On a un montage amplificateur non inverseur idéal. Donc $V_+=V_-=V_e$. Et comme $i_1=i_2$ on a $\frac{V_s}{V_e}=1+\frac{R_2}{R_1}= G_v$ gain du montage. Si $R_1=R_2$ alors $G_v =2$
\paragraph{Étude de l'AO non idéal tel que : }$R_e \neq\infty$ et $\mu\neq\infty$.\\
Si on prend $R_1=R_2=1K\Omega$, $R_e=1M\Omega$ et ${G'}_v=1.9999$.\\
En conclusion, l'influence de $\mu\neq\infty$ et $R_e \neq\infty$ est négligeable.
\paragraph{Influence de la dépendance du gain à la fréquence}$R_e \rightarrow\infty$ et $u(p)=\frac{A_0}{1+\frac{p}{\omega_c}}$ avec $Z_0=10^6$ et $\frac{\omega_c}{2\pi}$.\\
On a d'après le calcul précédent et $R_e \rightarrow\infty$:\\
\begin{align*}
{G''}_v &= \frac{\mu(R_1+R_2)}{R_1\mu+R_1+R_2}\\
&=\frac{1}{\frac{R_1}{R_1+R_2}+\frac{1}{\mu}}\\
&= \frac{1}{\beta+\frac{1}{\mu}}\text{\indent avec }\beta=\frac{R_1}{R_1+R_2}=\frac{1}{G_v}\\
&=\frac{1}{\beta(1+\frac{1}{\mu\beta})}
\end{align*}
\noindent L'erreur relative est $\delta=\frac{v^{ideal}_s-v_s}{v_s}$.\\
Il faut imposer $\frac{R}{r}=1$ et $\frac{1}{rC}=\omega_a$.
Avec $C=1nF, f_1=4kHz$, on obtient $R =39.8k\Omega= r$.
\paragraph{Passe-haut d'ordre 2} On utilise un filtre de Sallen-Key dont la structure a été vue au TD1.
\[ H_2(p)= A \frac{(\frac{p}{\omega_0})^2}{1+2m(\frac{p}{\omega_0})+(\frac{p}{\omega_0})^2}\text{ avec }\omega_0=\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}\text{ et } m =\frac{R_1(C_1+C_2)+ R_1 C_2(1-K)}{2\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}\]
Il faut imposer $\omega_0=\omega_a$ et $m=1/2$. On fixe $ C = C_1= C_2=1nF$ et $R_1=30k\Omega$.
m = \frac{1}{2}&\Rightarrow\frac{R_12C) + R_1 C(1-K)}{2}\omega_0 = \frac{1}{2}\\
&\Rightarrow R_1(3C-KC)\omega_a = \frac{1}{2}\\
&\Rightarrow K = 3 - \frac{1}{\omega_aR_1C}\\
&\Rightarrow K = 1,67
\end{align*}
Remarque : le réglage de $K$ peut se faire par exemple à l'aide d'une résistance $r_2$ variable.
\item Les filtres actifs ont une grande impédance d'entrée et une faible impédance de sortie, ce qui permet de les cascader sans qu'ils aient d'influence les uns sur les autres. La fonction de transfert est alors le produit des fonctions de chacun des filtres.
En revanche, ces filtres nécessitent d'être alimentés pour fonctionner.
\end{itemize}
\subsubsection*{Sensibilité}
On calcule la sensibilité de $\omega_1$ par rapport au paramètre $C$ :
Si $C$ (ou $r$) est connue avec une incertitude de $5\%$, alors l'incertitude engendrée sur $\omega_1$ sera de $5\%$. La précision de la valeur de ces composants est donc primordiale pour obtenir la fréquence $f_a$ désirée.
\newcommand{\nomTD}{TD3 : Stabilité des systèmes linéaires}
\renewcommand{\nomentete}{UE431 - \nomTD}
\begin{document}
\section*{\nomTD}
On considère un système d'entrée $e(t)$ et de sortie $s(t)$ régi par l'équation différentielle suivante :
\[\tau^2\frac{d^2s(t)}{dt^2}+\tau\frac{ds(t)}{dt}=-e(t), \text{ avec }
\left\{
\begin{array}{rl}
s(0^+)=&0\\
\frac{ds(t)}{dt} |_{0^+}=&0\\
\tau > &0
\end{array}
\right.
\]
\subsection*{Généralités}
\begin{itemize}
\item Tout système défini par une équation différentielle à coefficients constants est linéaire.
\item La relation entrée sortie est définie par \[ s(t)=(h*e)(t)\] où $h(t)$ est la réponse impulsionnelle du système, obtenue pour une entrée impulsionnelle $\delta(t)$.
Le problème est qu'il n'est pas évident de savoir si le système est stable à partir de l'équation différentielle. C'est pour cela que l'on passe dans le domaine de Laplace, et non \textit{Attention, humour !} parce qu'il y a la place d'y passer.
\subsection*{Stabilité}
\begin{itemize}
\item Dans le cas de signaux causaux, la définition de la transformée de Laplace unilatérale $X(p)$ d'un signal $x(t)$ est :
\[ X(p)=\int_0^{\infty} x(t) e^{-pt} dt \]
\item On cherche à exprimer $H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}$. Pour cela, on passe l'équation différentielle définissant le système dans le domaine de Laplace.
Le système n'est pas stable car $\int_{-\infty}^{+\infty} |h(t)|dt$ diverge. Après une excitation impulsionnelle, le système tend vers une position d'équilibre qui n'est pas la position de repos.
