\lambda&1
\end{bmatrix}$
On a :
\[
e^{J_p(\lambda)t}= e^{\lambda t}
\begin{bmatrix}
1& t &\frac{t^2}{2}&\dots&\frac{t^p-1}{(p-1)!}&\frac{t^p}{p!}\\
\subsection{Modèle d'état pour quelques associations de systèmes (TD1)}
\newpage
\section{Stabilité}
\subsection{Concept de stabilité}
\emph{sur le poly}
On étudie la stabilité d'un système dynamique au sens de \textsc{Lyapunov}.
\begin{defin}
Un état d'équilibre du système autonome est un vecteur d'état, noté $x_e\in\K^n$ tel que
\[
A x_e =0
\]
\end{defin}
\begin{defin}
Un point d'équilibre $x_e,u_e$ est :
\begin{description}
\item[ - simplement stable] ~\\
si pour tout voisinage $V_1$ de $x_e$, il existe un voisinage $V_2$ tel que $\forall x_0\in V_2, \forall t, x(t)\in V_1$
\item[- asymptotiquement stable]~\\
Si il existe un voisinage $V_1$ de $x_e$ tel que $\forall x_0\in V_1$, $x(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} x_e$
\item[- globalement asymptotiquement stable] ~\\
si $\forall x_0$, $x(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} x_e$.
\item[- instable] sinon
\end{description}
\end{defin}
\subsection{Caractérisation des différents type de stabilité}
Soit $A \in\K^{n\times n}$ une matrice d'évolution d'un système $(\Sigma)$, de valeurs propres $\lambda_1, ..., \lambda_r$ deux à deux disctintes et de multiplicité algébrique (ordre des racines du polynome annulateur, taille des sous-espace propres) respectives $m_1, ... ,m_r $. on note $\nu_1 ,...,\nu_r$ les multiplicité géométrique (taille des sous-espaces caractéristiques \footnote{$\forall k\ge\nu_i , (A-\lambda_iI_n)^k =0$})
\begin{thm}[Stabilité analogique]
La stabilité de l'origine (apres translation d'état) est donnée par :
\begin{itemize}
\item si $\exists i $ tq $\Re(\lambda_i)>0$ alors 0 est \textbf{instable}
\item sinon:
\begin{itemize}
\item si $\forall i , \Re(\lambda_i)<0$ alors 0 est \textbf{globalement asymptotiquement stable}
\item si $\exists j, \Re(\lambda_j)=0$ et $\nu_j>1$ alors 0 est \textbf{instable}
\item si $\forall j, \Re(\lambda_j)=0$ et $\nu_j=1$ alors 0 est \textbf{stable sans être asymptotiquement stable}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{thm}
\begin{thm}[Stabilité numérique]
La stabilité de l'origine (apres translation d'état) est donnée par :
\begin{itemize}
\item si $\exists i $ tq $|\lambda_i| > 1$ alors 0 est \textbf{instable}
\item sinon:
\begin{itemize}
\item si $\forall i , |\lambda_i|<1$ alors 0 est \textbf{globalement asymptotiquement stable}
\item si $\exists j, |\lambda_j| =1$ et $\nu_j>1$ alors 0 est \textbf{instable}
\item si $\forall j, |\lambda_j| =1$ et $\nu_j=1$ alors 0 est \textbf{stable sans être asymptotiquement stable}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{thm}
\section{Commandabilité et observabilité}
Problème : existe-t-il une commande $u(t)$ permettant de passer d'un point de fonctionnement à $t=t_1$ à un autre à $t=t_2$ ?
...
...
@@ -673,7 +746,6 @@ De même :
\end{proof}
\section{Relation modèle d'état / fonction de transfert}
\subsection{Modèle d'état vers fonction de transfert}
...
...
@@ -721,43 +793,6 @@ Or, $P_A(p) = det(p1_n-A)$. $Adj(p1_n-A)\in\K^{n\times n}[X]$ Les éléments de
\emph{Voir polycopié}
\subsubsection*{Formes canoniques à matrice d'évolution compagnon}
