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"sec:org3a2c3b7"
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\newcommand\gauss[2]{1/(#2*sqrt(2*pi))*exp(-((x-#1)^2)/(2*#2^2))} % Gauss function, parameters mu and sigma
\begin{document}
\section{Introduction}
\paragraph{Objectif}: Présenter quelques élements de la théorue de l'estimation statistique.
\subsection{Problématique}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\node[draw, ellipse] (P) at (0,0) {
\begin{tabular}{c}
paramètres \\$\theta = \vect{\theta_1\\ \vdots\\\theta_n}$
\end{tabular}};
\node[draw, ellipse] (O) at (5,4) {
\begin{tabular}{c}
Observation \\
Y=$g(\theta)$
\end{tabular}};
\node[draw, ellipse] (E) at (10,0){
\begin{tabular}{c}
Estimée\\
$\hat{\theta} = h(y)$
\end{tabular}};
\draw[->,>=latex] (P) to[out=90, in = 180] (O);
\draw[->,>=latex] (O) to[out=0, in=90] node[near end,left]{
\begin{tabular}{c}
Information à priori\\
+ Critère
\end{tabular}}
(E);
\end{tikzpicture}
\caption{Méthode d'estimation classique}
\end{figure}
Le raisonnement se transpose alors sur la figure suivante:
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=latex] (0,2) node{$\bullet$}node[right](theta){$\theta$} -- node[midway,left]{$\tilde{\theta}$}(-0.5,0) node{$\bullet$}node[right](hat){$\hat{\theta}$} ;
\node[draw,ellipse,fit= (theta) (hat)](par) {};
\node[below=5em] at (par) {\emph{Espace des paramètres}};
\node (y) at (5,2) {$\bullet$~$y$};
\node[draw,ellipse,minimum height=4cm,minimum width=2cm] (obs) at (5,1){};
\node[below=5em] at (obs){\emph{Espace des observations}};
\draw[->,>=latex] (theta) to[out=60, in=120] node[midway,above]{\emph{observation}} (y);
\draw[->,>=latex] (y) to[out=-120,in=30,bend left] node[midway,below=0.5em]{\emph{estimation}}(hat);
\end{tikzpicture}
\caption{Raisonnement en espace algébrique}
\end{figure}
On défini les index suivants:
\begin{description}
\item[m] nombre d'expérience réalisée (taille de $y$)
\item[n] nombre de paramètres (taille de $\theta$)
\end{description}
\paragraph{Estimateurs statistiques}
On observe une réalisation $y= g(\theta)$$\theta$ est une VA. et on détermine $\hat{\theta} = h(Y)$ estimée.
\paragraph{Exemple}
\subparagraph{Exemple 1}$\Theta$ tension constante.\\
$y(t) = \theta +b(t)$. soit $y_i = \theta + b_i$\\
On défini donc $Y$ et $\Theta$ VA et on a $Y = A\Theta + B$ -> régression linéaire.
\subparagraph{Exemple 2} filtre $RC$ $y(t) = (1-e^{-t/\tau})u(t)+b(t)$ , $\Theta=\tau$. modèle non linéaire, traité en TD.
\subsection{Performance-Qualité d'une estimation}
\begin{prop}[Grandeurs utiles]
\begin{itemize}
\item erreur d'estimation
\[
\tilde{\theta} = \hat{\theta}-\theta
\]
\item moment d'ordre 1:
\[
E_{Y|\Theta}[\tilde{\theta}]= E_{Y|\Theta}[\hat{\theta}]-\theta
\]
\item Biais moyen :
\[
E[\tilde{\theta}] = E_{Y\Theta}[\tilde{\theta}] = E[\hat{\theta}]-\theta
\]
\item moment d'ordre 2:
\begin{itemize}
\item covariance de l'erreur d'estimation
\[
C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = E[(\tilde{\theta}-m_{\tilde{\theta}})(.)^T]
\]
\item Corrélation de l'erreur d'estimation
\[
\Gamma_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = E[\tilde{\theta}\tilde{\theta}^T]
\]
\item Puissance :(Estimateur Quadratique moyen)
\[
P_{\tilde{\theta}} = E[\| \tilde{\theta}\|^2] = tr(\Gamma_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}})
\]
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{prop}
\subsection{Caractérisation des estimateurs}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Borne de Cramer Rao:
borne minimale du biais de variance (qui dépend de l'estimateur choisi)
\item Estimateur non biaisé: $E[\tilde{\theta}] = 0$
\item Estimateur efficace: Borne de Cramer-Rao atteinte.
