@@ -67,10 +67,8 @@ Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle u
\section{Théorème du point fixe}
\begin{thm}
Soient $X$ un espace de Banach de norme $||.||$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $S$, i.e. $\exists\rho\in[0,1[$ tel que $\forall(x,y)\in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq\rho ||x-y||$,
Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $S$, i.e. $\exists\rho\in[0,1[$ tel que $\forall(x,y)\in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq\rho ||x-y||$,
\[\text{ alors }\exists! x^*\in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^*$.
\end{thm}
...
...
@@ -82,10 +80,10 @@ Une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$ est lipschitzienne si $\exists \
Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
\end{rem}
\begin{thm}
Soient le système dynamique défini par :$\dot{x}(t)=f(x(t))$ et $x(t_0)=x_0, t \in\R(*)$.
\begin{thm}[Cauchy-Lipschitz]
Soient le système dynamique défini par \[\dot{x}(t)=f(x(t))\text{ et }x(t_0)=x_0, t \in\R\tag{\ast}\]
Si $f:D \rightarrow\R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0\in\D, \exists\tau\in]t_0,t_1[$ tel que (*) a une unique solution $x:[t_0,\tau]\rightarrow\R^n$
Si $f:D \rightarrow\R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0\in\D, \exists\tau\in]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau]\rightarrow\R^n$