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424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex

@@ -67,10 +67,8 @@ Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle u
 \section{Théorème du point fixe}
 
 \begin{thm}
-Soient $X$ un espace de Banach de norme $||.||$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $S$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,
-
+Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $S$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,
 \[ \text{ alors } \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
-
 De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $.
 \end{thm}
 
@@ -82,10 +80,10 @@ Une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$ est lipschitzienne si $\exists \
 Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
 \end{rem}
 
-\begin{thm}
-Soient le système dynamique défini par :$\dot{x}(t)=f(x(t))$ et $x(t_0)=x_0, t \in \R (*)$.
+\begin{thm}[Cauchy-Lipschitz]
+Soient le système dynamique défini par \[\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{\ast}\]
 
-Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que (*) a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$
+Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$
 \end{thm}
 
 \begin{proof}

455-Codage_Sources/Cours/chap0_MAN.tex

@@ -3,6 +3,7 @@
 \lstset{language=Matlab}
 
 \begin{document}
+\newcommand{\X}{\mathcal{X}}
 \section{Rappels mathématiques pour le codage de source}
 
 \paragraph{Signaux et variables aléatoires}
@@ -26,30 +27,30 @@ Les $p_i$ sont tels que :
 
 \paragraph{Moyenne de $X$} (ou espérance) : $E(X)=\sum_{i \in \X} i p_i$
 
-\begin{exemple}
+\begin{example}
 $\X=\{1,2,3\}$ avec $p=1 = 0.5, p_2=0.25, p_3=0.25$.
 
 On a $E(X) = 1\times0.5 + 2\times0.25 + 3\times0.25 = 1.75$
-\end{exemple}
+\end{example}
 
 \paragraph{Variance de X} : $V(x)=E[(X-E(X))^2] = \sum_{i\in\X} (i-E(x))^2p_i$
 
-\begin{exemple}[(suite)]
+\begin{example}[(suite)]
 $\X=\{1,2,3\}$ avec $p=1 = 0.5, p_2=0.25, p_3=0.25$.
 
 On a $V(x) = (1-1.75)^2\times0.5 + (2-1.75)^2\times0.25 + (3-1.75)^2\times0.25=0.69$
-\end{exemple}
+\end{example}
 
 \paragraph{Écart-type de X} $ \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
 
 \medskip
-\begin{exemple}[Générer des réalisations de VA]
+\begin{example}[Générer des réalisations de VA]
 Génération d'une suite de réalisations d'une VA $X$ tel que $\X=\{0,1\}$ avec $p_0=0.9,\quad p_1=0.1$
 
 \begin{lstlisting}
 x=rand(1,10)>0.9
-% rand : générateur de loi uniforme
-% randn : générateur de loi gaussienne
+% rand : generateur de loi uniforme
+% randn : generateur de loi gaussienne
 \end{lstlisting}
 
 \noindent Pour générer une suite de réalisations correspondant aux exemples précédents
@@ -58,7 +59,7 @@ x=rand(1,10)>0.9
 x=rand(1,10)
 y= (x<0.5) + 2*(x<0.75 & x>0.5) + 3*(x>0.75)
 \end{lstlisting}
-\end{exemple}
+\end{example}
 
 \medskip
 On considère deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ d'alphabet $\X$.