\textit{Généralisation :} Le système est stable si tous les pôles de $H(p)$ sont à parties réelles strictement négatives. (Ici, les pôles sont $p_1=0$ et $p_2=-\frac{1}{\tau}$. C'est $p_1$ qui est responsable de l'instabilité.)
Pour expliciter cette condition, prenons par exemple $H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}$ avec $D(p)$ un polynôme de degré 2. On note $\Delta$ son discriminant.
Si $\Delta < 0$, alors les racines de $D(p)$ sont complexes conjuguées et on peut écrire \[\frac{1}{D(p)}=\frac{A_i}{p-(a \pm jb)}\]
Or, $\frac{A_i}{p-p_i}= TL[A_i e^{p_it}]$ donc $TL^{-1}[\frac{1}{D(p)}]= A_ie^{at}e^{\pm jb}$.
Le système est stable si $e^{at}\rightarrow_{t\rightarrow\infty}0$, c'est-à-dire si $a < 0$, soit $Re(p_i) < 0$.
\end{itemize}
\subsection*{Effet du bouclage sur la stabilité}
On envisage le bouclage du système linéaire défini précédemment par un gain $k$ réel.
\begin{itemize}
\item On a immédiatement la fonction de transfert en boucle fermée (formule de Black) :
\begin{align*}
G(p) & = \frac{H(p)}{1+kH(p)}\text{ avec } H(p) = -\frac{1}{\tau p (\tau p +1)}\\
\item Cas $\Delta > 0$ i.e. $k>-\frac{1}{4}$ : les racines de $D(p)$ sont alors $p_{1,2}=\frac{-1/\tau\pm1/\tau\sqrt{1+4k}}{2}$
Si $1+4k \geq1$ i.e. $k\geq0$, il existe une racine positive et une racine négative : le système est instable.
Si $0\leq1+4k < 1$ i.e. $-\frac{1}{4}\leq k < 0$, alors les deux racines sont strictement négatives : le système est stable.
\item Cas $\Delta < 0$ i.e. $k < -\frac{1}{4}$ : les racines de $D(p)$ sont $p_{1,2}=\frac{-1/\tau\pm1/\tau j \sqrt{-(4k+1)}}{2}$.
Les racines sont à partie réelle strictement négative donc le système est stable.
\end{itemize}
En conclusion,
\begin{align*}
k \geq 0 &\rightarrow\text{ instable}\\
k < -\frac{1}{4}&\rightarrow\text{ stable}
\end{align*}
Dans cet exemple, on rend le système stable par bouclage avec un gain $k<0$.
\end{itemize}
\medskip
\noindent De manière générale, le bouclage peut avoir soit un effet stabilisant, soit un effet déstabilisant sur un système.
\subsection*{Étude de la stabilité à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte}
On considère toujours le même système bouclé. On étudie sa stabilité à partir du critère de Nyquist, lequel repose sur une étude géométrique de $T(p)$, fonction de transfert en boucle ouverte du système.
On ne considèrera ici que le cas $k>0$.
\[T(p)=\frac{-k}{\tau p(1+\tau p)}\]
\textit{Rappel du critère de Nyquist}
Il est basé sur la relation $\boxed{N=P-Z}$ où
\begin{itemize}
\item$N$ : nombre de tours algébriques autour du point (-1,0) faits par le lieu de Nyquist de $T(p)$
\item$P$ : nombre de pôles à $Re >0$ de $T(p)$
\item$Z$ : nombre de zéros à $Re >0$ de $1+T(p)$
\end{itemize}
Un système est stable en boucle fermée si $Z=0$.\\
\textit{Étapes de la démonstration}
\begin{enumerate}
\item On trace le Bode de $T(p)$ : $|T(p)| et Arg(T(p))$
\item On trace le Nyquist (représentation de $T(p)$ dans le plan complexe)
\item On compte $N$
\item On détermine les pôles de $T(p)$ et on compte $P$ le nombre de pôles à $Re>0$ (compris dans le contour de Bromwich)
\item On en déduit $Z=P-N$ et on conclut sur la stabilité.
On ne peut pas représenter facilement ces expressions de $X(f)$, c'est pour cela qu'on utilise $|X(f)|$ ou $|X(f)|^2$ (densité spectrale de puissance).
\item$y(t)=(h*x)(t)$ et $Y(f)= H(f) X(f)$.
\end{enumerate}
\subsection*{B. Système non linéaire}
\begin{enumerate}
\item On considère deux cas : $u=A$ et $u=-A$.
\textbf{1er cas : }$u = A$
On a $V_A =\frac{A}{2}$ et $V_B =-\frac{A}{2}$. Les diodes $D_1$ et $D_2$ sont donc bloquées et on a $0V$ au point D.
On a alors $v(t)=-2e(t)$.\\
\textbf{2e cas : }$u =- A$
Les diodes $D_1$ et $D_3$ sont bloquées.
On a alors $v(t)=2e(t)$.\\
On peut donc écrire $v(t)=-\frac{2}{A} u(t)e(t)$
Or, on peut décomposer le signal carré $u(t)$ :
\[u(t)=\skzi\frac{4}{(2k+1)\pi} A \sin((2k+1)2\pi f_0t)\]
Donc on a le spectre de $u(t)$ :
\[V(f)=\skzi\frac{4}{(2k+1)\pi} A \frac{1}{2j}(\delta(f-(2k+1)f_0-\delta(f+(2k+1)f_0))\]
On recopie le spectre centré de $|E(f)|$ à $f_0$, $3f_0$, $5f_0$, ...
\item On choisit le filtre passe bande qui sélectionne une bande qui ne contient que le spectre autour de $f_0$. Ainsi, on a transposé l'information autour de $f_0$.
