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424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap2.tex
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
\begin{document}
Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre,...\\
On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\
\section{Trajectoire}
\begin{rem}
On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
\end{rem}
Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
Ainsi, pour des systèmes du second ordre, on va avoir:
\[\begin{matrix}
x= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} &\text{et}& f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{pmatrix}
\end{matrix}\]
L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.
Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.
Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ avec $x(0)=x_0$. Cette solution est unique. Qu'en est-il en non-linéaire?
\section{Analyse qualitative du comportement}
Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des trajectoire, ou instable si c'est un point de divergence des trajectoires.\\
On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
\begin{align*}
\Aboxed{\delta \dot{x}&= A \delta x}\\
\text{où, } A&= \frac{\partial f(x)}{\partial x}|_{x=x_0} \text{ Jacobien de f en $x_0$}\\
\text{et, }\delta x &= x-x_0
\end{align*}
\begin{defin}
Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$ où $\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ est une trajectoire, tel que les axiomes suivants sont vérifiés:
\begin{enumerate}
\item Continuité : $\chi(\cdot,\cdot)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $\chi(\cdot,x)$ est dérivable.
\item Consistance : $\chi(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
\item Propriété de groupe : $\chi(\tau, \chi(t,x_0)) = \chi(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{rem}
En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
\end{rem}
\begin{rem}
Cette approximation peux être réalisé dna sle cas d'un régime forcé:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = f(x,u)\\
y = h(x,u)
\end{cases}
\]
avec $f(\bar{x},\bar{u}) = 0$ et on alors:
\[
\begin{cases}
f(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = f(\bar{x},\bar{u}) + A. \delta x + B \delta u\\
h(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = h(\bar{x},\bar{u}) + C. \delta x + D \delta u
\end{cases}
\]
Donc :
\[
\begin{cases}
\delta \dot{x} = A. \delta x + B. \delta u \\
\delta \dot{u} = C. \delta x + D. \delta u
\end{cases}
\]
\end{rem}
\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.} \\
\begin{prop}
La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
\end{prop}
\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
$J = \begin{pmatrix}
\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
\end{pmatrix}$ où $\lambda_1 \neq \lambda_2$\\
On pose le changement de variable $\delta z = M^{-1}\delta x$ : Base Modale.\\ Donc on a $\delta z_0 = M^{-1}\delta x_0$ comme valeur initiales, d'où :
\begin{align*}
\delta z_1(t) &= e^{\lambda_1t}\delta z_{01}\\
\delta z_2(t) &= e^{\lambda_2t}\delta z_{02}
\end{align*}
Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\
\begin{itemize}
\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(\cdot,\cdot)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
\item On dénote la trajectoire $\chi(t,\cdot) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
\item Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
\[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \]
Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$ où $\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).
\begin{enumerate}
En effet, montrons que $\chi_t$ est injective.
\item Dans le cas où $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ou $0 < \lambda_1 < \lambda_2$, on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
\end{center}
D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un \emph{noeud} qui est donc soit stable soit instable. Et son \emph{index topologique vaut $+1$}\\
Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$.
On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi(0,y)=y$
\item Dans le cas où $\lambda_2 < 0 < \lambda_1 $, on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph4.png}
\end{center}
On est dans un cas instable et on a un point selle, d'index $-1$ \\
$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y z\in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue.
\end{itemize}
\end{rem}
\item Dans le cas ou $\lambda_1 = 0$, on a:
\begin{align*}
\delta z_1 &= \delta z_{01}\\
\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
\end{align*}
d'où le graphique:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph6.png}
\end{center}
Il n'y a pas de point d'équilibre car A est non inversible ce qui implique que $\dot{x}=Ax \Rightarrow x=0$\\
\begin{exemple}
Système linéaire causal de dimension $n$ ($n$ variables d'état)
\begin{rem}
Il n'y a pas de point d'équilibre d'après la définition $ \dot{x} = 0$ même si graphiquement on converge vers un point.
\end{rem}
$s:[0,+\infty[ \times \R^n \rightarrow \R^n$ où $\chi(t,x)=e^{At}x$ où $A\in\R^n$ matrice d'évolution
\item Dans le cas où $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$\\
Si $J = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$ le sous espace propre est de dimension 2.\\
On a un point d'équilibre.
Ainsi $\chi_t(x) = e^{At}x$ où $\chi_t :
\begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R\\x & \mapsto e^{At}x
\end{cases}
$
On a $(\chi_{\tau} \circ \chi_t) (x) = \chi_{\tau}(\chi_t(x)) = e^{A\tau}e^{At}x = \chi_{t+\tau}(x)$
\end{exemple}
Si la dimension du sous espace propre est de 1, $J = \begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$, donc :
\begin{align*}
\delta z_1 &= t e^{\lambda t} \delta z_{01} + e^{\lambda t} \delta z_{02}\\
\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
\end{align*}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph5.png}
\end{center}
\begin{prop}
Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D \rightarrow \R^n$ définie par $f(x) = \dd{\chi(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$.
\end{prop}
\end{enumerate}
\begin{exemple}
Système linéaire $f(x)=\dd{e^{At}x}{t}|_{t=0}=Ax$
\end{exemple}
\emph{Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle unique ?}
\section{Théorème du point fixe}
\subsection{Cas $\mathbb{C}$}
On a maintenant $\lambda_{1,2} = \alpha \pm j\beta$. On considère la représentation d'état : $\delta \dot{z_1} = M^{-1} \delta x$ tel que :
\begin{align*}
\delta \dot{z_1} &= \alpha \delta z_1 - \beta \delta z_2\\
\delta \dot{z_2} &= \beta \delta z_1 + \alpha \delta z_2
\intertext{On utilise les coordonnées polaires :}
r = \sqrt{\delta z_1^2 + \delta z_2^2} &\text{ et, } \theta = arctan\left(\frac{\delta z_2}{\delta z_1}\right)
\intertext{on a donc :}
\dot{\theta} &= \beta\\
\dot{r} &= \alpha r
\end{align*}
Ainsi, on obtient :
\[\left \{ \begin{matrix}
\theta(t) = \theta_0 + \beta t\\
r(t) = e^{\alpha t} r_0
\end{matrix}\right.\]
\begin{thm}[Point fixe]
Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $X$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,alors
\[ \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $.
\end{thm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
\end{center}
\[
\begin{cases}
\delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
\delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
\delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
\end{cases}
\]
\nopagebreak[1]
\section{Cycle limite}
\begin{defin}
Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
\begin{itemize}
\item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C} \forall t\in[t_0,t_0+T[$
\item $\chi(t_0+T,x_0) =x_0$
\end{itemize}
Soit deux espaces munis de leur normes $(X,d_x)$ et $(Y,d_y)$ et une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$.
On dit que $f$ est \emph{lipschitzienne} si $\exists \alpha > 0$ tel que
\[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y)) \leq \alpha d_x(x,y)\]
\end{defin}
On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\forall t > 0$, $x(t+T) = x(t)$.\\
(On exclut cependant le cas $x(t)$ = constante).
\begin{rem}
Un point d'équilibre peut être interpréter comme un cycle limite singleton $ \forall T\in\R$.
Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
\end{rem}
\begin{prop}
\begin{description}
\item[Cycle limite stable]~\\
Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite.
\[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
\item[Cycle limite instable]~\\
Toutes les trajectoires divergent du cycle limite.\\
Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel que} x(t) \notin \text{cycle limite} $.
\item[Cycle semi-stable]~\\
Une partie des trajectoires converge et d'autres divergent du cycle limite.
\end{description}
\end{prop}
\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
\begin{thm}[Cauchy-Lipschitz]
Soient le système dynamique défini par
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
\end{cases}
\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0\tag{$\ast$}
\]
Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
\begin{rem}
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
\end{rem}
%\img{0.3}{3/2.png}
$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
\end{example}
\begin{thm}[Index de Poincaré]
Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encrecle sont tel que
\[
N =S +1
\]
Si $f:\D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $\D$ alors \\
$\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$
\end{thm}
ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
\begin{corol}
Si $N\neq S+1$ alors il n'existe pas de cycle limite.
\end{corol}
\begin{proof}~ \\
\begin{lemme}
Soit une courbe du plan de phase alors l'index de la courbe est la somme des index des points d'équilibre contenu dans cette courbe.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soient $T(x) = x_0 + \int_t^{t_0}f(s)ds$, $t\in[t_0,\tau] = x(t)$
À partir de cette proposition on peux démontrer le théorème de l'index de Poincaré, car le cycle limite $\mathcal{C}$ est solution de l'équation dynamique. l'index de $\mathcal{C}$ vaut +1. Ainsi le nombre de points d'équiliobre ayant l'index +1 doit être supérieur d'une unité à ceux dont l'index est -1
\end{proof}
et on définit $S = \{ x(t) \text{ tel que } t\in [t_0,\tau], ||x-x_0|| \leq r \}$
\section{Théorème de Bendixon}
Ainsi, $\forall x \in S$
\begin{align*}
||T(x) - x_0|| & = ||\int_{t_0}^t f(s)ds || \\
& = || \int_{t_0}^t (f(s)-f(t_0)+f(t_0))ds || \\
& \leq \int_{t_0}^t ||f(s)-f(t_0)||s + \int_{t_0}^t ||f(x_0)||ds \\
& \leq (\alpha r + C) ds \quad (f \text{ lipsch. et } ||s-x_0|| \leq r) \\
& \leq (\alpha r + C)(t-t_0) \leq r
\end{align*}
\begin{thm}
Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un ensemble simplement connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint, sans trous) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
Si:
\begin{itemize}
\item $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$
\item $\divv f$ ne change pas de signe dans $D$
\end{itemize}
Alors $\dot{x}=f(x)$ n'a pas de cycle limite inclus dans $D$.
\end{thm}
$\exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\tau - t_0) \leq \frac{r}{\alpha r + C}$ donc $T:S\rightarrow S$.
\begin{proof}
Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle limite.
\begin{align*}
\forall x,y \in S, \quad ||T(x)-T(y)|| & \leq \int_{t_0}^t || f(x(s))-f(y(s)) || ds \\
& \leq \alpha \int_{t_0}^t || x(s) - y(s) || ds \\
& \leq \alpha \max_{s\in [t_0,\tau]} ||x(s)-y(s)|| \int_{t_0}^t ds \\
& \leq \alpha |||x(s)-y(s)||| (t-t_0) \quad \text{ avec } \|.\|=\max_{s\in [t_0,\tau]}(.)
\end{align*}
$\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$ où $n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
On veut $\alpha (t-t_0) \leq \alpha (\tau - t_0) \leq \rho$ avec $\rho<1$ donc $|||T(x)-T(y)|| \leq \rho |||x-y|||$.
Suivant le théorème de Green,
\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS \text{ donc } \iint_S \divv f(x)dS = 0
\]
Il suffit de choisir $\tau$ tel que $\tau - t_0 \leq \frac{\rho}{\alpha}$
Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
$T:S \rightarrow S$ est contractante pour $\tau - t_0 \leq \min \{ \frac{r}{\alpha r + C}, \frac{\rho}{\alpha} \}$
Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
(*) a une unique trajectoire.
\end{proof}
\begin{example}
Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$ où $\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\
Représentation d'état :
\[
\begin{cases}
\dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\
\dot{x}_2(t) & = - \alpha x_2(t) - g(x_1(t)) = f_2(x)
\end{cases}
\text{ avec } x_1(t) = x(t) \text{ et }x_2(t) = \dot{x}(t) \]
Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
$\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
\end{example}
\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
\paragraph{Rappel:}
Dans le cas linéaire, le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses valeurs propres sont à partie réelle négative, il existe un unique point d'équilibre $\overline{x}$ stable tq $\dot{x} =0$ (si $\det(A) \neq 0$n $\overline{x}=0$).
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Un ensemble $\mathcal{M}\subset \mathcal{D}$ est dit \emph{positivement
invariant} du système $\Sigma$ si
\[\chi_t(\mathcal{M}) \subseteq \mathcal{M} , \forall t \ge 0\]
\item Si la propriété est vraie $\forall t\le 0 $ l'ensembles est \emph{négativement invariant}.
\item Si la propriété est vraie $\forall t\in \R$ . l'ensembles est \emph{invariant}
\item Les \emph{points d'équilibre} d'un système vérifient $\dot{x_{eq}} = 0$
\item Dans le cas non linéaire on peux avoir plusieurs points d'équilibre, isolés, voire une infinité, ou aucun.
\item La stabilité en non linéaire n'est pas une caractéristique du système mais d'un point (ou un ensemble de point) qui sont généralement les points d'équilibre.
