1ere partie 451

451-Signal_Image/Cours/chap0.tex

+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+\begin{document}
+Les signaux déterministe sont utilisé pour les test ou les commandes . Ils sont cependants insuffisant pour décrire l'ensemble des phénomènes qui peuvent être aléatoire ou stochastique. Il est donc nécessaire d'introduire des ``signaux aléatoires'' (SA).
+\begin{exemple}[Lot de resistances ``identiques'']
+  On considère un lot de résistance de même valeur indiqué par le code couleur, et de même précision. Elles ont en réalité toutes des valeurs différentes $R_i$. on note $s_i(t)$ , la tension au borne de $R_i$.
+
+  On a $s_i(t)=0$ mais avec $A\gg1$ on obtient $A.s_i(t)\neq 0$.
+
+  Alors: $\overline{s_i(t)} = 0$ mais il existe une fluctuation de la tension due au bruit thermique.
+
+  On note alors :
+  \[
+    s_i(t) = s(t,i) = s(t,\omega)
+  \]
+  C'est une réalisation particulière du SA, appelé par la suite trajectoire.
+\end{exemple}
+
+Dans le cas général on parle de fonction aléatoire $F(\theta,\omega)$ ,où $\theta$ est un paramètre certain (comme le temps par exemple).
+
+
+\begin{rem}
+  Un signal aléatoire n'est caractérisé qu'en moyenne.
+  \begin{itemize}
+  \item moyenne à $\omega$ donné : $s(t,\omega_0) =s_0(t)$ : \textbf{moyenne temporelle}
+  \item moyenne à $t$ donné : $s(t_0,\omega) = s_0(\omega)$ : \textbf{moyenne statistique}.
+  \end{itemize}
+\end{rem}
+On dit aussi que $S(t,\omega) = S_t(\omega)$ est une famille de variable aléaoire indexé par le temps, qui décrit l'aspect incertain à chaque instant.
+\begin{figure}[H]
+  \centering
+  \begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+      scale=1.5,
+    axis lines = middle,
+    set layers=standard,
+    domain=0:10,
+    samples y=1,
+%   view={-10}{-20},
+    unit vector ratio*=1 5 1,
+    xtick=\empty, ytick=\empty, ztick=\empty,
+    %xlabel=$t$,ylabel=$\omega$,
+    xmax=12,ymax=3.1,
+    ]
+    \foreach \p in {0,1,2,3}
+    {\addplot3[thick, black] (x,\p,{2*sin(deg(x)+\p*70)});}
+    \foreach \t in {3,6,9}
+    {\addplot3[dashed,domain=0:3] (\t,x,0);}
+    \foreach \t in {3,6,9}
+    \foreach \u in {0,1,2,3}
+    {\addplot3[dotted, domain=0:{2*sin(deg(\t)+\u*70)},samples=2,mark size=0.5pt,mark=*] (\t,\u,x);}
+    \foreach \v in {1,2,3}
+   \addplot3[dotted, domain=0:{2*sin(\v*70)},samples=2,mark size=0.5pt,mark=*] (0,\v,x);
+    \node[above,right] at (axis cs: 12,0,0) {$t$};
+    \node[above,left] at (axis cs: 0,3,0) {$\omega$};
+  \end{axis}
+  \end{tikzpicture}
+  \caption{Représentation des trajectoires d'un signal aléatoire}
+\end{figure}
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:

451-Signal_Image/Cours/chap1.tex

+\documentclass[main.tex]{subfiles}
+\begin{document}
+\section{Probabilités}
+\subsection{Évènement}
+\begin{itemize}
+\item La réalisation d'une expérience aléatoire (on ne peux pas prédire avec certitude le résultat) est un \textit{évènement} $\omega$, singleton de $\Omega$ ensembles de tous les évènements.
+  \begin{exemple}[jet de dé]
+    aux évènements    ``Tirer 1, ... ,6 `` on associe $\Omega={\omega_1,...\omega_6}$
+  \end{exemple}
+\item $\mathcal{E} $est une tribu (ou $\sigma$-algèbre) de $\Omega$, tel que:
+  \begin{itemize}
+  \item $\Omega \in \mathcal{E}$
+  \item $\mathcal{E}$ est stable par union , intersection et complémentarité.
+  \end{itemize}
+\end{itemize}
+\subsection{Probabilités}
+\begin{defin}
+  On appelle probabilité :
+  \[
+    P : \begin{cases}
+      \mathcal{E} &\to [0,1]\\
+      E &\mapsto P(E)
+        \end{cases}
+   \]
+   tel que:
+
+   \begin{itemize}
+   \item $    P(\Omega) = 1 $
+   \item $ \forall E_i , i\in \mathbb{I} \text{ , desév disjoint 2 à 2}, \implies
+     P\left(\displaystyle\bigcup_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\sum_{\mathbb{I}} P(E_i)$
+   \end{itemize}
+
+ \end{defin}
+
+\pagebreak
+ \begin{prop}
+   \begin{itemize}
+   \item  $ P(\bar{E}) = 1-P(E)$
+   \item $(P(\emptyset) = 0)$
+   \item $A \subset B  \implies P(A) \leq P(B)$
+   \item $P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
+   \end{itemize}
+ \end{prop}
+\subsection{Probabilités conditionnelles}
+
+\begin{defin}
+  Soit $A$ et $B$ deux évènements.  On appelle \emph{probabilité conditionnelle} la probabilité de $A$ sachant que  $B$ est réalisé:
+  \[
+    P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
+  \]
+\end{defin}
+\begin{prop}[Formule de Bayès]
+  \[
+    P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
+  \]
+\end{prop}
+
+\subsection{Indépendance}
+\begin{defin}
+  Deux évènements $A$ et $B$ sont dits \emph{indépendant} si et seulement si le fait que $A$ est réalisé n'apporte pas d'information sur la réalisaiton de $B$
+    \begin{align*}
+      & P(A|B) = P(A)\\
+      \iff & P(B|A) = P(B)\\
+      \iff & P(A\cap B) = P(A) .P(B)
+    \end{align*}
+\end{defin}
+\begin{defin}
+  Des évènements $(E_i)_{i\in\mathbb{I}}$  sont dits mutuellement indépendants (ou encore indépendants dans leur ensemble), si et seulement si:
+  \[
+  P\left(\displaystyle\bigcap_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\prod_{\mathbb{I}} P(E_i)
+\]
+\end{defin}
+
+\begin{prop}
+  L'indépendance dans son ensemble implique l'indépendance deux à deux. \\
+  La réciproque n'est pas forcément vraie.
+\end{prop}
+\section{Variable aléatoire réelle et scalaire}
+On se place dans un espace probabilisé $\Omega$ donné.
+\subsection{Généralité et exemple}
+\begin{defin}
+  On appelle \emph{Variable aléatoire} (VA) :
+  \[
+    X :
+    \begin{cases}
+      \Omega \to \R \\
+      \omega \mapsto X(\omega)=x
+    \end{cases}
+  \]
+\end{defin}
+\begin{exemple}
+  \begin{itemize}
+  \item Dé à n faces (discret)
+  \item distance d'une flèche au centre de la cible.
+  \end{itemize}
+\end{exemple}
+\begin{prop}
+  Pour des variables aléatoires continues,
+  \[
+    P(X=x) = 0 , \forall x\in \R
+  \]
+  car $x$ est un point de mesure nulle.
+\end{prop}
+
+
+\subsection{Fonction de répartition}
+
+\begin{defin}
+  On appelle fonction de répatition:
+  \begin{align*}
+    F_X(x) &= P(X\leq x) = P(X \in ]-\infty,x])\\