\item Estimateur consistent: $E[\tilde{\theta}]\xrightarrow[N_{obs}\to\infty]{}0$ et $V[\tilde{\theta}]\xrightarrow[N_{obs}\to\infty]{}0$
\item Estimateur robuste:\\ Les performances de l'estimateur ne sont pas trop dégradé si on s'écarte un peu des hypothèses sous laquelle l'estimateur a été établi.
\item Complexité de l'estimateur:\\
sur l'o btention des connaissances et mise en oeuvre de l'estimateur.
\end{itemize}
\end{defin}
\section{Théorie classique de l'estimation}
\subsection{Estimateur des moindres carrés}
\begin{defin}
Pour $Y$ une VA de moyenne $m_y =m_{Y|\theta}$ on défini le critère :
\[
J_{MC} = (Y-m_y)^TM(Y-m_y)
\]
Avec $M$ matrice symétrique définie positive
et alors:
\[
\hat{\theta}_{MC} = \arg\min_{\theta} J_{MC}(Y,\theta)
\]
\end{defin}
\subsubsection{Condition nécessaire d'existance}
Si $J_{MC}(y,\theta)$ est dérivable et pas de contrainte sur $\theta$.
\[
\left.\nabla_J(\theta)\right|_{\hat{\theta}_{MC}} = \derivp[J_{MC}]{\theta} = 0 \quad \text{ Gradien}
\]
Il faut ensuite vérifié que c'est un minimum absolu:
\[
\nabla^2_{J}(\theta) = \derivp[{}^2J_{MC}]{\theta\partial\theta^T} > 0 \quad \text{Hessien}
\]
\paragraph{Application} $Y = A\theta{} + B$, avec $B$ une VA.
le critère des moindres carrés est alors :
\[
J_{MC} = (Y-A\theta-m_B)^TM (Y-A\theta-m_B)
\]
On a une forme quadratique positive car $A^TMA \geq0 $. (dans le cas $>0$ on a une CNS sur ce qui suit)
\subparagraph{Méthode 1}
\[
\left.\nabla_J(\theta)\right|_{\hat{\theta}_{MC}} = 0 = -2 A^TM(Y-A\theta-m_B)
\]
Donc
\[
A^TMA \theta = A^TM(Y-m_B)
\]
Soit \[
\boxed{\hat{\theta}_{MC} = \underbrace{(A^TMA)^{-1}AM}_{D}(Y-m_B)}
\]
On remarque que $DA = I_n$.
\subparagraph{Méthode 2} Pour $A^TMA>0$.
\[
J_{MC} = \underbracket{(D(Y-m_B)-\Theta)^TA^TMA(D(Y-m_B)-\theta)}_ {J_1(Y,\theta)} + \underbracket{(Y-m_B)^T(M-D^TA^TMAD)(Y-m_B)}_{J_2(Y)}
\]
Alors $\nabla J_{MC} = 0 \implies J_1 = 0 \implies D(Y-m_B) = \hat{\theta}_{MC}$
\subsubsection{Caractéristique de l'estimateur}
\begin{itemize}
\item Estimateur non biaisé
\begin{align*}
\tilde{\theta}_{MC} &=\hat{\Theta}-\theta\\
&= D(Y-m_B)-\theta \\
&= D(B-m_B)
\end{align*}
Donc $E[\hat{\theta_{MC}}] = 0 $
\item moment d'ordre 2 :
\[
C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = E[(\tilde{\theta}-m_{\tilde{\theta}})(.)^T] = D E[(B-m_B)(B-m_B)^T]D^T = D C_{BB}D^T
\]
\begin{itemize}
\item Cas MC ordinaire ($M=I_n$)
\[
C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = (A^TA)^{-1}A^TC_{BB}A(A^TA)^{-1}
\]
\item Cas MC pondéré ($M = C_{BB}^{-1}$)
\[
C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = (A^TC_{BB}^{-1}A)^{-1}
\]
\end{itemize}
\item Cas $\theta$ scalaire $Y_i = \theta +B_i$ donc :
\[
C_{BB} =
\begin{bmatrix}
\sigma_1^2 & &0 \\
& \ddots & \\
0 & & \sigma_m^2
\end{bmatrix} \text{ et }A = \vect{1\\ \vdots \\ 1}
\]
\begin{itemize}
\item Cas MCO : $A^TA = m $
\[
\hat{\theta_{MC}} =\frac{\Sigma(y_i-m_{bi})}{m} \quad \text{ et } \quad \sigma_{\tilde{\theta}}^2 = \frac{\Sigma\sigma_i^2}{m^2}
\]
\item cas MCP pour $M = C_{BB}^{-1} = diag(\sigma_1^{-2}, \dots, \sigma_m^{-2})$
\[
A^TC_{BB}A = \sum_{i=1}^m \frac{1}{\sigma_i^2} \quad \text{ donc } \quad \hat{\theta}_{MCP} = \frac{1}{\sum \frac{1}{\sigma_i^2}}\sum_{}^{}\frac{Y_i-mB_i}{\sigma_i^2}
\]
\begin{itemize}
\item $\hat{\theta_{MCP}}$ défini un barycentre
\item Pour $\sigma_i = \sigma$ on a $M=\sigma I \implies MCO =MCP $
\end{itemize}
\end{itemize}
\item Comparaison MCO et MCP (avec $M = C_{BB}$)
\begin{align*}
\sigma_{MCO}^2 &\leq \sigma_{MCP}^2\\
\frac{1}{\sum\sigma_i^{-2}} & \leq \frac{1}{m^2}\sum\sigma_i^2\\
m ^2 &\leq \frac{1}{\sum\sigma_i^{-2}} \sum\sigma_i^2
\end{align*}
\end{itemize}
\subsection{Estimateur du maximum de vraisemblance}
\begin{defin}
On considère $f_{Y}(y)$ ddp de $y$ paramétrée par $\theta$. On a $f_{Y|\theta}(y) = V(Y,\theta)$. on pose également $L(Y,\theta) = \ln(V(Y,\theta))$.
on défini alors:
\[
\hat{\theta}_{MV} = \arg\min f_{Y|\theta}(y) = \arg\min L(Y,\theta)
\]
\end{defin}
GRAPHE
\paragraph{Exemple} Modèle avec bruit additif gaussien.
\begin{prop}
Dans le cas d'un brui Gaussien et pour $M = C_{BB}^{-1}$
\[
\hat{\theta}_{MCP}=\hat{\theta}_{MV}
\]
\end{prop}
\paragraph{Remarque}
L'estimateur de MV n'est pas nécessairement efficace mais si un estimateur sans biais existe et est efficace c'est celui-ci.
Si $m \to\infty $ on montre que le MV est asymptotiquement efficace. (loi des grands nombres)
\section{Théorie générale de l'estimation}
\subsection{Estimateur linéaire en moyenne quadratique (ELMQ)}
\begin{defin}
Un ELMQ fourni une estimée de la forme
\[
\hat{\theta} = HY +C
\]
à partir de l'erreur quadratique moyenne $E[\|\tilde{\theta}\|^2] = E[\tilde{\theta}\tilde{\theta}^T] =P_{\tilde{\theta}}$
\end{defin}
\paragraph{Concept} $H$ et $C$ tel que $P_{\tilde{\theta}}$ minimal.
\[
(1) \quad \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{H} = 0 \quad\text{ et }\quad (2)\quad \derivp[P_{\tilde{\theta}}]{C} = 0
\]
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item
\begin{prop}
\[
\derivp[P_{\tilde{\theta}}]{H} =2E[HY+C-\theta] = 2E[\tilde{\theta}] = 0
\]
L'ELMQ est un estimateur non biaisé.
\end{prop}
et donc :
\begin{align*}
C &= -Hm_Y+m_\theta\\
\hat{\theta} &= H(Y-m_y)+m_\theta \\
\tilde{\theta} &= H(Y-m_y) - (\theta-m_\theta)
\end{align*}
\item
\begin{prop}
\[
\derivp[P_{\tilde{\theta}}]{C} =2E[(HY+C-\theta)Y^T] = 2E[\tilde{\theta}Y^T] = 0
\]
$\tilde{\theta} \perp Y $ quand la puissance est minimale, $\tilde{\theta}$ et $Y$ sont décorrélées, on a extrait toute l'information commune.
