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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
\begin{document}
\section{Stabilité de Lagrange}
Le premier a avoir intreoduit la notion de stabilité est Lagrange.
Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque les points d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$q$};
\draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$R$};
\draw (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
\draw[decorate, decoration={border,amplitude=-0.2cm,angle=90,segment length=0.2cm}] (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
\node(I) at (1,3.26) {$\bullet$};
\node(S) at (4,0.56) {$\bullet$};
\draw[latex-] (I) to[bend left] ++ (1,0.5) node[right]{instable};
\draw[latex-] (S) to[bend right] ++ (1,0.5) node[above]{stable};
\end{tikzpicture}
\caption{Stabilité au sens de Lagrange}
\documentclass[main.tex]{subfiles} \newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}} \newcommand{\Lc}{\mathcal{L}} \begin{document}
\section{Stabilité de Lagrange} Le premier a avoir introduit la notion de
stabilité est Lagrange. Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$.
Puisque les points d'équilibre du système correspondent aux points tels que
$\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un
point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
\begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture} \draw[-latex] (-0.5,0) --
(5,0) node[right]{$q$}; \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$R$};
\draw (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5); \draw[decorate,
decoration={border,amplitude=-0.2cm,angle=90,segment length=0.2cm}] (0.5,3)
to[out=40,in=180] (4,0.5); \node(I) at (1,3.26) {$\bullet$}; \node(S) at
(4,0.56) {$\bullet$}; \draw[latex-] (I) to[bend left] ++ (1,0.5)
node[right]{instable}; \draw[latex-] (S) to[bend right] ++ (1,0.5)
node[above]{stable}; \end{tikzpicture} \caption{Stabilité au sens de Lagrange}
\end{figure}
Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour toute condition initiales ,la trajectoire reste bornée.
Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour toutes conditions
initiales, la trajectoire reste bornée.
\begin{itemize}
\item On controle la variation sur la trajectoire par celle sur la condition initiale.
\item des petites variation sur la condition initiale implique de petite variation sur la trajectoire.
\end{itemize}
\begin{itemize} \item On contrôle la variation sur la trajectoire par celle sur
la condition initiale. \item des petites variation sur la condition initiale
implique de petite variation sur la trajectoire. \end{itemize}
\begin{rem}
La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Mathématiquement, Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
\end{rem}
\newpage
\begin{defin}
Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si
\begin{rem} La notion de stabilité en non linéaire concerne les points
d'équilibre et non le système. Mathématiquement, Dirichlet a formalisé la
stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires. \end{rem} \newpage
\begin{defin} Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et
seulement si
\[\forall \delta > 0, \exists \varepsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || x_0-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq \varepsilon\]
\end{defin}
\[\forall \delta > 0, \exists \varepsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in
\R, || x_0-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq
\varepsilon\] \end{defin}
Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$ implique un petit changement borné sur la trajectoire.
Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$
implique un petit changement borné sur la trajectoire.
\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]
\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)||
\leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]
Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.
\begin{rem}
La stabilité suivant lagrange n'implique pas la convergence mais seulement la bornitude\footnote{sic.} (la trajectoire reste bornée), ce n'est pa suffisant pour faire de l'automatique, il faut pouvoir garantir la convergence. On utilise donc la stabilité au sens de Lyapounov
\end{rem}
\begin{rem} La stabilité suivant Lagrange n'implique pas la convergence mais
seulement la bornitude\footnote{sic.} (la trajectoire reste bornée), ce n'est
pas suffisant pour faire de l'automatique, il faut pouvoir garantir la
convergence. On utilise donc la stabilité au sens de Lyapounov \end{rem}
\section{Stabilité au sens de Lyapunov}
\begin{defin}
\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
\end{defin}
\begin{defin} \[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que }
||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq
\epsilon\] \end{defin}
Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
\begin{rem}
C'est $\varepsilon$ qui controle $\delta$.
\end{rem}
\begin{rem}
La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
\end{rem}
\begin{rem} C'est $\varepsilon$ qui contrôle $\delta$. \end{rem} \begin{rem}
La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles
que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la
condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe
des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers
$x^*$). \end{rem}
\begin{exemple}[Oscillateur de Van der Pol]
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
\end{cases}
\]
\begin{exemple}[Oscillateur de Van der Pol] \[ \begin{cases} \dot{x_1} & =
x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2 \end{cases} \]
Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
\begin{rem}
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
\end{rem}
\begin{rem} Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der
Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable. \end{rem}
% \img{0.3}{3/2.png}
$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange. Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
\[ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon \]
$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0)
et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange. Par contre, pas stable
au sens de Lyapunov car on a \[ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0
\text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon \]
\end{exemple}
\begin{exemple}[Pendule sans frottement]
L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.
\begin{exemple}[Pendule sans frottement] L'origine est stable suivant Lyapunov
avec $\delta = \epsilon$.
Elle n'est pas stable suivant Lagrange \[x_0=(x_1= \pi, x_2=0) : \nexists \epsilon >0 \text{ tel que } \|\chi(t,\chi(0,s_0))\| < \epsilon
\]
Elle n'est pas stable suivant Lagrange \[x_0=(x_1= \pi, x_2=0) : \nexists
\epsilon >0 \text{ tel que } \|\chi(t,\chi(0,s_0))\| < \epsilon \]
\end{exemple}
\subsection{Stabilité uniforme}
\begin{defin}
Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
\end{defin}
\subsection{Stabilité uniforme} \begin{defin} Le point d'équilibre $x^* (x^*
=0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de
Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales
$t_0,x_0$ \end{defin}
\begin{defin}
On définit les \emph{fonctions de caractérisations} suivantes :
\begin{enumerate}
\item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.
\begin{defin} On définit les \emph{fonctions de caractérisations} suivantes :
\begin{enumerate} \item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et
strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.
Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$), alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$
Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$),
alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$
\item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue, strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$
\item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue,
strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$
\item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+ \rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$
\item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+
\rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$
Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \Lc$.
\end{enumerate}
\end{defin}
Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi
\in \Lc$. \end{enumerate} \end{defin}
\begin{exemple}
$\beta(\|x_0\|,|t|)=\|x_0\|e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$
\begin{exemple} $\beta(\|x_0\|,|t|)=\|x_0\|e^{-\lambda |t|} \text{ avec }
\lambda >0$
Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ \|\chi(t,x_0)\| \leq \beta(\|x_0\|,t),t \geq 0$ (enveloppe)
\end{exemple}
Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $
\|\chi(t,x_0)\| \leq \beta(\|x_0\|,t),t \geq 0$ (enveloppe) \end{exemple}
\begin{prop}
L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq c \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha (\|\chi(t_0,x_0)\|)\]
\end{prop}
\begin{prop} L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists
c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq c \Rightarrow
\|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha (\|\chi(t_0,x_0)\|)\] \end{prop}
\begin{proof}
Condition suffisante.
\begin{proof} Condition suffisante.
Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ existe).
Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$
existe).
Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.
Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que }
\delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.
Si $\|\chi(t_0,x_0)\| \leq \delta \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
Si $\|\chi(t_0,x_0)\| \leq \delta \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq
\alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
Condition nécessaire.
$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$
$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que }
\|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$
Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.
Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant
Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.
Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$
\begin{align*}
\|s_0\| \leq \delta & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon\\
\|s_0\| \leq \delta' & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$ \begin{align*}
\|s_0\| \leq \delta & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon\\ \|s_0\| \leq
\delta' & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
\end{align*}
Si on définit $\alpha(\|.\|)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$$\|s_0\|=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(\|s_0\|)$
Si on définit $\alpha(\|.\|)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists
\delta'(\epsilon)$$\|s_0\|=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon =
(\delta')^{-1}(\|s_0\|)$
Suivant Lyapunov, cela implique $\|s\| \leq \epsilon \leq \alpha (\|s_0\|)$
\end{proof}
\section{Attractivité (convergence)}
\begin{defin}
$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq r \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \sigma, \forall t \geq T$
\section{Attractivité (convergence)} \begin{defin} $\exists r > 0, \forall
\sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq r
\Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \sigma, \forall t \geq T$
% \img{0.5}{4/1.png}
Autrement dit : $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} \|\chi_t\| = 0$.
On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
\end{defin}
\begin{prop}[Stabilité asymptotique]
L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \beta (\|s_0\|,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{prop}[Stabilité exponentielle]
L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \alpha \|s_0\| e^{-\lambda t}$
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{prop}[Stabilité locale et globale]
\begin{itemize}
\item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
\item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable.
\end{itemize}
\end{prop}
\paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire.
\begin{defin}
$V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si :
\begin{enumerate}
\item $V :
\begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
\end{cases}
$ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
\item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{\|x\| \rightarrow \infty} \infty$
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov]
Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et $f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$ (fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que
\[ \exists D \subset \R^n, 0 \in \D \text{} \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \]
Alors l'origine est stable au sens de Lyapunov sur $\D$.
Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
\end{thm}
\begin{proof}
Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$.
Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } \|x\| \leq r \}$
Soit $\alpha = \min_{\|x\| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.
Autrement dit : $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty}
\|\chi_t\| = 0$.
On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$. \end{defin}
\begin{prop}[Stabilité asymptotique] L'origine est asymptotiquement stable si
et seulement si \begin{itemize} \item stabilité au sens de Lyapunov et
attractivité \item $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \beta
(\|s_0\|,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$ \end{itemize} \end{prop}
\begin{prop}[Stabilité exponentielle] L'origine est exponentiellement stable si
et seulement si \begin{itemize} \item stabilité au sens de Lyapunov et
attractivité \item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que }
\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \alpha \|s_0\| e^{-\lambda
t}$ \end{itemize} \end{prop} \begin{prop}[Stabilité locale et
globale] \begin{itemize} \item L'origine est globalement stable
si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...)
ne dépend pas de la condition initiale, i.e.
$\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et
dit localement stable (asymptotiquement,
exponentiellement,...) \item Si la stabilité dépend
de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel
que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine
est stable. \end{itemize} \end{prop} \paragraph{Problème}
Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation
différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée
via la trajectoire.
\begin{defin} $V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si : \begin{enumerate}
\item $V : \begin{cases} \R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
\end{cases} $ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive)
ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
\item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{\|x\| \rightarrow
\infty} \infty$ \end{enumerate} \end{defin}
\begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov] Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et
$f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$
(fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que \[ \exists D
\subset \R^n, 0 \in \D \text{} \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) =
(\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \] Alors l'origine est stable au sens de
Lyapunov sur $\D$.
Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov. \end{thm}
\begin{proof} Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta
> 0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$.
Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D
\text{ tel que } \|x\| \leq r \}$
Soit $\alpha = \min_{\|x\| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta <
\alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que }
V(x) \leq \beta \}$.
$0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.
Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
\begin{align*}
\Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
\Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in \Omega_{\beta}) \\
\Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
\Rightarrow & \|x(t)\| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
\end{align*}
Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$ \begin{align*}
\Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
\Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in
\Omega_{\beta}) \\ \Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
\Rightarrow & \|x(t)\| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon \end{align*}
(Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)
$\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset \Omega_{\beta}$
\end{proof}
$\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset
\Omega_{\beta}$ \end{proof}
\begin{thm}[Stabilité asymptotique au sens de Lyapounov]
Soient le système $G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
\[ \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{} Q(x) \text{ est définie positive } \]
\begin{thm}[Stabilité asymptotique au sens de Lyapounov] Soient le système
$G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de
Lyapunov continue et différentiable telle que \[ \forall x \in \D, \quad
\dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{} Q(x)
\text{ est définie positive } \]
Alors l'origine est asymptotiquement stable.
\end{thm}
Alors l'origine est asymptotiquement stable. \end{thm}
\begin{rem}
$Q(x)$ dépend de toutes les variables d'état. Sinon la convergence asymptotique n'est vérifié que pour certaine direction.
\end{rem}
\begin{rem} $Q(x)$ dépend de toutes les variables d'état. Sinon la convergence
asymptotique n'est vérifié que pour certaine direction. \end{rem}
\begin{exemple}[Cas linéaire]
$\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$
Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) = 0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)
Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) =
0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)
On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov
\begin{align*}
\dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\
& = x^T APx + x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x
\end{align*}
\begin{align*} \dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\ & = x^T APx +
x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x \end{align*}
\emph{Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$}.
\emph{Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) <
0$}.
$\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.
On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive. On a donc $P$ définie positive.
On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive.
On a donc $P$ définie positive.
\[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = \left[e^{A^Tt}Qe^{At}\right]_0^{\infty}\]
\[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt =
\int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt =
\left[e^{A^Tt}Qe^{At}\right]_0^{\infty}\]
Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \xrightarrow[t\rightarrow \infty]{} 0$
\[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]
Pour le système linéaire
\[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
$\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité asymptotique
Pour le système linéaire \[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
$\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité
asymptotique
\end{exemple}
\begin{thm}[Stabilité exponentielle]
Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
\begin{enumerate}
\item $\exists \alpha > 0, \beta > 0$ et $c\geq 1$ tel que
\[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha \|x\|^c \leq V(x) \leq \beta \|x\|^c\]
\item $\exists \gamma > 0$ tel que
\[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma \|x\|^c \]
\end{enumerate}
Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on a aussi la stabilité globale.
\end{thm}
\begin{proof}
$\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq V(x(0))e^{-\gamma t}$
si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$
\begin{align*}
V(x(0)) & \leq \beta \|x(0)\|^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha \|x(t)\|^c \\
V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\
\beta\|x(0)\|^c e^{-\gamma t} & \geq \qquad \Rightarrow \|x(t)\| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}\|x(0)\|e^{-\frac{\gamma}{c}t}
\end{align*}
\begin{thm}[Stabilité exponentielle] Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et
$f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et
différentiable telle que \begin{enumerate} \item $\exists \alpha > 0, \beta >
0$ et $c\geq 1$ tel que \[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha
\|x\|^c \leq V(x) \leq \beta \|x\|^c\] \item $\exists \gamma > 0$ tel que \[
\quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma \|x\|^c \]
\end{enumerate} Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on
a aussi la stabilité globale. \end{thm}
\begin{proof} $\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq
V(x(0))e^{-\gamma t}$
si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$ \begin{align*} V(x(0)) & \leq \beta
\|x(0)\|^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha \|x(t)\|^c \\
V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\ \beta\|x(0)\|^c e^{-\gamma t} & \geq
\qquad \Rightarrow \|x(t)\| \leq
(\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}\|x(0)\|e^{-\frac{\gamma}{c}t} \end{align*}
\end{proof}
\begin{corol}
Le syst linéaire est aussi exponentiellement stable:
\[
V = x^T P x \implies \alpha \|x\| \le V(x) \le \beta \|x\|^c
\]
Avec $\alpha$ plus petite valeur propre de $P$ et $\beta$ plus grande valeur propre de $P$.
\end{corol}
si on a la stabilité asymptotique
\[
\dot{V}=x^T(A^TP+PA)x
x^T R x \le -\gamma V
x^T R x \le -\gamma \|x\|^2
\]
\begin{exemple}
$\begin{cases}
\dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
\end{cases}$
\begin{corol} Le syst linéaire est aussi exponentiellement stable: \[ V = x^T P
x \implies \alpha \|x\| \le V(x) \le \beta \|x\|^c \] Avec $\alpha$ plus petite
valeur propre de $P$ et $\beta$ plus grande valeur propre de $P$. \end{corol}
si on a la stabilité asymptotique \[ \dot{V}=x^T(A^TP+PA)x x^T R x \le -\gamma
V x^T R x \le -\gamma \|x\|^2 \] \begin{exemple} $\begin{cases} \dot{x_1} & =
-x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3 \end{cases}$
$(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?
On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x \neq 0$.
On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x
\neq 0$.
\[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4 \leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x) \geq 0 \]
\[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4
\leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x)
\geq 0 \]
L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\
......@@ -324,91 +314,80 @@ si on a la stabilité asymptotique
$\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$
\[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4 + x_2^4) \]
\[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4
+ x_2^4) \]
Pour $\D = \{ \|x\| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.
Pour $\D = \{ \|x\| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2