+           &=P(\{\omega \in \Omega|X(\omega)\le x \})
+  \end{align*}
+\end{defin}
+\begin{prop}
+  \begin{itemize}
+  \item $0 \le\F_X(x) \le1$
+  \item $P(a\le X\le b) = F_X(b)-F_X(a)$
+  \item $F_x$ est une fonction :
+    \begin{itemize}
+    \item non décroissante
+    \item continue presque partout
+    \end{itemize}
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+
+Une variable aléatoire est complétement caractérisée par sa f.d.r
+\begin{rem}
+  Dans le cas d'une VAD , $F_X$ est en marche d'escalier.
+\end{rem}
+\subsection{Densité de probabilité}
+\begin{defin}
+  On appelle \emph{densité de probabilité} la fonction :
+  \[
+f_X(x) \equals_{\mathcal{D}} \dervi[F_X(x)]{x}
+\]
+Avec la dérivée généralisé au sens des distributions.
+\end{defin}
+\begin{prop}
+  \begin{itemize}
+  \item Les fonction de densité de probabilité et de répartition sont équivalentes pour décrire une variable aléatoire.
+  \item $f_X(x)\ge 0$
+  \item $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\d x = 1$
+  \item $\displaystyle \int_{-\infty}^{x}f_X(\alpha)\d \alpha = F_X(x)$
+  \end{itemize}
+\end{prop}
+
+\begin{rem}
+  Pour les variables aléatoires discrètes, la ddp est une suite d'impulsion de Dirac :
+  \[
+    f_X(x) = \sum_{i\in\mathbb{I}}p_i\delta(x-x_i)
+  \]
+\end{rem}
+
+\begin{exemple}
+  \begin{itemize}
+  \item VAC uniforme sur $[a,b]$:
+    \[
+      f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbb{1}_{[a,b]}
+    \]
+  \item VAC gaussienne :
+    \[
+      f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} exp\left(\frac{-1}{2}\frac{(x-m_x)^2}{\sigma_X^2}\right)
+    \]
+  \end{itemize}
+\end{exemple}
+
+\subsection{Changement de VA}
+\begin{prop}
+  Soit $g :
+  \begin{cases}
+    \R \to \R \\
+    X \mapsto g(X) = Y
+  \end{cases}$ une fonction homéomorphique\footnotemark \\
+  Alors :
+  \[
+    f_Y(y) = f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right| = f_X(x) \frac{1}{ \left|\deriv[y]{x}\right|}
+  \]
+  Dans le cas ou $g$ n'est pas bijective :
+  \[
+    f_Y(y) = \sum_{x_i|g(x_i)=y}^{}f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right|_{x=x_i}
+  \]
+\end{prop}
+\footnotetext{continue, bijective continue}
+
+\subsection{Expérance, moment et fonction caractéristique}
+
+
+
+
+\subsection{Fonction caractéristique}
+\section{Couple de variable aléatoire réelles}
+\subsection{Généralité}
+\subsection{Fonction de répartition}
+\subsection{Densité de probabilité}
+\subsubsection{Espérance de la VA}
+\subsection{Indépendance}
+\subsection{Changement de VA}
+\subsection{Espérance et moments-fonction caractéristique}
+\section{Variable aléatoire vectorielle et réelles}
+\subsection{Définition}
+\subsection{Fonction de répartition}
+\subsection{Densité de Probabilité}
+\subsection{Indépendance}
+\subsection{Changement de variable aléatoire}
+\subsection{Espérance, moments et fonction caractéristique}
+\subsection{Va Gaussienne et réelle}
+\section{Extension aux VA complexes}
+
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "main"
+%%% End:

451-Signal_Image/Cours/main.tex

@@ -12,8 +12,12 @@
 
 \maketitle
 \tableofcontents
-\chapter{Chapitre 1}
-\chapter{Chapitre 2}
+\chapter*{Introduction}
+\subfile{chap0.tex}
+\chapter{Rappel d'élement de probabilité et de VA}
+\subfile{chap1.tex}
+\chapter{Signaux Aléatoire}
+
 \chapter{Filtrage des Signaux Aléatoires}
 \subfile{chap3.tex}
 
@@ -24,3 +28,8 @@
 
 
 \end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: t
+%%% End: