chap1.tex 17.8 KB
Newer Older
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218
\documentclass[main.tex]{subfiles}
\newcommand{\snzi}{\sum_{n=0}^{+\infty}}
\newcommand{\snii}{\sum_{n=0}^{+\infty}}

\begin{document}
\subsection{Principes}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
  \begin{tikzpicture}
    \sbEntree{A}
    \sbBlocL{E}{Échantilloneur}{A}
    \sbSortie{S}{E}
    \sbRelier{E}{S}
    \node[left=-1em] at (A) {
      \begin{tabular}{c}
        Signal\\ analogique \\
        à temps\\ continu
      \end{tabular}};
    \node[right=-1em] at (S) {
      \begin{tabular}{c}
        Signal\\ analogique \\
        à temps\\ continu
      \end{tabular}};
  \end{tikzpicture}
\end{subfigure}~~%
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle, width=8cm,
      xmin=0,xmax = 10,ymin=-2,ymax=3,
      ytick =\empty, ylabel={{\color{blue}$x_c(t)$}, {\color{red}$x_E(t)$}},
      xtick = {3,6,9},xticklabels={$T_e$,$2T_e$,$3T_e$},
      x tick label style={yshift={mod(\ticknum,2)*2em}}]
      \addplot+[smooth,no marks] plot coordinates{(0,2) (2,1.5) (3,2) (4,1) (5,-1.5)(6,-1.5)(7,0)(9,1)};
      \draw[dashed,red] (axis cs:3,0)-- (axis cs:3,2)node{$\bullet$}
      (axis cs:6,0)-- (axis cs:6,-1.5)node{$\bullet$}
      (axis cs:9,0) -- (axis cs:9,1)node{$\bullet$};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
\end{subfigure}

\end{figure}

On prélève la valeur de $x_c(t)$ à un instant de l'ensemble discret $nT_e, n\in\N$.

\[x_E(t) = \snzi x_c(nT_e) \delta(t-nT_e) \]

\begin{rem}
$\snzi$ traduit la causalité, la distribution $\delta$ traduit la durée infiniment courte de l'échantillonnage (échantillonnage idéal)
\end{rem}

Dans le domaine fréquentiel, on a donc
\begin{align*}
X_E(f) & = (X_c * TF [ \snzi \delta(t-nT_e) ])(f) \\
& = (X_c * TF [ \snii \delta(t-nT_e) ])(f) \quad \text{ avec } x_c(t) = 0 , t <0 \\
\text{Or, } TF [ \snzi \delta(t-nT_e) ] & = \snzi e^{-j2\pi f T_e} \\
&  = \frac{1}{T_e} \snzi \delta(f-\frac{n}{T_e})  \text{ d'après la formule de Poisson} \\
\text{ donc } X_E(f) & = F_e \snii X_c(f-nF_e)
\end{align*}

On répète donc le spectre de $x_c$ à tous les multiples de la fréquence d'échantillonnage.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}%
      [axis lines = middle,
      height = 5cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|X(f)|$},
      xmin = -7 ,xmax = 7, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-5.5,5.5},
      xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
      ytick=\empty]
      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Spectre du signal continu}
\end{subfigure}%
  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}%
      [axis lines = middle,
      height = 5cm, width=10cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|X(f)|$},
      xmin = -20 ,xmax = 20, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-5.5,5.5},
      xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
      ytick=\empty]
      \addplot+[no marks, red] plot coordinates {
         (-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)
      };
      \addplot+[no marks,blue] plot coordinates {
        (-18.5,0) (-16,1) (-13.5,0) (-12.5,0) (-10,1) (-7.5,0)
       };
\addplot+[no marks,blue] plot coordinates {
        (7.5,0) (10,1) (12.5,0) (13.5,0) (16,1) (18.5,0)
      };
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Spectre du signal échantilloné}
\end{subfigure}\\
  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}%
      [axis lines = middle,
      height = 5cm, width=10cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|X_E(f)|$},
      xmin = -20 ,xmax = 20, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-5.5,5.5},
      xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
      ytick=\empty]
      \addplot+[no marks, red] plot coordinates {
         (-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)
      };
      \addplot[no marks, dashed ,blue] plot coordinates {
        (-15.5,0) (-13,1) (-10.5,0) (-9.5,0) (-7,1) (-4.5,0)};
      \addplot[no marks, dashed ,blue] plot coordinates {
        (4.5,0) (7,1) (9.5,0) (10.5,0) (13,1) (15.5,0)
      };
      \addplot[no marks, dashed ,blue] plot coordinates {
        (14.5,0) (17,1)};
      \addplot[no marks, dashed ,blue] plot coordinates {
        (-14.5,0) (-17,1)};

      \addplot[no marks,green] plot coordinates {
        (-17,1) (-15.5,0.5) (-14.5,0.5)
        (-13,1) (-10.5,0) (-9.5,0) (-7,1)
        (-5.5,0.5) (-4.5,0.5) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1)
        (4.5,0.5)(5.5,0.5) (7,1) (9.5,0) (10.5,0) (13,1)
        (14.5,0.5) (15.5,0.5) (17,1)};

  \coordinate (R) at (axis cs: -5,0.25);
    \end{axis}
    \draw[latex-] (R)  to[bend left] ++(-2,2) node[above]{\textit{Repliement}};

  \end{tikzpicture}
  \caption{Repliement de spectre}
\end{subfigure}
\end{figure}

\begin{thm}[Théorème de Shannon]
La fréquence d'échantillonnage doit être au moins 2 fois supérieure à la fréquence maximale du spectre du signal échantillonné.
\[ F_e > 2 F_M \]
\end{thm}

Comme le signal $x_c(t)$ est a priori aléatoire, on ne peut pas forcément garantir de connaître la valeur de sa fréquence maximale $F_M$. On ajoute donc un filtre anti-repliement (\emph{anti-aliasing}) avant l'échantillonnage pour garantir le critère de Shannon.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) node[left]{$x_c(t)$} to[lowpass] ++ (2,0)  to[spst,l=$T_e$] ++(2,0) node[inputarrow]{} node[right]{$x_E(t)$};
  \end{circuitikz}
  \caption{Utilisation d'un filtre antirepliement }
\end{figure}

\begin{rem}
Le filtre anti-repliement est un filtre passe-bas de fréquence de coupure (bande passante) $\frac{F_e}{2}$
\end{rem}

Pour retrouver le signal analogique à temps continu, si le théorème de Shannon est respecté, il suffit de faire un filtrage passe-bas sur une bande de fréquence $F_M$ de $x_E(t)$ :

\begin{figure}[H]
  \centering
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}%
      [axis lines = middle,
      height = 5cm, width=10cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|X(f)|$},
      xmin = -20 ,xmax = 20, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-5.5,5.5},
      xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
      ytick=\empty]
      \addplot+[no marks, red] plot coordinates {
         (-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)
      };
      \addplot+[no marks,blue] plot coordinates {
        (-18.5,0) (-16,1) (-13.5,0) (-12.5,0) (-10,1) (-7.5,0)
       };
\addplot+[no marks,blue] plot coordinates {
        (7.5,0) (10,1) (12.5,0) (13.5,0) (16,1) (18.5,0)
      };
      \addplot[no marks, dashed, black] plot coordinates {
        (-6.5,0) (-6.5,1.1) (6.5,1.1) (6.5,0)
      };
      \coordinate (A) at (axis cs:-6,1);
    \end{axis}
    \draw[latex-] (A) to[bend left] ++(-1,1) node[above=-0.7em]{
      \begin{tabular}{c}
Filtre\\ passe-bande
      \end{tabular}
};
  \end{tikzpicture}
  \caption{Reconstitution du signal continu}
\end{figure}

Formellement, on peut considérer la transformée de Laplace :
\[ TL[x_E(t)] = X_E(p) = X_c(p) * TL[\snii \delta(t-nT_e)] \]

Or, \[TL[\snii \delta(t-nT_e)] = \snii  e^{-npT_e} = \snii z^{-n} \]

donc finalement
\[X_c(z) = \snii x_c(nT_e)z^{-n}\]


\subsection{Échantillonneur bloqueur}

Dans la réalité, la valeur échantillonnée est conservée sur un temps de blocage $\tau \leq T_e$. En pratique, $\tau = T_e$.\\

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238

\begin{figure}[H]
  \centering
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle, width=8cm,
      xmin=0,xmax = 10,ymin=-2,ymax=3,
      ytick =\empty, ylabel={{\color{blue}$x_c(t)$}, {\color{red}$x_E(t)$}},
      xtick = {3,6,9},xticklabels={$T_e$,$2T_e$,$3T_e$},
      x tick label style={xshift={-mod(\ticknum,2)*1em}}]
      \addplot+[smooth,no marks] plot coordinates{(0,2) (2,1.5) (3,1) (4,1) (5,-1.5)(6,-1.5)(7,0)(9,1)};

      \addplot+[no marks, red] plot coordinates
      {(0,2) (3,2) (3,1) (6,1)  (6,-1.5) (9,-1.5)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Echantillonneur bloqueur}
\end{figure}


Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324
On écrit donc \[ x_E(t) = \snzi x_c(nT_e)P_{\tau}(t-nT_e), \quad P_{\tau} \text{ fonction porte } P_{\tau} (t) =
  \begin{cases}
    1 & \text{ si } 0 \leq t \leq \tau\\
    0 & \text{ sinon}
\end{cases}
\]

On peut également écrire
\[x_E(t) = (\snii x_c(nT_e)\delta(t-nt_e)) * P_{\tau}(t) \]

d'où
\[X_E(f) = (F_E \snii X_c(f-nF_e)) TF [P_{\tau}(t)]\]

Comme $TF [P_{\tau}(t)] = \tau e^{-j2\pi f \tau} \sinc(\pi f \tau)$,

\[X_E(f) = \tau F_E \snii X_c(f-nF_e) e^{-j2\pi f \tau} \sinc(\pi f \tau) \]

%\img{0.5}{1/10.png}

Autour de $f=0$, le spectre est peu modifié. Autour des autres multiples de $F_e$, le spectre sera atténué par le sinus cardinal.

\begin{rem}
Si $\tau = T_e$, on a une atténuation par le sinus cardinal en $f=\frac{F_e}{2}$ (limite de Shannon) de 3.9dB (non négligeable)
\end{rem}

\subsection{Techniques de mise en oeuvre}

\subsubsection{L'échantillonneur}

Il faut un interrupteur électronique commandable. Typiquement, cette fonction est réalisée par un transistor à effet de champ de type MOSFET (\emph{Metal Oxyde Semi-conductor Field Effect Transistor})


MOSFET à canal N (charges négatives qui constituent le canal) de type \emph{Normally Off} (le canal n'existe pas si on n'applique pas le bon type de tension) de symbole suivant :

\begin{center}
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) node[nmos,rotate=-90](N){}
    (N.G)node[anchor=south]{G :  grille}
    (N.S)node[anchor=north east]{S :source}
    (N.D)node[anchor=north west]{D : drain};
  \end{circuitikz}
\end{center}

\paragraph{Principe de fonctionnement :}

former (ou faire disparaître) un canal de transmission en électrons entre les électrodes de drain et de source grâce au champ électrique induit dans l'oxyde par la tension grille-souce $V_{GS}$.

La conductivité (donc résistivité) du canal est contrôlée par $V_{GS}$. L'accélération des électrons est contrôlée par $V_{DS}$ : $V_{DS}$ contrôle le courant de drain $I_D$ par déplacement d'électrons de la source au drain, d'où $I_D(V_{DS},V_{GS})$.\\

\paragraph{Caractéristiques électriques}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xmin=-0.1,xmax =10,ymin=-0.1,ymax=10,
      domain=0:9,ticks=none,samples=51,
      xlabel=$V_{DS}$,ylabel=$I_{DS}$]
      \addplot[no marks,red,]{1*(1-exp(-x/0.5))};
      \addplot[no marks,red,]{5*(1-exp(-x/0.5))};
      \addplot[no marks,red,]{7*(1-exp(-x/0.5))};
      \node  at (axis cs:10,1) {$V_{GS1}$};
      \node  at (axis cs:10,5) {$V_{GS5}$};
      \node  at (axis cs:10,7) {$V_{GS3}$};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Caractéristique d'un transistor NMOS}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item Si $V_{GS}=0$ transistor bloqué tant que $0<V_{GS}<V_T$, $V_T$ tension de seuil (pour l'apparition d'un canal en électrons entre source et drain, $V_T$  pour \emph{threshold}). On est à l'état État off.
  On est alors en régime ohmique (si $V_{GS}$ augmente, la densité des électrons augmente donc la résistance du canal diminue).\\
\item si $V_{DS}\gg V_{GS}-V_T$ est assez grand on se place dans la \emph{zone de saturation}  et on a une source de courant idéale.
\[
  I_{D} = \frac{\beta}{2}\left( V_{GS}-V_T\right)^2
\]

\item si $V_{DS}< V_{GS}-V_{T}$ on est dans la \emph{zone ohmique}.
\[
  I_{D} = \beta \left( V_{GS}-V_T-\frac{1}{2}V_{DS}\right)V_{DS}
  \overset{V_{DS}\ll V_{GS}-V_{T} }{\simeq}
   \beta (V_{GS}-V_T)V_{DS}
\]

\end{itemize}

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
325
%\includegraphics[width=0.5\textwidth]{1/12.png}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
326 327 328

\paragraph{Structure physique}

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
329 330 331 332 333 334 335
\begin{figure}[H]
  \centering

  \caption{Structure interne d'un transistor mos}
\end{figure}


Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449
Les 2 zones de Si dopées N sont des réservoirs à électrons, séparées par la longueur de la grille $L_G$, par une zone de Si dopée P où les porteurs de courant sont des trous (charges positives).

À l'interface P/N il y a une barrière d'énergie potentielle qui empêche les électrons de passer dans la zone P et les trous dans la zone N.

Si on applique $V_{GS}>0$, on crée un champ électrique dans l'oxyde dans le sens de la grille vers S, qui repousse les trous vers le fond de la plaquette et attire les électrons des réservoirs de source et de drain.

Si $V_{GS}>V_T$ tous les trous ont disparu de la zone sous l'oxyde et on y a créé un canal riche en électrons de S à D.


Mais $R_{on} = \frac{K}{V_{GS}-V_T}$ pour $V_{GS} \geq V_T$ la résistance du canal pour $V_{DS} \approx 0$.

On vise l'état On : $V_G = V_{DD}$ mais $V_{GS}=V_{DD}-x_c$.

MOSFET passant équivaut à $V_{GS} \geq V_T$ soit $x_c \leq V_{DD}-V_T$.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xmin=-0.1,xmax =10,ymin=-0.1,ymax=10,
      domain=0:2.99,samples=51, height=5cm,
      xlabel=$x_c$,ylabel=$R_{OM}$,
      ytick=\empty,
      xtick = {3}, xticklabels={$V_{DD}-V_{T}$}]
      \addplot[no marks,red,]{-2/(x-3)};
      \addplot[no marks, dashed, black] plot coordinates{(3,0) (3,9.9)};

    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Caractéristique d'un transistor NMOS}
\end{figure}

\textbf{Comment améliorer la gamme de variation possible de $x_c$ ?} \\

Le MOSFET à canal P a une zone sous sa grille dopé N et 2 réservoirs dopés P. On le choisit conducteur pour $V_{GS} < -V_T < 0$. On a alors un interrupteur CMOS (C pour complementary)
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,1) node[nmos,rotate=-90](N){} (0,-1) node[pmos,rotate=90](P){}
    (N.S) -- (P.S) node[midway](A){} (P.D)--(N.D)node[midway](B){}
    (A) to[short,-o] ++(-1,0)node[left]{$x_c$} (B) to[short,-o] ++(1,0) node[right]{$x_e(t)$}
    ;\end{circuitikz}
  \caption{Interrupteur CMOS}
\end{figure}
À l'état passant de l'interrupteur CMOS :
\begin{itemize}
\item $R_{ON_N} = \frac{K}{V_{GS_N}-V_T} = \frac{K}{V_{DD}-x_C-V_T}$ pour $x_c \leq V_{DD}-V_T$
\item $R_{ON_P} = \frac{K}{V_{GS_P}+V_T} = \frac{K}{-x_c+V_T}$ pour $x_c > V_T$
\end{itemize}

Avec $R_{ON_N} // R_{ON_P}$ la résistance globale est quasiment constante quand l'interrupteur CMOS est passant.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xmin=-0.1,xmax =10,ymin=-0.1,ymax=10,
      samples=51, height=5cm, domain = 1.01:6.99,
      xlabel=$x_c$,ylabel=$R_{OM}$,
      ytick=\empty,
      xtick = {9}, xticklabels={$V_{DD}-V_{T}$}]
      \addplot[no marks,black,dashed]{-1/(x-7)+1};
      \addplot[no marks,blue,dashed]{1/(x-1)+1};
      \addplot[no marks,red,smooth] plot coordinates {(1,1) (4,1.3) (7,1)};