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{rem}
Un ensemble invariant est un fermé de $\R^n$.
\end{rem}
\begin{rem}
Un cycle limite stable ou semi-stable est un cas particulier d'un ensemble invariant. Cet ensemble est un \emph{attracteur} et ne peut avoir qu'un comportement périodique.
\end{rem}
\begin{exemple}[Pendule simple] \\
\begin{defin}
Un attracteur est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
\begin{enumerate}
\item
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[decorate,decoration={border,amplitude=0.5cm,segment length=0.5cm}] (-2,0) -- (2,0);
\draw[dashed,latex-] (0,0.5) -- (0,-3);
\draw[very thick] (-2,0)-- (2,0);
\draw[fill=white] (0,0) circle(0.2) node{$\bullet$} -- (-70:3)node{$\bullet$};
\draw (0,-1) arc (-90:-70:1) node[midway,below]{$\theta$};
\end{tikzpicture}
\caption{Pendule simple}
\end{figure}
On a la représentation d'état ($x_1=\theta$,$x_2=\dot{\theta}$):
\[
\forall x\in \mathcal{N}, \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 et \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
\begin{cases}
\dot{ x_1} = x_2\\
\dot{x_2} = \frac{-g}{l}sin(x_1)-\frac{k}{m}x_2
\end{cases}
\]
\end{defin}
\begin{rem}
Physiquement\footnote{\emph{sic.}} un attracteur est un fermé borné (compact)
\end{rem}
Les points d'équilibre vérifient $\dot{x_1}=\dot{x_2} = 0$ soit $x_1= k\pi$,$k\in\Z$. physiquement on a deux points : $0$ et $\pi$.
\begin{thm}
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
\item soit le système NL:
\[
\begin{cases}
Si $\omega(x_0)$ est compact et ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\end{thm}
\dot{x_1}= \alpha + \sin(x_1(t)+x_2(t))+x_1(t)\\
\dot{x_2}=\alpha+ + \sin(x_1(t)+x_2(t))-x_1(t)
\end{cases}
\]
Les point d'équilibre sont solutions de $\dot{x_1}=0$ et $\dot{x_2}=0$: on a pas de solution, en effet $\dot{x_1}+\dot{x_2} = 2\alpha+2\sin(x_1+x_2)$ pour $\alpha>1$
\end{enumerate}
Interprétation :
\end{exemple}
Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\
\begin{rem}
Les points d'équilibre peuvent aussi être déterminer dans le cas du régime forcé : $\dot{x}(t) = f(\overline{x},\overline{u}) = 0$
\end{rem}
\section{Critère Qualitatif}
\begin{prop}
\paragraph{But}: Tracer les trajectoires $\chi(t,x_0),\forall x_0\in \D$ dans l'espace de phase $\R^n$ où $n$ est la dimension du système.
Cette méthode est réalisée pour les systèmes du second ordre ,plan de phase dans $\R^2$, voire dans $\R^3$. Les systèmes mécaniques sont des exemples typiques, notamment via les équation de Lagrange $\ddot{q} =l(q,\dot{q})$ avec $q$ coordonnées généralisées. même si le modèle est d'ordre $2n$ où $n = dim(q)$ on peux tracer les coordonnées deux à deux $x_1= q_i ,x_2 = \dot{q_i}$, dans le plan de phase.
\subsection{Méthode pour tracer les trajectoires}
\begin{enumerate}
\item Méthodes informatique :
\begin{itemize}
\item $\omega_0$ définit un ensemble positivement invariant.
\item Dans $\R^2$ le seul attracteur possible est un cycle limite.
\item Si la trajectoire converge vers un ensemble alors on a les cas possibles:
\begin{itemize}
\item C'est un ensemble de points d'équilibres.
\item C'est un cycle limite.
\item La trajectoire est un cycle limite.
\end{itemize}
\item On utlise une intégration numérique pour différentes conditions initiale
\item Graphe des pentes générés numériquement en étudiant $\deriv[x_1]{x_2} = \frac{f_1(x_1,x_2)}{f_2(x_1,x_2)}$
\end{itemize}
\end{prop}
\item Méthode papier-crayon
\begin{itemize}
\item Méthode isocline : peut être manuelle et/ou numérique.
\item Solution explicite des équations\\
On élimine le temps de manière explicite ou non.
\end{itemize}
\end{enumerate}
Dans l'analyse de la stabilité on s'interresse au comportement dans un voisinage du point d'équilibre.
Exemple 1 :
\begin{defin}
Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
\begin{enumerate}
\item Une courbe autour du point d'équilibre choisie d'une manière arbitraire et supposée de taille infinitésimale
\item Avec une paramétrisation dans le sens trigonométrique
\item On considère une suite arbitraire de point $(x_n)$ dans le sens de la paramétrisation
\item Pour chaque point $x_n$ on évalue $f(x_n$) où $f$ vérifie $\dot{x} =f(x)$.
\item Tous les vecteurs $f(x_n)_{n=1...N}$ sont ramenés aux point d'équilibre.
\end{enumerate}
Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique.
\end{defin}
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
\draw (x) circle (1.5) (20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\a*45:0.5);
\node at (\a*45:2.4){$f(x_\a)$}; }
\node at (5,0){$\bullet$};
\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8);
\draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_\a$}; }
\node at (5,0){$\bullet$};
\node[draw,rectangle] at (10,0){index = +1};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
\draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
\foreach \a/\r in {0/1.2,1/1,2/1,3/1,4/1.2,5/1,6/1,7/1}
{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(-\a*45:0.5);
\node at (\a*45:\r*2){$f(x_\a)$}; }
\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(-\a*45:0.8);
\draw (5,0)++(-\a*45:1.2)node{$f_\a$}; }
\node at (5,0){$\bullet$};
\node[draw,rectangle] at (10,0){index = -1};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
\draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
\foreach \a/\t/\r in {0/0/2.5,1/45/2.5,2/0/1.8,3/90/2,4/-45/2,5/45/1.8,6/0/1.8,7/90/2}
{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\t:0.7);
\node at (\a*45:\r){$f(x_\a)$}; }
\foreach \a/\l in {0/137,1/26,2/4,7/5}
{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8);
\draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_{\l}$}; }
\node at (5,0){$\bullet$};
\node[draw,rectangle] at (10,0){index = 0};
\end{tikzpicture}
\caption{Détermination de l'index topologique}
\end{figure}
Il reste maintenat à chercher les trajectoires autour des points d'équilibres.
\subsection{Méthode isocline}
Pour cette méthode, il s'agit de poser :
\begin{align*}
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
-1 & 10 \\-100 & -1 x = A_1x
\end{bmatrix}\\
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
-1 & 100 \\ -10 & -1 x = A_2x
\end{bmatrix}
\quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\
\end{align*}
C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\
Les deux systèmes sont stables
Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\
Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\
Exemple 2 :
\begin{exemple}[Pendule inversé]
Cas sans frottement : \[
\begin{cases}
x_1 &= \theta \\
x_2 &= \dot{\theta}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x_1 & =x_2\\
x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1)
\end{cases}
\]
\smallbreak
Les iso-clines vérifient donc :
\begin{align*}
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
1 &- 10\\100 & 1 x
\end{bmatrix}
= A_1x \\
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
1 & -100\\10 & 1
\end{bmatrix}
x = A_2x \quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\
&=C
\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:}
x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1)
\end{align*}
On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
\end{center}
Les deux systèmes sont instables.
En choisissant bien la permutation, on rend le système global stable.
\paragraph{Conclusion} l'analyse de la stabilité par linéarisation ne donne pas une CNS de stabilité des systèmes non linéaires (point d'équilibre), d'où l'importance de définir un autre moyen d'analyse. \\
L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\
\begin{rem}
Il existe d'autres méthodes pour tracer les trajectoires dans le plan de phase.
sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
\end{rem}
\end{exemple}
\begin{example}[Élimination du temps]
\begin{multicols}{2}
\noindent Méthode explicite :
\[
\begin{cases}
x_1(t) & = x_0 \cos t + \dot{x}_0 \sin t\\x_2(t) & = -x_0 \sin t + x_0 \cos t
\end{cases}
\]
\subsection{Méthode par suppression temporelle}
\subsubsection{Méthode explicite}
À partir des solutions des équations différentielles on se débarasse de la paramétrisation temporelle pour obtenir la trajectoire:
\begin{exemple}
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} = x_0 \cos(t) + \dot{x_0} \sin(t)\\
\dot{x_2} = -x_0 \sin(t) + \dot{x_0} \cos(t)\\
\end{cases}
\]
On a $\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2 = x_0^2+\dot{x_0}^2$ soit un cercle de rayon $\sqrt{x_0^2+\dot{x_0}^2}$
\end{exemple}
\[x_1^2(t) + x_2^2(t) = x_0^2 + \dot{x}_0^2 \]
On a éliminé le temps mais c'est assez \emph{spicifique} à la représentation d'état.
\subsubsection{Méthode implicite}
\noindent Méthode implicite :
\[ \dot{x} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{bmatrix}
x \text{ donc }
Le temps est élimié à partir de l'équation différentielle puis l'orbite est obtenue par intégration
\begin{exemple}
\[
\begin{cases}
\dd{x_1}{t} & = x_2\\ \dd{x_2}{t} & = -x_1
\dot{x_1}=x_2\\
\dot{x_2} = -x_1
\end{cases}
\implies \frac{\d x_2}{x_2} =\d t = \frac{\d x_1}{x_1}
\]
\[dt = \frac{dx_1}{x_2} = -\frac{dx_2}{x_1}\]
\[x_1dx_1 = -x_2dx_2 \text{ donc } x_1^2 + x_2^2 = x_{20}^2 + x_{10}^2\]
\end{multicols}
\end{example}
Donc : \[
\int_{x_20}^{x_2}x_2\d x_2 = - \int_{x_10}^{x_1}x_1\d x_1
\]
Ainsi on a : $ x_1^2+x_2^2 = x_{10}^2+x_{20}^2$.
\end{exemple}
\begin{rem}
Les méthodes par élimination du temps ne s'appliquent que pour les systèmes avec des dynamiques relativement simple.
\end{rem}
\end{document}
%%% Local Variables:
......
424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap3.tex
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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\section{Hypothèses}
\begin{itemize}
\item la non-linéarité est statique et n'évolue pas dans le temps. On peut la séparer de la dynamique du système. Par exemple, la saturation (ou la zone morte) est une non-linéarité statique.
\item la partie dynamique (linéaire) est un filtre passe-bas \emph{suffisamment efficace} pour négliger les harmoniques d'ordre supérieur à 1. Plus précisément, l'ordre relatif du filtre doit être supérieur strict à 1.
\end{itemize}
Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre,...\\
On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\
\section{Schéma-blocs}
\[ x \longrightarrow \boxed{
\begin{array}{c}
\text{Non} \\
\text{Linéarité}
\end{array}
} \longrightarrow y \longrightarrow \boxed{H(p)} \longrightarrow z \]
La fonction de transfert $H(p)$ (fraction rationnelle) correspond à un filtre passe-bas de degré relatif $\geq 2$.\\
On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
On prend $x=X\sin \omega t$. Dans le cas linéaire, seule la valeur de $\omega$ influe sur le tracé de la diagramme de Bode du système. Dans le cas non-linéaire, on a plusieurs tracés de réponses fréquentielles. Par exemple, avec une saturation, on obtient des réponses fréquentielles qui dépendent de l'amplitude d'entrée de $X$ dès qu'elle devient trop élevée.
Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-1.png}
\end{figure}
Ainsi, pour des systèmes du second ordre, on va avoir:
\[\begin{matrix}
x= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} &\text{et}& f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{pmatrix}
\end{matrix}\]
L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.
Puisque $H(p)$ rejette les harmoniques d'ordre supérieur à 1, on peut donc décomposer \[y(t)=P \sin \omega t + Q \cos \omega t\]
Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.
Dans le cas d'une NL symétrique, on a
\section{Analyse qualitative du comportement}
Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des trajectoire, ou instable si c'est un point de divergence des trajectoires.\\
On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
\begin{align*}
P& =\frac{2}{T} \int_{[T]} y(t) \sin \omega t dt\\
Q& =\frac{2}{T} \int_{[T]} y(t) \cos \omega t dt \quad \text{ avec } \omega T = 2\pi
\Aboxed{\delta \dot{x}&= A \delta x}\\
\text{où, } A&= \frac{\partial f(x)}{\partial x}|_{x=x_0} \text{ Jacobien de f en $x_0$}\\
\text{et, }\delta x &= x-x_0
\end{align*}
\begin{rem}
Si la NL est non-symétrique, $y(t) = Y+P\sin \omega t + Q \cos \omega t$ avec $Y=\frac{1}{T}\int_{[T]} y(t) dt$. La composante continue $Y$ peut être négligée pour l'analyse de stabilité et modélisée par une perturbation constante à l'entrée de $H(p)$.
En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
Cette approximation peux être réalisé dans le cas d'un régime forcé:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = f(x,u)\\
y = h(x,u)
\end{cases}
\]
avec $f(\bar{x},\bar{u}) = 0$ et on alors:
\[
\begin{cases}
f(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = f(\bar{x},\bar{u}) + A. \delta x + B \delta u\\
h(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = h(\bar{x},\bar{u}) + C. \delta x + D \delta u
\end{cases}
\]
Donc :
\[
\begin{cases}
\delta \dot{x} = A. \delta x + B. \delta u \\
\delta \dot{u} = C. \delta x + D. \delta u
\end{cases}
\]
\end{rem}
\begin{defin}
On définit le \emph{gain complexe équivalent}:
\[ N(X) = \frac{P+jQ}{X} \text{ qu'on note } N(X) = N_P(X) + jN_Q(X) \]
\begin{itemize}
\item $N_P(X)=\frac{P}{X}$ est la gain en phase,
\item $N_Q(X)=\frac{Q}{X}$ est la gain en quadrature.
\end{itemize}
\end{defin}
\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.} \\
\begin{prop}
La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan\footnotemark de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
\end{prop}
\footnote{cf UE421}
\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
$J = \begin{pmatrix}
\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
\end{pmatrix}$ où $\lambda_1 \neq \lambda_2$\\
On pose le changement de variable $\delta z = M^{-1}\delta x$ : Base Modale.\\ Donc on a $\delta z_0 = M^{-1}\delta x_0$ comme valeur initiales, d'où :
\begin{align*}
\delta z_1(t) &= e^{\lambda_1t}\delta z_{01}\\
\delta z_2(t) &= e^{\lambda_2t}\delta z_{02}
\end{align*}
Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\
\begin{rem}
\begin{itemize}
\item À la différence du système linéaire, pour une même pulsation, on a plusieurs réponses fréquentielles qui dépendent de l'amplitude de l'entrée $X$. L'analyse de stabilité doit donc se faire par rapport à tous les tracés.
\begin{enumerate}
% Inclure le nyquist du génie
\item Dans le cas où $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ou $0 < \lambda_1 < \lambda_2$, on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
\end{center}
D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un \emph{noeud} qui est donc soit stable soit instable. Et son \emph{index topologique vaut $+1$}\\
\item Les manipulations de schéma-blocs doivent satisfaire les règles connues (principe de superposition) et s'assurer que le signal en amont du bloc NL est le même, et en aval, qu'il est suffisamment filtré pour ne garer que le 1er harmonique.
\item Dans le cas où $\lambda_2 < 0 < \lambda_1 $, on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph4.png}
\end{center}
On est dans un cas instable et on a un point selle, d'index $-1$ \\
\begin{example}
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}
\sbComp[3]{comp}{E}
\sbRelier[$e$]{E}{comp}
\item Dans le cas ou $\lambda_1 = 0$, on a:
\begin{align*}
\delta z_1 &= \delta z_{01}\\
\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
\end{align*}
d'où le graphique:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph6.png}
\end{center}
Il n'y a pas de point d'équilibre car A est non inversible ce qui implique que $\dot{x}=Ax \Rightarrow x=0$\\
\begin{rem}
Il n'y a pas de point d'équilibre d'après la définition $ \dot{x} = 0$ même si graphiquement on converge vers un point.
\end{rem}
\sbBloc[2]{C}{$C(p)$}{comp}
\sbRelier{comp}{C}
\item Dans le cas où $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$\\
Si $J = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$ le sous espace propre est de dimension 2.\\
On a un point d'équilibre.
\sbBloc[2]{NL}{Non-linéarité}{C}
\sbRelier[$x$]{C}{NL}
\sbBloc[2]{sys}{$H(p)$}{NL}
\sbRelier{NL}{sys}
Si la dimension du sous espace propre est de 1, $J = \begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$, donc :
\begin{align*}
\delta z_1 &= t e^{\lambda t} \delta z_{01} + e^{\lambda t} \delta z_{02}\\
\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
\end{align*}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph5.png}
\end{center}
\sbSortie[2]{S}{sys}
\sbRelier{sys}{S}
\end{enumerate}
\sbRenvoi{sys-S}{comp}{}
\end{tikzpicture}
\subsection{Cas $\mathbb{C}$}
On a maintenant $\lambda_{1,2} = \alpha \pm j\beta$. On considère la représentation d'état : $\delta \dot{z_1} = M^{-1} \delta x$ tel que :
\begin{align*}
\delta \dot{z_1} &= \alpha \delta z_1 - \beta \delta z_2\\
\delta \dot{z_2} &= \beta \delta z_1 + \alpha \delta z_2
\intertext{On utilise les coordonnées polaires :}
r = \sqrt{\delta z_1^2 + \delta z_2^2} &\text{ et, } \theta = arctan\left(\frac{\delta z_2}{\delta z_1}\right)
\intertext{on a donc :}
\dot{\theta} &= \beta\\
\dot{r} &= \alpha r
\end{align*}
Ainsi, on obtient :
\[\left \{ \begin{matrix}
\theta(t) = \theta_0 + \beta t\\
r(t) = e^{\alpha t} r_0
\end{matrix}\right.\]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
\end{center}
\[
\Updownarrow
\begin{cases}
\delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
\delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
\delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
\end{cases}
\]
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}
\sbBloc[3]{C}{$C(p)$}{E}
\sbRelier[$e$]{E}{C}
\nopagebreak[1]
\section{Cycle limite}
\begin{defin}
Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
\begin{itemize}
\item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C}\quad \forall t\in[t_0,t_0+T[$
\item $\chi(t_0+T,x_0) =x_0$
\end{itemize}
\end{defin}
\sbComp[4]{comp}{C}
\sbRelier{C}{comp}
\sbBloc[2]{NL}{Non-linéarité}{comp}
\sbRelier[$x$]{comp}{NL}
On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\forall t > 0$, $x(t+T) = x(t)$.\\
(On exclut cependant le cas $x(t)$ = constante).
\begin{rem}
Un point d'équilibre peut être interpréter comme un cycle limite singleton $ \forall T\in\R$.
\end{rem}
\sbBloc[2]{sys}{$H(p)$}{NL}
\sbRelier{NL}{sys}
\begin{prop}
\begin{description}
\item[Cycle limite stable]~\\
Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite:
\[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
\item[Cycle limite instable]~\\
Toutes les trajectoires divergent du cycle limite.\\
Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel que} x(t) \notin \text{cycle limite} $.
\item[Cycle semi-stable]~\\
Une partie des trajectoires converge et d'autres divergent du cycle limite.
\end{description}
\end{prop}
\sbSortie[2]{S}{sys}
\sbRelier{sys}{S}
\sbDecaleNoeudy[4]{S}{R}
\sbBlocr[8]{Cr}{$C(p)$}{R}
\sbRelieryx{sys-S}{Cr}
\sbRelierxy{Cr}{comp}
\end{tikzpicture}
\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
\[
\Updownarrow\hspace{-0.8em}/
\begin{cases}
\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
\end{cases}
\]
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}
\sbComp[3]{comp}{E}
\sbRelier[$e$]{E}{comp}
Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
\begin{rem}
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
\end{rem}
\sbBloc[4]{NL}{Non-linéarité}{comp}
\sbRelier[$\hat{x}\neq x$]{comp}{NL}
%\img{0.3}{3/2.png}
\sbBloc[2]{sys}{$H(p)C(p)$}{NL}
\sbRelier{NL}{sys}
$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
\sbSortie[2]{S}{sys}
\sbRelier{sys}{S}
\end{example}
\sbRenvoi{sys-S}{comp}{}
\begin{thm}[Index de Poincaré]
Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encercle sont tel que
\[
\boxed{N =S +1}
\]
\end{thm}
ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
\begin{corol}
Si $N\neq S+1$ alors il n'existe pas de cycle limite.
\end{corol}
\end{tikzpicture}
\caption{Transformations de schéma-blocs}
\end{figure}
\begin{proof}~ \\
\begin{lemme}
Soit une courbe du plan de phase alors l'index de la courbe est la somme des index des points d'équilibre contenu dans cette courbe.
\end{lemme}
\end{example}
\end{itemize}
\end{rem}
À partir de cette proposition on peux démontrer le théorème de l'index de Poincaré, car le cycle limite $\mathcal{C}$ est solution de l'équation dynamique. l'index de $\mathcal{C}$ vaut +1. Ainsi le nombre de points d'équiliobre ayant l'index +1 doit être supérieur d'une unité à ceux dont l'index est -1
\end{proof}
\newpage
\section{Analyse de la stabilité.}
Système NL bouclé à retour unitaire
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}
\sbComp[4]{comp}{E}
\sbRelier[$e$]{E}{comp}
\sbBloc[4]{NL}{$N(X)$}{comp}
\sbRelier[$x$]{comp}{NL}
\sbBloc[4]{sys}{$T_{BO}(p)$}{NL}
\sbRelier{NL}{sys}
\sbSortie[4]{S}{sys}
\sbRelier{sys}{S}
\sbRenvoi{sys-S}{comp}{}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
Dans l'analyse harmonique, la NL est modélisée par $N(X)$. Ainsi, il faut trouver l'expression de $N(X)$ en fonction de la NL :
\begin{exemple}[saturation]
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines =middle,
width=8cm, height=6cm,
xlabel=$X$,ylabel=$Y$,
xtick={-2,2},xticklabels={$-X_m$,$X_m$},
ytick={-1.5,1.5},yticklabels={$-Y_m$,$Y_m$},
ymin=-3,ymax=3, xmin=-5,xmax=5,
]
\addplot[no marks,black] plot coordinates
{(-4,-1.5) (-2,-1.5) (2,1.5) (4,1.5)};
\addplot[no marks,dashed,black] plot coordinates
{(-2,0) (-2,-1.5) (0,-1.5)};
\addplot[no marks,dashed,black] plot coordinates
{(2,0) (2,1.5) (0,1.5)};
\end{axis}
\begin{axis}[at ={(8cm,0cm)},
width=10cm,height=6cm,
axis lines =middle,
xlabel=$t$,ylabel=$X$,
xtick={1,2,3.1415},xticklabels={$t_1$,$\frac{\pi}{\omega}-t_1$,$\frac{\pi}{\omega}$},
ytick={-2.1,2.1},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
ymin=-3,ymax=3, xmin=0,xmax=7,
domain=0:7,
]
\addplot[no marks,black,smooth,dashed] {2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks,domain=0:1]{2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks,domain=2.1415:4.1415]{2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks,domain=5.283:7]{2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks] coordinates {(1,2.1) (2.1415,2.1)};
\addplot[thick, no marks] coordinates {(4.1415,-2.1) (5.283,-2.1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
Calcul de $N(X)$ :
Pour $0 \leq t \leq t_1$ : $y(t) = X\sin \omega t$
$t_1 \leq t \leq \frac{\pi}{\omega}-t_1$ : $y(t) = X_m = X\sin \omega t_1$
\section{Théorème de Bendixon}
\begin{align*}
P & = \frac{4\omega}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2\omega}} y(t) \sin \omega t dt \\
& = \frac{4\omega}{\pi} [ \int_0^{t_1} X \sin^2 \omega t dt + \int_{t_1}^{\frac{\pi}{2\omega}} X \sin \omega t_1 \sin \omega t dt ] \\
& = \frac{2X}{\pi}[ \omega t_1 + \frac{\sin 2\omega t_1}{2} ] \\
\intertext{ $t_1=\arcsin(\frac{X_m}{X})$ et $Q=0$}
\intertext{Ainsi}
N(x) & =
\begin{cases}
1 & \si X << X_m\\
\frac{2}{\pi}[\arcsin\frac{X_m}{X}+\frac{X_m}{X}\sqrt{1-\frac{X_m^2}{X^2}}] & \si X > X_m
\end{cases}
\end{align*}
\begin{prop}
Le dénominateur de la BF, $1+N(X)T_{BO}(p)$, donne la limite de stabilité : \[T_{BO}(j\omega) = - \frac{1}{N(X)}\]
\begin{thm}
Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un ensemble simplement connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint, sans trous) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
Si:
\begin{itemize}
\item $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$
\item $\divv f$ ne change pas de signe dans $D$
\end{itemize}
Alors $\dot{x}=f(x)$ n'a pas de cycle limite inclus dans $D$.
\end{thm}
Le lieu critique remplace le point critique $-1$.
\end{prop}
On a donc pour notre exemple de saturation
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,
xmin=-4,xmax=3,ymin=-2,ymax=3,ticks=none,
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
\addplot[smooth,thick,|-latex] coordinates {(-2.5,0) (-4,0)};
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
\node[below] at (axis cs: -3,0) {$-\frac{1}{N(X)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{INSTABLE}
\end{figure}
\begin{proof}
Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle limite.
\end{exemple}
$\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$ où $n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
Ainsi dans le cas NL, on remplace le point critique $-1$ par le lieu critique $\frac{-1}{N(X)}$. Par conséquent, l'analyse de stabilité est réalisée par rapport à $\frac{-1}{N(X)}$.
On a alors deux cas
\begin{enumerate}
\item
Dans le cas où le tracé de Nyquist ne présente \emph{pas d'intersection avec le lieu critique}
Suivant le théorème de Green,
\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS \text{ donc } \iint_S \divv f(x)dS = 0
\]
on applique le critère de Nyquist ($ N_{\frac{1}{N(Y)}^{+}} = P^T_{T_{BO}}$) pour la stabilité ou celui du revers sur la FT, qui est alors stable, strictement propre et à déphasage minimal.
Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
\item Si on a une ou plusieurs intersections, on a un régime auto-oscillant (cycle limite). $x(t) = X_0 e^{j\omega_0 t}$
\end{enumerate}
\section{Étude de la stabilité du cycle limite}
Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
\end{proof}
Soit $(X_0,\omega_0)$ solution de $T_{B0}(j\omega_0)=-\frac{1}{N(X_0)}$ sur son cycle limite :
\begin{example}
Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$ où $\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\
Représentation d'état :
\[
x(t)= X_0e^{j\omega_0t}
\]
\begin{cases}
\dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\
\dot{x}_2(t) & = - \alpha x_2(t) - g(x_1(t)) = f_2(x)
\end{cases}
\text{ avec } x_1(t) = x(t) \text{ et }x_2(t) = \dot{x}(t) \]
\subsection{Critère analytique}
Calculons $\divv f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
On pose \[T_{B0}(j\omega)+\frac{1}{N(X_0)}=R(\omega,X)+jI(\omega,X) = 0\]
$\divv f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
\end{example}
\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Un ensemble $\mathcal{M}\subset \mathcal{D}$ est dit \emph{positivement
invariant} du système $\Sigma$ si
\[\chi_t(\mathcal{M}) \subseteq \mathcal{M} , \forall t \ge 0\]
\item Si la propriété est vraie $\forall t\le 0 $ l'ensembles est \emph{négativement invariant}.
\item Si la propriété est vraie $\forall t\in \R$ . l'ensembles est \emph{invariant}
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{rem}
Un ensemble invariant est un fermé de $\R^n$.
\end{rem}
Ainsi, on a \[R(\omega_0,X_0)=0 \text{ et }I(\omega_0,X_0)=0\]
Pour analyser la stabilité on applique À $t_0$ une perturbation :
\[X_1 = X_0 + \delta X \text{ et }\omega_1 = \omega_0+\delta \omega \quad \text{ avec } |\frac{\delta X}{X_0}|<<1 \text{ et }|\frac{\delta \omega}{\omega_0}|<<1 \]
\begin{rem}
Un cycle limite stable ou semi-stable est un cas particulier d'un ensemble invariant. Cet ensemble est un \emph{attracteur} et ne peut avoir qu'un comportement périodique.
\end{rem}
$x(t)$ n'est plus périodique (plus d'intersection avec le lieu critique) et présente ainsi un amortissement $m>0$ (stable) ou $<0$ (instable).
\begin{defin}
Un \emph{attracteur} est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
\[
\forall x\in \mathcal{N}, \text{ et } \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 , \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
\]
\end{defin}
\begin{rem}
Physiquement\footnote{\emph{sic.}} un attracteur est un fermé borné (compact)
\end{rem}
\[ x(t) = (X_0 + \delta X) e^{-mt} e^{j(\omega_0 + \delta \omega) t} =(X_0 + \delta X) e^{j(\omega_0 + \delta \omega + jm) t} \]
\begin{thm}
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$ où $S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. \footnotemark $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \\
Ainsi la perturbation nous donne un régime auto-oscillant avec une amplitude $X_0+\delta X$ et une \emph{pulsation complexe} $\omega_0 + \delta \omega + jm$.
Si $\omega(x_0)$ est compact et ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\end{thm}
\footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}
\[ R(\omega_0+\delta \omega + jm, X_0 + \delta X) + jI(\omega_0 + \delta \omega + jm,X_0 + \delta X) = 0 \]
Interprétation :
\newcommand{\zero}{(\omega_0,X_0)}
On applique un DL du 1er ordre autour de $\zero$ :
\[ \left(\left.\derivp[R]{X}\right|_{\zero} + j \left.\derivp[I]{X}\right|_{\zero}\right) \delta X + \left(\left.\derivp[R]{\omega}\right|_{\zero} + j \left.\derivp[I]{\omega}\right|_{\zero}\right)(\delta \omega + jm)\approx 0 \]
i.e. en notant $\left.\derivp[]{X}\right|_{\zero}=\left.\derivp[]{X}\right|_0$
\begin{align*}
\derivp[R]{\omega}|_0 .\delta \omega + \derivp[R]{X}|_0 .\delta X - \derivp[I]{\omega}|_0 .m & = 0 \\
\text{ et }\quad \derivp[I]{\omega}|_0 .\delta \omega + \derivp[I]{X}|_0 .\delta X + \derivp[R]{\omega}|_0 .m & = 0
\end{align*}
Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
Élimination de $\delta \omega$ :
\[\underbracket{ \left( \left(\left.\derivp[R]{\omega}\right|_0\right)^2 + \left(\left.\derivp[I]{\omega}\right|_0\right)^2 \right)}_{\ge 0} m
= \left( \left.\derivp[R]{X}\right|_0.\left.\derivp[I]{\omega}\right|_0 - \left.\derivp[R]{\omega}\right|_0.\left.\derivp[I]{X}\right|_0 \right) \delta X \]
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $\omega_0$ définit un ensemble positivement invariant.
