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424 explosion cérébrale du 28/03

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...@@ -7,7 +7,7 @@ Dans la suite du chapitre on étudiera le modèle suivant : Affine en la command ...@@ -7,7 +7,7 @@ Dans la suite du chapitre on étudiera le modèle suivant : Affine en la command
\dot{x} & = f(x) + g(x) u\\ \dot{x} & = f(x) + g(x) u\\
y & = h(x) y & = h(x)
\end{cases} \end{cases}
\] \]\nopagebreak
\section{Commande par bouclage linéarisant} \section{Commande par bouclage linéarisant}
\begin{figure}[H] \begin{figure}[H]
\centering \centering
...@@ -54,6 +54,7 @@ On cherche $r$ par le calcul des dérivées successives de $y=h(x)$ : ...@@ -54,6 +54,7 @@ On cherche $r$ par le calcul des dérivées successives de $y=h(x)$ :
\intertext{Si $L_gL_fh(x) \neq 0$, alors $r=2$. Sinon on continue...} \intertext{Si $L_gL_fh(x) \neq 0$, alors $r=2$. Sinon on continue...}
y^{(r)} & = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u y^{(r)} & = L_f^rh(x) + L_gL_f^{r-1}h(x)u
\end{align*} \end{align*}
\begin{rem} \begin{rem}
On a $1 \leq r \leq n$ car la procédure utilise la base canonique ($x_1=y,x_2=\dot{y}$) : la commande doit apparaître au maximum à la $n$-ième dérivée. On a $1 \leq r \leq n$ car la procédure utilise la base canonique ($x_1=y,x_2=\dot{y}$) : la commande doit apparaître au maximum à la $n$-ième dérivée.
\end{rem} \end{rem}
...@@ -246,15 +247,15 @@ x_2 \neq 0 ...@@ -246,15 +247,15 @@ x_2 \neq 0
$\Delta(x)$ est une distribution de champs de vecteurs. $\Delta(x)$ est une distribution de champs de vecteurs.
\end{exemple} \end{exemple}
\begin{defin}[Involution] \begin{defin}
La distribution $\Delta$ est involutive ssi La distribution $\Delta$ est \emph{involutive} ssi
\[\forall f,g \in \Delta, \quad [f,g] \in \Delta, \quad \text{Homogénéité est mère de vertu} \] \[\forall f,g \in \Delta, \quad [f,g] \in \Delta \]
\end{defin} \end{defin}
\begin{rem} \begin{prop}
$\Delta(x) = vect \{ f_1, \dots, f_p \}$ est une distribution involutive ssi $\Delta(x) = \vect{f_1& \dots & f_p}$ est une distribution involutive ssi
\[ \exists \alpha_{ij_k} : \R^n \mapsto \R \text{ tq } [f_i,f_j] = \sum_{k=1}^p \alpha_{ij_k}(x) f_k, \quad i = 1,\dots p, j = 1,\dots p\] \[ \exists \alpha_{ij_k} : \R^n \mapsto \R \text{ tq } [f_i,f_j] = \sum_{k=1}^p \alpha_{ij_k}(x) f_k, \quad i = 1,\dots p, j = 1,\dots p\]
\end{rem} \end{prop}
\begin{exemple} \begin{exemple}
\[ x_2 \neq 0 \Rightarrow \Delta(x) = vect\left\lbrace \vect{x_1 \\ x_2 \\ 2}, \vect{1 \\ 1 \\ 0} \right\rbrace\] \[ x_2 \neq 0 \Rightarrow \Delta(x) = vect\left\lbrace \vect{x_1 \\ x_2 \\ 2}, \vect{1 \\ 1 \\ 0} \right\rbrace\]
...@@ -281,14 +282,17 @@ $\Delta$ est une distribution involutive pour $x_2 \neq 0$ ...@@ -281,14 +282,17 @@ $\Delta$ est une distribution involutive pour $x_2 \neq 0$
\newcommand{\lesys}{$\dot{x}=f(x)+g(x)u, x\in\R^n, u\in\R$} \newcommand{\lesys}{$\dot{x}=f(x)+g(x)u, x\in\R^n, u\in\R$}
\begin{thm}[Théorème d'existence de $\phi_1$] \begin{thm}[Theoreme d'existence]
Soit le système \lesys. Soit le système $\Sigma$. Il existe un changement de base $z=\phi(x)$\\[1.5em]
Il existe un changement de base $z=\phi(x)$ linéarisant sur $\Omega$ tel que $\phi^T(x) = [\phi_1(x), L_f\phi_1(x) \dots L_f^{n-1} \phi_1(x) ]$ ssi : linéarisant sur $\Omega$ tel que
\[\phi^T(x) = [\phi_1(x), L_f\phi_1(x) \dots L_f^{n-1} \phi_1(x) ]\]
ssi :
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item $dim(g,ad_f g, \dots ad_f^{n-1} g) = n$ (Commandabilité Kalman) \item $dim(g,ad_f g, \dots ad_f^{n-1} g) = n$ (Commandabilité Kalman)
\item la distribution engendrée par $\{g, ad_f g, \dots ad_f^{n-1}g\}$ est involutive, $\forall x \in \Omega$ \footnote{Homogénéité est mère de vertu} \item la distribution engendrée par $\{g, ad_f g, \dots ad_f^{n-1}g\}$ est involutive, $\forall x \in \Omega$.
\end{itemize} \end{itemize}
%
\end{thm} \end{thm}
Ainsi, la procédure de linéarisation entrée-états est réalisée via les étapes suivantes : Ainsi, la procédure de linéarisation entrée-états est réalisée via les étapes suivantes :
...@@ -349,24 +353,24 @@ z_2 & = L_f \phi_1 = CAx \\ ...@@ -349,24 +353,24 @@ z_2 & = L_f \phi_1 = CAx \\
\subsection{Système à déphasage minimal} \subsection{Système à déphasage minimal}
\begin{defin}[Cas linéaire] \begin{defin}
Si les zéros sont à partie $Re<0$ Dans le \emph{cas linéaire} le système est a déphasage minimal si les zéros sont à partie $Re<0$.
\end{defin} \end{defin}
\begin{defin}[Cas non linéaire] \begin{defin}
dynamique des zéros stables, i.e. à l'origine on a : Dans le \emph{cas non linéaire} le sytème est à déphasage minimal si dynamique des zéros stables, i.e. à l'origine on a :
\[\left\lbrace \[\left\lbrace
\begin{array}{cc} \begin{array}{cc}
\dot{\eta_1} & = q(0,\eta) \\ \dot{\eta_1} & = q(0,\eta) \\
\vdots \\ \vdots \\
\dot{\eta_{n-r}} & = q(0,\eta) \dot{\eta_{n-r}} & = q(0,\eta)
\end{array} \right. \text{ est stable} \] \end{array} \right. \text{ est stable} \]
Ainsi, le le système est à déphasage non minimal, on applique la linéarisation $e-s$. Ainsi, quand le le système est à déphasage non minimal, on applique la linéarisation $e-s$.
\end{defin} \end{defin}
\subsection{Cas MIMO du bouclage linéarisant} \subsection{Cas MIMO du bouclage linéarisant}
Le linéarisation revient à trouver la commande qui réalise la réciproque de la non-linéarité : problème inverse. Dans le cas où le problème est non inversible d'une manière statique (i.e. algébrique), la solution est de réaliser une inversion dynamique (ex : l'observateur dans le cas linéaire).\\ Le linéarisation revient à trouver la commande qui réalise la réciproque de la non-linéarité : problème inverse. Dans le cas où le problème est non inversible d'une manière statique (i.e. algébrique), la solution est alors de réaliser une inversion dynamique, à la manière de l'observateur dans le cas linéaire.
Soit le système non-linéaire : Soit le système non-linéaire :
\begin{align*} \begin{align*}
...@@ -374,7 +378,7 @@ Soit le système non-linéaire : ...@@ -374,7 +378,7 @@ Soit le système non-linéaire :
y & = \vect{k_1(x) \\ \vdots \\ k_p(x)} \text{ avec } x\in\R^n,y \in \R^p \text{ et } u=\vect{u_1 \\ \vdots \\ u_m} \in \R^m y & = \vect{k_1(x) \\ \vdots \\ k_p(x)} \text{ avec } x\in\R^n,y \in \R^p \text{ et } u=\vect{u_1 \\ \vdots \\ u_m} \in \R^m
\end{align*} \end{align*}
\begin{defin}[Degré relatif en MIMO] \begin{defin}
Le degré relatif $r$ dans le cas MIMO est défini comme $r=r_1+\dots+r_p$ si $r_i$ est le degré relatif associé à la sortie $y_i$ tel que : Le degré relatif $r$ dans le cas MIMO est défini comme $r=r_1+\dots+r_p$ si $r_i$ est le degré relatif associé à la sortie $y_i$ tel que :
\[ \forall j=1\dots m, L_{g_j}L_f^k h_i(x) = 0, \forall k < r_i-1\] \[ \forall j=1\dots m, L_{g_j}L_f^k h_i(x) = 0, \forall k < r_i-1\]
\[ \exists j =1\dots m, L_{g_j}L_f^{r_i-1} h_i(x) \neq 0\] \[ \exists j =1\dots m, L_{g_j}L_f^{r_i-1} h_i(x) \neq 0\]
...@@ -395,15 +399,34 @@ Sans perte de généralité, on pose $m=p$. Calculons les dérivées successives ...@@ -395,15 +399,34 @@ Sans perte de généralité, on pose $m=p$. Calculons les dérivées successives
On remarquera l'intérêt de poser $m=p$. On remarquera l'intérêt de poser $m=p$.
On note $D(x)$ la matrice $\R^{p\times m}$ (dite de découplage). On note $D(x)$ la matrice $\R^{p\times m}$ (dite de découplage).
\[
D(x) =
\begin{pmatrix}
L_{g_1}L_f^{r_1-1}h_1 & \dots & L_{g_m}L_f^{r_1 - 1} h_1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
L_{g_1}L_f^{r_p-1} & \dots & L_{g_m}L_f^{r_p-1} h_p
\end{pmatrix}
\]
Si $D(x)$ est inversible, alors la commande linéarisante est :
\[ u(x) = D(x)^{-1}( \vect{v_1 \\ \vdots \\ v_m} - \vect{L_f^{r-1} h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}h_p(x)}) \]
\begin{prop} \begin{prop}
Le système MIMO est linéarisable si $r=\sum_{i=1}^p r_i = n$ avec $D(x)$ inversible. Le système MIMO est linéarisable si $r=\sum_{i=1}^p r_i = n$ avec $D(x)$ inversible.
\end{prop} \end{prop}
\begin{itemize}
\item Si $D(x)$ est inversible, alors la commande linéarisante est :
\[ u(x) = D(x)^{-1}( \vect{v_1 \\ \vdots \\ v_m} - \vect{L_f^{r-1} h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}h_p(x)}) \]
On a un bouclage ``statique''.
\item si $D(x)$ n'edst pas inversible alors on introduit une dynamique pour la rendre inversible. Une méthode simple pour trouver cette dynamique est de continuer à dériver après apparition de la commande ($u_j,\dot{u}_j$).
\end{itemize}
Dans le cas où $r<n$, alors le système MIMO est partiellement linéarisable. Ainsi, $\eta$ est le vecteur d'état des $n-r$ équations non linéaires restantes. Dans le cas où $r<n$, alors le système MIMO est partiellement linéarisable. Ainsi, $\eta$ est le vecteur d'état des $n-r$ équations non linéaires restantes.
\[ \dot{\eta} = P(z,\eta) + Q(z,\eta) u, \text{ avec } P_k(z,\eta) = L_f \eta_k \text{ et } Q_{k,j}(z,\eta) = L_{g_j}\eta_k, k = 1 \dots n-r, j = 1 \dots m \] \[ \dot{\eta} = P(z,\eta) + Q(z,\eta) u, \text{ avec } P_k(z,\eta) = L_f \eta_k \text{ et } Q_{k,j}(z,\eta) = L_{g_j}\eta_k, k = 1 \dots n-r, j = 1 \dots m \]
...@@ -481,21 +504,24 @@ Dans le cas où le modèle est sous forme normale (forme obtenue pour le bouclag ...@@ -481,21 +504,24 @@ Dans le cas où le modèle est sous forme normale (forme obtenue pour le bouclag
Si $m=r$ alors \[ u = \frac{1}{a(z)} (-b(z)+y_c^{(r)} + \sum_{i=1}^r \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)} \] Si $m=r$ alors \[ u = \frac{1}{a(z)} (-b(z)+y_c^{(r)} + \sum_{i=1}^r \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)} \]
$y_c^{(r)}$ bouclage linéarisant statique $y_c^{(r)}$ bouclage linéarisant statique
Si$m=r+1$ alors Si $m=r+1$ alors
\[ \dot{u} = \frac{1}{a(z)} (-\dot{b}(z) - \dot{a}(z)u + y_c^{(m)} + \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)}) \] \[ \dot{u} = \frac{1}{a(z)} (-\dot{b}(z) - \dot{a}(z)u + y_c^{(m)} + \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} \epsilon^{(i-1)}) \]
$\dot{a}(z)u$ bouclage linéarisant dynamique $\dot{a}(z)u$ bouclage linéarisant dynamique
Même démarche pour les degrés supérieurs de la poursuite asymptotique. Même démarche pour les degrés supérieurs de la poursuite asymptotique.
\end{itemize} \end{itemize}
\begin{figure}[ht]
%\img{0.5}{6/1} \centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{6/1.png}
\caption{ }
\label{fig:label}
\end{figure}
La difficulté de la poursuite asymptotique est la résolution de l'équation dynamique NL La difficulté de la poursuite asymptotique est la résolution de l'équation dynamique NL
\[c(z_1 \dots z_n , u \dots u^{(k)} ) y_c^{(n)} - \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} (y_c^{(i-1)} - z_i) \] \[c(z_1 \dots z_n , u \dots u^{(k)} ) y_c^{(n)} - \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} (y_c^{(i-1)} - z_i) \]
Dans le cas des systèmes plats, la solution est obtenue via les sorties plates. Dans le cas des systèmes plats, la solution est obtenue via les sorties plates.
\begin{defin}[Platitude] \begin{defin}
Un système est dit plat s'il a des sorties plates. Tous les états et entrées de commande du système sont exprimés en fonction des sorties plates et d'un nombre fini de leurs dérivées.\\ Un système est dit \emph{plat} s'il a des sorties plates. Tous les états et entrées de commande du système sont exprimés en fonction des sorties plates et d'un nombre fini de leurs dérivées.\\
\noindent Cas SISO : $\dot{x} = f(x,u)$ est plat si \[\exists y \in \R \text{ tq } x = \phi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\beta)}) \text{ et } u=\psi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\delta)}), \beta,\delta \in \N\] \noindent Cas SISO : $\dot{x} = f(x,u)$ est plat si \[\exists y \in \R \text{ tq } x = \phi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\beta)}) \text{ et } u=\psi(y,y^{(1)},\dots,y^{(\delta)}), \beta,\delta \in \N\]
...@@ -519,8 +545,7 @@ u_1 & = \frac{\dot{x_3}}{y_1} = \frac{(\ddot{y_2}-\dot{y_2})\dot{y_2}-\ddot{y_1} ...@@ -519,8 +545,7 @@ u_1 & = \frac{\dot{x_3}}{y_1} = \frac{(\ddot{y_2}-\dot{y_2})\dot{y_2}-\ddot{y_1}
Un autre intérêt de la platitude est la planification simple de trajectoire. Un autre intérêt de la platitude est la planification simple de trajectoire.
\begin{thm} \begin{thm}[Principe de la planification de trajectoire]
[Principe de la planification de trajectoire]
La planification peut comporter des contraintes sur la commande (énergie, saturation, ...) et sur les états (obstacles, limitation de vitesse, d'accélération...) La planification peut comporter des contraintes sur la commande (énergie, saturation, ...) et sur les états (obstacles, limitation de vitesse, d'accélération...)
Pour les systèmes plats, la planification est réalisée sur les sorties plates $y\in\R^p$ et la commande est déduite par $u=\psi(y_1,\dots,y_p^{(\delta_p)})$ Pour les systèmes plats, la planification est réalisée sur les sorties plates $y\in\R^p$ et la commande est déduite par $u=\psi(y_1,\dots,y_p^{(\delta_p)})$
\end{thm} \end{thm}
...@@ -539,14 +564,13 @@ Le système est plat où $q\in\R^n$ sont les sorties plates.\\ ...@@ -539,14 +564,13 @@ Le système est plat où $q\in\R^n$ sont les sorties plates.\\
La planification de trajectoire est réalisée sur les $q$, puis $u=K^{-1}(q,\dot{q})(M(q)\dot{q} + B(q,\dot{q}))$\\ La planification de trajectoire est réalisée sur les $q$, puis $u=K^{-1}(q,\dot{q})(M(q)\dot{q} + B(q,\dot{q}))$\\
\newpage
Commande en cassecade \footnote{Momo m'a tuer} : Commande en cassecade \footnote{Momo m'a tuer} :
%\imgt{7/1} %\imgt{7/1}
\[ C_0(p) = K >>1, \quad H_0(p) = \frac{H_1(p)}{1+KH_1(p)} \approx \frac{1}{K} \] \[ C_0(p) = K >>1, \quad H_0(p) = \frac{H_1(p)}{1+KH_1(p)} \approx \frac{1}{K} \]
\end{exemple} \end{exemple}
\newpage
\section{Commandes hiérarchisées} \section{Commandes hiérarchisées}
\subsection{Échelles de temps} \subsection{Échelles de temps}
......
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