    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Résistance d'un interrupteur CMOS}
\end{figure}

\subsubsection{Le bloqueur}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) node[op amp](oa){}
    (oa.-) -- ++(0,1) -| (oa.out) to[short,-o] ++(1,0)node[right]{$x_e(t)$}
    (oa.+) -- ++(-1,0) coordinate(A) to[C] ++(0,-2) node[ground]{}
    (A) ++ (-2,0)node[left]{$x_c(t)$} to[spst,o-] (A)
  ;\end{circuitikz}
  \caption{Schéma électrique d'un échantilloneur bloqueur}
\end{figure}

L’échantillonneur est un interrupteur électronique contrôlé par une horloge de période $T_e = \frac{1}{F_e}$\\
La capacité est utilisée pour le "blocage".\\
Le suiveur est optionnel et permet d'avoir une tension $x_e(t)$ non perturbée par ce qui suit.\\

Que peut-on utiliser comme interrupteur?\\

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,1) node[nmos,rotate=-90](N){} (0,-1) node[pmos,rotate=90](P){}
    (N.S) -- (P.S) node[midway](A){} (P.D)--(N.D)node[midway](B){}
    (A) to[short,-o] ++(-1,0)node[left]{$x_c$} (B) to[short,-o] ++(1,0) node[right]{$x_e(t)$}
    (N.G) node[above]{$horloge$}
    (P.G) node[below]{$\overline{horloge}$}
    ;\end{circuitikz}
  \caption{Interrupteur CMOS}
\end{figure}


Les MOSFET sont passants quand l'horloge est à l'état logique haut, c'est à dire que la tension $V_{DD}$ est positive par rapport à la masse.

À l'état passant, un MOSFET est équivalent à une résistance $R_{on}$.\\

$V_t$ est la tension seuil du MOSFET à canal N au niveau de $V_{GS}$ pour le mettre à l'état passant. On utilise donc deux MOSFET pour limiter la résistance $R_{on}$.\\

Les interrupteur CMOS sont intégrables sur silicium en même temps que la capacité MOS réalisant la fonction de blocage, de même que le suiveur.
\[x_E(t) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} x_c(nT_e)\delta(t-nT_e)\right)*P_{\tau}(t)\]

En effectuant la transformée de Fourier de ce signal on a:
\[X_E(f) = TF(x_E(t)) = (F_e \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_C(f-nF_e)).\tau exp(-j\pi f \tau)sinc(\pi f \tau)\]
On fait attention à ce que $F_e$ vérifie la condition de Shannon. $F_e$ doit être supérieure au double de la fréquence maximale du spectre de $x_C(t)$.\\
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}%
      [axis lines = middle,
      height = 5cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|X_c(f)|$},
      xmin = -7 ,xmax = 7, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
      xtick = {-5.5,5.5},
      xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
      ytick=\empty]
      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)};
    \end{axis}
    \end{tikzpicture}
  \end{subfigure}\\
  \begin{subfigure}{\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
    [axis lines = middle,
      height = 5cm,width=15cm,
      xlabel = {$f$},
      ylabel = {$|X_e(f)|$},samples=200,
      xmin = -20 ,xmax = 20, ymin = -0.1, ymax = 3.5,
      xtick = {-5.5,5.5},
      xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
      domain = -20:20,
      ytick=\empty]
      \addplot+[no marks] plot coordinates
      {(-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)};
      \addplot+[no marks,blue] plot coordinates
      {(-18.5,0) (-16,0.2) (-13.5,0) (-12.5,0)(-12,0.2) (-10.5,0)(-8,0.5) (-7.5,0)};
      \addplot+[no marks,blue] plot coordinates
      {(7.5,0) (8,0.5)(10.5,0)(12,0.2) (12.5,0) (13.5,0) (16,0.2) (18.5,0)
      };
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
488

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
489 490 491 492 493 494 495
      \addplot+[no marks, dotted,black]{abs(3*sin(deg(x)*0.3)/(x*0.3)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}

  \end{subfigure}
  \caption{Allure spectrale des signaux}
\end{figure}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
496 497

\end{document}