\item Dans $\R^2$ le seul attracteur possible est un cycle limite.
\item Si la trajectoire converge vers un ensemble alors on a les cas possibles:
\begin{itemize}
\item C'est un ensemble de points d'équilibres.
\item C'est un cycle limite.
\item La trajectoire est un cycle limite.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{prop}
\newpage
\noindent Différents types de perturbation
Exemple 1 :
\begin{align*}
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
-1 & 10 \\-100 & -1
\end{bmatrix} x = A_1x\\
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
-1 & 100 \\ -10 & -1
\end{bmatrix}x = A_2x
\quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
\end{align*}
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,
ticks=none, domain=0:10,
xmin=0,xmax=10,ymin=-2,ymax=2]
\addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))};
\addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(exp(x/10))};
Les deux systèmes sont stables
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-61.png}
\end{figure}
$m > 0$ et $\delta X > 0$ : CL est stable
Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\
$m < 0$ et $\delta X > 0$ : CL est instable
Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-62.png}
\end{figure}
$\delta X < 0$ et $m < 0$ : CL est stable
Exemple 2 :
\begin{align*}
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
1 &- 10\\100 & 1 x
\end{bmatrix}
= A_1x \\
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
1 & -100\\10 & 1
\end{bmatrix}
x = A_2x \quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
\end{align*}
$\delta X < 0$ et $m > 0$ : CL est instable
Les deux systèmes sont instables.
\begin{prop}[Condition de stabilité du cycle limite dans le plan de Nyquist]
le cycle limite est stable si et seulement si $\delta X . m >0$\\
En choisissant bien la permutation, on rend le système global stable.
Pour que $\delta X . m >0$ :
\[\boxed{ \left.\derivp[R]{X}\right|_0.\left.\derivp[I]{\omega}\right|_0 - \left.\derivp[R]{\omega}\right|_0.\left.\derivp[I]{X}\right|_0 > 0 }\]
\end{prop}
\paragraph{Conclusion} l'analyse de la stabilité par linéarisation ne donne pas une CNS de stabilité des systèmes non linéaires (point d'équilibre), d'où l'importance de définir un autre moyen d'analyse. \\
On pose $T_{B0}(j\omega) = U(\omega) + jV(\omega)$ et $-\frac{1}{N(X)} = L(X) + jM(X)$
\begin{rem}
Il existe d'autres méthodes pour tracer les trajectoires dans le plan de phase.
\end{rem}
On a un cycle limite si
\[ T_{B0}(j\omega_0) = -\frac{1}{N(x)} \quad \Rightarrow \quad
\begin{exemple}[Élimination du temps]
\noindent Méthode explicite :
\[
\begin{cases}
R(\omega,X) & = U(\omega) - L(X)\\I(\omega,X) & = V(\omega) - M(X)
x_1(t) & = x_0 \cos t + \dot{x}_0 \sin t\\x_2(t) & = -x_0 \sin t + x_0 \cos t
\end{cases}
\]
d'où d'après la condition de stabilité du cycle limite :
\[\boxed{-\derivp[L]{X}|_0.\derivp[V]{\omega}|_0 + \derivp[U]{\omega}|_0.\derivp[M]{X}|_0 > 0}\]
\[x_1^2(t) + x_2^2(t) = x_0^2 + \dot{x}_0^2 \]
On a éliminé le temps mais c'est assez \emph{spicifique} à la représentation d'état.
\subsection{Critère graphique}
On repart de l'équation caractéristique du cycle limite:
\[
T_{BO}(j\omega) + \frac{1}{N(X)} = 0
\]
On note alors :
\[
\begin{cases}
T_{BO}(j\omega) = U(\omega)+j V(\omega) \\
-\frac{1}{N(X)} = P(X)+j Q(X) \\
\end{cases}
\implies
\noindent Méthode implicite :
\[ \dot{x} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{bmatrix}
x \text{ donc }
\begin{cases}
\Re(X,\omega) = U(\omega)-P(X)\\
\Im{X,\omega} = V(\omega)-Q(X)
\end{cases}
\]
La condition de stabilité du cycle limite devient :
\[
\left.\derivp[Q]{X}\right|_0 \left.\derivp[U]{\omega}\right|_0 - \left.\derivp[V]{\omega}\right|_0 \left.\derivp[P]{X}\right|_0 >0
\dd{x_1}{t} & = x_2\\ \dd{x_2}{t} & = -x_1
\end{cases}
\]
Si on se place dans $\R^3$, on a 2 vecteurs : $\vect{U\\V\\0}$ et $\vect{P\\Q\\0}$ qui décrivent respectivement $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$.
Les tangentes aux courbes $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$ sont colinéaires aux vecteurs:
\[\vec{v_T} = \derivp[]{\omega}\vect{U\\V\\0} \text{ et } \vec{u_N}=\derivp[]{X}\vect{P\\Q\\0} \text{ alors }
\vec{v_T}\wedge\vec{u_N} = \vect{0\\0\\-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[Q]{X}}\]
Ainsi, la condition $-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[Q]{X}>0 \Rightarrow (\vec{v_T},\vec{u_N})$ dans le sens direct.
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,name=plot1,
at={(0,0)},
xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(0,-4) (-1,-2) (-3,-1)};
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
\node[above] at (axis cs: -1,-2) {$-\frac{1}{N(X)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{STABLE}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,
xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-3,-2) (-2,-1) (-0.5,-0.5)};
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
\node[below] at (axis cs: -1,-1) {$-\frac{1}{N(X)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{INSTABLE}
\end{subfigure}
\caption{Critère géométrique de stabilité}
\end{figure}
\begin{thm}[Critère de Loeb]
Le cycle limite est stable si l'intersection de $T_{BO}(j\omega)$ et de $-\frac{1}{N(X)}$ est telle qu'en parcourant le lieu de Nyquist $T_{BO}(j\omega)$ dans le sens des $\omega$ croissants, on laisse à gauche la direction des $X$ croissant sur le lieu critique.
\end{thm}
\[dt = \frac{dx_1}{x_2} = -\frac{dx_2}{x_1}\]
\[x_1dx_1 = -x_2dx_2 \text{ donc } x_1^2 + x_2^2 = x_{20}^2 + x_{10}^2\]
\end{exemple}