\end{prop}
De plus :
\begin{align*}
E[\tilde{\theta}Y^T]& =E[\tilde{\theta}(Y-m_Y)^T] \\
&= E[(H(Y-m_Y)-\theta-m_\theta)(Y-m_y)^T]\\
&= HC_{yy}-C_{\theta Y} = 0 \implies H = C_{\theta Y}C_{YY}^{-1}
\end{align*}
on a donc
\[
\boxed{\hat{\theta}=C_{\theta Y}C_{YY}^{-1}(Y-m_Y)+m_\theta}
\]
\paragraph{Remarque} L'ELMQ nécessite des connaissances du premier et du second ordre sur $\theta$ et $Y$.
\begin{prop}
\[
C_{\tilde{\theta}\tilde{\theta}} = C_{\theta\theta}-C_{\theta Y}C_{YY}^{-1}C_{Y\theta}
\]
La corrélation entre $\theta$ et $Y$ permet de diminuer l'ELMQ.
\end{prop}
\end{enumerate}
\subsection{Estimateur Bayésiens}
\subsubsection{Fonction coût/pénalité}
\begin{defin}
On appelle fonction de coût ou fonction de pénalité une fonction qui mesure l'erreur entrainée par la prise de la valeur $\hat{\theta}$ pour $\theta$.
\[
C(\hat{\theta},\theta) \geq 0 \quad \text{ ou encore }\quad C(\tilde{\theta}) \ge 0
\]
On prendra le plus souvent une \og bonne \fg{} fonction (continue, paire , croissante ...)
\end{defin}
\paragraph{Exemple de coût}
\begin{itemize}
\item quadratique
\item Valeur absolue
\item uniforme
\end{itemize}
% Insert graphique
\begin{defin}
On appelle estimateur bayésiens l'estimateur qui minimise le coût moyen :
\begin{align*}
E_{\theta,Y}[C(\hat{\theta},\theta)] &= \int_{\R^{m+n}}C(\hat{\theta},\theta)f_{\theta Y}(\theta,y)d\theta dy\\ &=\int_{\R^m}\left(\underbrace{\int_{\R^n}C(\hat{\theta},\theta)f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta}_{E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]}\right) f_{Y}(y)dy
\end{align*}
On minimise donc $ E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]$ à coût conditionnel donné
\[
\hat{\theta}_{B} = \arg\min_{\hat{\theta}}E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]
\]
\end{defin}
\subsubsection{Estimateur du maximum a posteriori (MAP)}
On considère un cout uniforme.
\begin{defin}
En prenant:
\begin{align*}
E_{\theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] &= \int_{\R^m}(1-\Pi_{\Delta}(\tilde{\theta}))f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
&= 1 - \int_{\hat{\theta}-\Delta/2}^{{\hat{\theta}+\Delta/2}}f_{\theta|Y=y}(\theta)d\theta
&\simeq 1- \Delta^nf_{\theta|Y=y}(\hat{\theta})
\end{align*}
Soit \[
\hat{\theta}_{MAP}=\arg\max_{\theta} f_{\theta|Y=y}(\theta)
\]
\end{defin}
\paragraph{Lien MAP-MV}
on a $f_{\theta|Y=y}(\theta) f_{Y}(y) = f_{\theta Y}(\theta,y)$. Avec $f_\theta(\theta) = C^{ste}$ quand $f_{\theta Y}(\theta,y)$ à une valeur significative (ie $C_{\theta\theta}$ grand / $\sigma_\theta$ grand ) alors :
\[
\arg\max f_{\theta|Y=y}(\theta) \simeq \arg\max f_{Y|\Theta=\theta}(y)
\]
On considère alors que $\theta$ est un paramètre aléatoire mais très mal connu. (ddp uniforme sur un interval tres grand, peu d'infos sur $\theta$).
\emph{cf. TD \og file d'attente\fg{}}
\paragraph{Exemple et Application}
On considère $\theta$ scalaire aléatoire avec: $Y_i = \theta +B_i$ Avec :
$
\begin{cases}
B \hookrightarrow \mathcal{N}(0,C_{BB})\\
\Theta \hookrightarrow\mathcal{N}(m_\theta,\sigma_\theta^2) \\
B \perp \Theta
\end{cases}$
\subparagraph{Rappel} MC=MV avec:
$\begin{cases}
m_B=0\\
\hat{\theta}_{MV} =\hat{\theta}_{MC} = \frac{\sum_{i=1}^{m}Y_i}{m}\\
E[\hat{\theta}_{MV}] = E[\theta]=m_\theta \text{ et } \sigma_{\tilde{\theta}_{MV}}=\frac{\sigma_B}{m}\\
\end{cases}$
On a donc:
\[
f_{Y|\theta}(y)=f_{B}(Y-A\theta) = \prod_{i=1}^{m}f_{B_i}(Y_i-\theta) = C_1 \exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\sum(Y_i-\theta)^2}{\sigma_B^2}\right)
\]
Or
\[
f_{\theta|Y=y}(\theta) = \frac{f_{Y|\theta}(y)f_\theta(\theta)}{f_Y(y)} = C_2 \exp\left(-\frac{1}{2}\underbrace{\left[\frac{\sum(Y_i-\theta)^2}{\sigma_B^2}+\frac{(\theta-m_\theta)^2}{\sigma_\theta^2}\right]}_{J_{MAP}}\right)
\]
Le critère est ici une forme quadratique, donc :
\[
\hat{\theta}_{MAP} = \arg\max f_{\theta|Y=y}(\theta) = \arg\min J_{MAP}(\theta,Y)
\]
Alors on a la CNS :
\[
\deriv[J_{MAP}]{\theta} = 0 = 2 \left[ -\sum_{i=1}^{m}\frac{Y_i-\theta}{\sigma_b^2}+\frac{(\theta-m_\theta)^2}{\sigma_\theta^2}\right]
\]
Soit une expression barycentrique :
\[
\hat{\theta}_{MAP} = \frac{\frac{m}{\sigma_B^2}\sum_{}^{}\frac{Y_i}{m}+\frac{m_\theta}{\sigma_\theta^2}}{\frac{m}{\sigma_B^2}+\frac{1}{\sigma_\theta^2}}
\]
Donc :
\begin{prop}
\[
E[\hat{\theta}_{MAP}] = m_\theta
\]
L'estimateur est non biaisé. De plus :
\[
\sigma_{\tilde{\theta}_{MAP}}^2= \frac{1}{\frac{1}{\sigma_{MV}}+\frac{1}{\sigma_\theta^2}} <
\begin{cases}
\sigma_\theta^2 \\
\sigma_{MV}^2
\end{cases}
\]
On a fait mieux en prenant en compte toutes les sources d'informations.
\end{prop}
\paragraph{Remarque}
\begin{itemize}
\item Si $\sigma_\theta>>\sigma_{MV}$ alors $\hat{\theta}_{MAP}\simeq \hat{\theta}_{MV}$ (ce qui arrive pour $\sigma_B$ ou $m$ grand)
\item Si $\sigma_\theta<<\sigma_{MV}$ et $\hat{\theta}_{MAP} \simeq m_\theta$ (l'obersavation apporte peu d'info)
\end{itemize}
\subsubsection{Estimateur en moyenne quadratique (EQM)}
\begin{defin}
On le cout moyen de l'EQM:
\[
C(\hat{\theta},\theta) = (\hat{\theta}-\theta)^T M (\hat{\theta}-\theta)
\]
Avec $M>0$.
On cherche a minimiser le cout moyen mais sans contrainte de linéarité avec une matrice de pondération qui peux prendre en compte des facteurs d'echelles ou des unités différentes.
\end{defin}
\paragraph{Etude de l'estimateur} On veut minimiser $E_{\Theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)]$
\begin{align*}
\nabla_{\hat{\theta}}E_{\Theta|Y}[C(\hat{\theta},\theta)] &= 0 \\
E_{\theta|Y}[2M(\hat{\theta}-\theta)] &= 0 \\
2M E_{\theta|Y}[\underbracket{\hat{\theta}}_{h(y)}]-E_{\theta|Y}[\theta]&=0 \\
2M(\hat{\theta}-E_{\theta|Y}[\theta]) &= 0 \\
\Aboxed{ \hat{\theta}_{MQ} &=E_{\theta|Y}[\theta]} \\
&= \int_{\R^n}