chap5.tex 27.3 KB
Newer Older
1 2
\documentclass[main.tex]{subfiles}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
3 4
\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
5 6
\begin{document}

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
\section{Stabilité de Lagrange}
Le premier a avoir intreoduit la notion de stabilité est Lagrange.
Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque les points d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$q$};
    \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$R$};
    \draw (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
    \draw[decorate, decoration={border,amplitude=-0.2cm,angle=90,segment length=0.2cm}] (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
    \node(I) at (1,3.26) {$\bullet$};
    \node(S) at (4,0.56) {$\bullet$};
    \draw[latex-] (I) to[bend left] ++ (1,0.5) node[right]{instable};
    \draw[latex-] (S) to[bend right] ++ (1,0.5) node[above]{stable};
  \end{tikzpicture}
  \caption{Stabilité au sens de Lagrange}
\end{figure}

Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour  toute condition initiales ,la trajectoire reste bornée.

\begin{itemize}
\item On controle la variation sur la trajectoire par celle sur la condition initiale.
\item des petites variation sur la condition initiale implique de petite variation sur la trajectoire.
\end{itemize}
31

32 33 34 35
\begin{rem}
  La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Mathématiquement, Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
\end{rem}
\newpage
36
\begin{defin}
37 38 39
  Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si

  \[\forall \delta > 0, \exists \varepsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || x_0-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq \varepsilon\]
40 41
\end{defin}

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$ implique un petit changement borné sur la trajectoire.

\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que }  ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]

Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.


\begin{rem}
  La stabilité suivant lagrange n'implique pas la convergence mais seulement la bornitude\footnote{sic.} (la trajectoire reste bornée), ce n'est pa suffisant pour faire de l'automatique, il faut pouvoir garantir la convergence. On utilise donc la stabilité au sens de Lyapounov
\end{rem}

\section{Stabilité au sens de Lyapunov}

55
\begin{defin}
56
  \[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
57 58
\end{defin}

59 60
Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.

61
\begin{rem}
62
  C'est $\varepsilon$ qui controle $\delta$.
63 64
\end{rem}
\begin{rem}
65
  La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
66 67
\end{rem}

68 69 70 71 72 73
\begin{exemple}[Oscillateur de Van der Pol]
  \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
    \end{cases}
  \]
74

75
  Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
76

77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98
  \begin{rem}
    Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
  \end{rem}

  % \img{0.3}{3/2.png}

  $\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange. Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
  \[ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon \]

\end{exemple}

\begin{exemple}[Pendule sans frottement]
  L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.

  Elle n'est pas stable suivant Lagrange \[x_0=(x_1= \pi, x_2=0) : \nexists \epsilon >0 \text{ tel que } \|\chi(t,\chi(0,s_0))\| < \epsilon
  \]
\end{exemple}

\subsection{Stabilité uniforme}
\begin{defin}
  Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
\end{defin}
99 100


101
\begin{defin}
102 103 104 105 106
  On définit les \emph{fonctions de caractérisations} suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.

    Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$), alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$
107

108 109 110 111 112 113
  \item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue, strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$

  \item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+ \rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$

    Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \Lc$.
  \end{enumerate}
114 115
\end{defin}

116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184
\begin{exemple}
  $\beta(\|x_0\|,|t|)=\|x_0\|e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$

  Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ \|\chi(t,x_0)\| \leq \beta(\|x_0\|,t),t \geq 0$ (enveloppe)
\end{exemple}

\begin{prop}
  L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq c \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha (\|\chi(t_0,x_0)\|)\]
\end{prop}

\begin{proof}
  Condition suffisante.

  Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ existe).

  Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.

  Si $\|\chi(t_0,x_0)\| \leq \delta \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\

  Condition nécessaire.

  $\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$

  Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.

  Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$
  \begin{align*}
    \|s_0\| \leq \delta & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon\\
    \|s_0\| \leq \delta' & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
  \end{align*}

  Si on définit $\alpha(\|.\|)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$$\|s_0\|=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(\|s_0\|)$

  Suivant Lyapunov, cela implique $\|s\| \leq \epsilon \leq \alpha (\|s_0\|)$
\end{proof}

\section{Attractivité (convergence)}
\begin{defin}
  $\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq r \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \sigma, \forall t \geq T$

  % \img{0.5}{4/1.png}

  Autrement dit : $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} \|\chi_t\| = 0$.

  On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
\end{defin}

\begin{prop}[Stabilité asymptotique]
  L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
  \begin{itemize}
  \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
  \item $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \beta (\|s_0\|,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
  \end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}[Stabilité exponentielle]
  L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
  \begin{itemize}
  \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
  \item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \alpha \|s_0\| e^{-\lambda t}$
  \end{itemize}
\end{prop}
\begin{prop}[Stabilité locale et globale]
  \begin{itemize}
  \item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
  \item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable.
  \end{itemize}
\end{prop}
\paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire.
185

186
\begin{defin}
187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234
  $V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si :
  \begin{enumerate}
  \item $V :
    \begin{cases}
      \R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
    \end{cases}
    $ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
  \item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{\|x\| \rightarrow \infty} \infty$
  \end{enumerate}
\end{defin}

\begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov]
  Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et $f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$ (fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que
  \[ \exists D \subset \R^n, 0 \in \D \text{} \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \]
  Alors l'origine est stable au sens de Lyapunov sur $\D$.

  Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
\end{thm}

\begin{proof}
  Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$.

  Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } \|x\| \leq r \}$

  Soit $\alpha = \min_{\|x\| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.

  $0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.

  Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
  \begin{align*}
    \Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
    \Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in \Omega_{\beta}) \\
    \Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
    \Rightarrow & \|x(t)\| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
  \end{align*}

  (Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)

  $\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset \Omega_{\beta}$
\end{proof}

\begin{thm}[Stabilité asymptotique au sens de Lyapounov]
  Soient le système $G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
  \[ \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{} Q(x) \text{ est définie positive } \]

  Alors l'origine est asymptotiquement stable.
\end{thm}

235 236

\begin{rem}
237
  $Q(x)$ dépend de toutes les variables d'état. Sinon la convergence asymptotique n'est vérifié que pour certaine direction.
238 239 240
\end{rem}


241
\begin{exemple}[Cas linéaire]
242

243
  $\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$
244

245
  Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) = 0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)
246

247
  On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov
248

249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317
  \begin{align*}
    \dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\
               & = x^T APx + x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x
  \end{align*}

  \emph{Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$}.

  $\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.

  On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive. On a donc $P$ définie positive.

  \[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = \left[e^{A^Tt}Qe^{At}\right]_0^{\infty}\]

  Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \xrightarrow[t\rightarrow \infty]{} 0$

  \[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]

  Pour le système linéaire
  \[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
  $\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité asymptotique

\end{exemple}

\begin{thm}[Stabilité exponentielle]
  Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
  \begin{enumerate}
  \item $\exists \alpha > 0, \beta > 0$ et $c\geq 1$ tel que
    \[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha \|x\|^c \leq V(x) \leq \beta \|x\|^c\]
  \item $\exists \gamma > 0$ tel que
    \[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma \|x\|^c \]
  \end{enumerate}
  Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on a aussi la stabilité globale.
\end{thm}

\begin{proof}
  $\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq V(x(0))e^{-\gamma t}$

  si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$
  \begin{align*}
    V(x(0)) & \leq \beta \|x(0)\|^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha \|x(t)\|^c \\
    V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\
    \beta\|x(0)\|^c e^{-\gamma t} & \geq  \qquad \Rightarrow \|x(t)\| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}\|x(0)\|e^{-\frac{\gamma}{c}t}
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{corol}
  Le syst linéaire est aussi exponentiellement stable:
  \[
    V = x^T P x \implies \alpha \|x\| \le V(x) \le \beta \|x\|^c
  \]
  Avec $\alpha$ plus petite valeur propre de $P$ et $\beta$ plus grande valeur propre de $P$.
\end{corol}
si on a la stabilité asymptotique
\[
  \dot{V}=x^T(A^TP+PA)x
  x^T R x \le -\gamma V
  x^T R x \le -\gamma \|x\|^2
\]
\begin{exemple}
  $\begin{cases}
    \dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
  \end{cases}$


  $(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?

  On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x \neq 0$.

  \[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4 \leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x) \geq 0 \]
318

319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395
  L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\

  Est-il exponentiellement stable ?

  \[ \alpha \|x(t)\|^c \leq V(x(t)) \leq \beta \|x(t)\|^c \]

  $\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$

  \[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4 + x_2^4) \]

  Pour $\D = \{ \|x\| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.

  Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
\end{exemple}

Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\

\begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité]
  Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.
  Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$), tel que
  \[\forall x \in \D^*, \quad  \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
  alors l'origine est instable.
\end{thm}
Le système accumule de l'énergie et deviens instable
\begin{proof}
  Instable $\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors $\|x_0\| \leq \delta$ et $\|x\| \geq \epsilon$\\

  $\forall \delta > 0$ soit $r \in ]0;\delta[$ tel que:\\
  $B_r(0) = \{ x\in \D$ tel que $ \|x\| \leq r \}$ est compact.\\
  On pose $\alpha = max_{B_r(0)} V(x)$ et $x_0 \in B_r(0)$\\
  $V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
  \begin{align*}
    \Rightarrow & V(x) > \alpha\\
    \Rightarrow & x \notin B_r(0) \\
    \Rightarrow & x \in B_r^c(0)\\
    \Rightarrow & \|x\|> r
  \end{align*}
  Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $\|x\| \geq \epsilon > r$
\end{proof}
\subsection{Théorème simplifiant l'analyse de la stabilité}


\begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
  Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V} \leq 0\]
  Soit $S = \{x \in \D$ tel que $\dot{V(x)} = 0\}$.

  Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement stable.
\end{thm}

\begin{exemple}
  Soit le système :
  \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1} &= -x_1^3 + 2 x_2^3\\\dot{x_2} &= -2x_1x_2^2
    \end{cases}
  \]
  L'origine est un point d'équilibre.\\
  \begin{align*}
    V(x) &= \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 >0\\
    \dot{V(x)} &= x_1\dot{x_1} + x_2\dot{x_2} = -x_1^4 \leq 0
  \end{align*}
  On ne peut pas conclure sur la stabilité asymptotique car $Q(x) = \frac{1}{2}x_1^4$ ne dépend pas de $x_2$. \\

  On utilise le théorème de Barbashin :
  \begin{align*}
    S = \{x \in \D \text{ tel que }\dot{V(x)} = 0\} \Rightarrow x_1 = 0\\
    \Rightarrow & \dot{x_2} = 0\\
    \Rightarrow & x_2 = 0\\
    \Rightarrow & S = \{0\}\\
    \Rightarrow & \text{Stabilité asymptotique}
  \end{align*}
\end{exemple}

\begin{thm}[Principe d'invariance de LaSalle]
  Soient $ \dot{x} = f(x)$ avec $f: \D \rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant tel que $\Omega \subset \D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable tel que $\dot{V} \leq 0 $ dans $\Omega$, $E= \{x \in \Omega$ tel que $ \dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant inclus dans E.

  Alors toute solution $x$ tel que $x_0 \in \Omega$ converge vers M quand $t \longrightarrow \infty$. Autrement dit $\overline{M}$ est l'attracteur.
396 397 398
\end{thm}


399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439
\begin{exemple}[Barbashin]
  Soit le système \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1} & =x_2\\ \dot{x_2} & = -h(x_1) - g(x_2)
    \end{cases}
  \]$h,g:[-a,a] \rightarrow \R$ avec $h(0)=g(0)=0$

  et $\forall x \neq 0, \quad x.h(x) >0 \text{ et }  x.g(x) >0$.\\

  L'origine est un point d'équilibre.\\

  Fonction de Lyapunov candidate :
  \[ V(x) = \int_0^{x_1} h(s)ds + \frac{1}{2}x_2^2 \]

  $x_1 = 0$ et $x_2=0 \Rightarrow V(x)=0$

  $x_1 \neq 0$ ou $x_2 \neq 0 \Rightarrow V(x) > 0$

  donc $V$ est définie positive.\\

  \begin{align*}
    \dot{V}(x) & = h(x_1) \dot{x_1}+ x_2 \dot{x_2}\\
               & = h(x_1)x_1 - x_2h(x_1) - g(x_1)x_2 \\
               & = -g(x_2)x_2 \leq -Q(x) \text{ définie positive, dépend de } x_1 \text{ et } x_2
  \end{align*}

  Barbashin :

  $E = \{ x \in  \R^2, \dot{V}(x) = 0 \}$

  $\dot{V}(x)=0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x_1}=0$

  $\dot{x_2} = 0 + x_2 = 0 \Rightarrow h(x_1)=0 \Rightarrow x_1 = 0$

  Alors $E=\{0\}$ stabilité asymptotique globale.
\end{exemple}

\begin{exemple}[Invariance de La Salle]
  Soit le système $\dot{x} = ax + u$, $a$ inconnu mais borné.

  $u=-kx$ et $\dot{k}= \gamma x^2, \gamma >0$
440

441 442 443 444 445
  On pose $x_1=x$ et $x_2=k$
  \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1} & = ax_1 - x_2x_1 \\\dot{x_2}&  = \gamma x_1^2
    \end{cases} \]
446

447 448 449
  La fonction de Lyapunov candidate
  \[ V(x) = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2\gamma} (x_2-b)^2, \quad \text{ avec } b>a \text{ car $a$ est borné} \]
  $V(0,b)=0$ et non pas l'origine
450

451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463
  $V(x) \geq 0, \forall x \in \R^d$
  \begin{align*}
    \dot{V}(x) & = x_1 \dot{x_1} + \frac{1}{\gamma}(x_2-b)\dot{x_2} \\
               & = ax_1^2 - x_1^2 x_2 + (x_2-b)x_1^2 \\
               & = x_1^2 (a-b) \leq 0
  \end{align*}

  $E = \{ x \in \R^2, \dot{V}=0 \} = \{ x_1 = 0 \}$ : attracteur

  Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc (attracteur) $x_1 \to 0$
\end{exemple}

\section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e. $\dot{x}=f(t,x)$}
464

465
\begin{defin}
466 467 468 469 470
  On considère \emph{un système non autonome}
  \[G : \dot{x}(t) = f(t,x)\], $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.

  L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
  \[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \| S(t_0,x_0) \| \leq \delta \Rightarrow \| S(t,S(t_0,x_0)) \| \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
471 472
\end{defin}

473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511
\begin{thm}[Théorème de Lyapunov]
  L'origine du système $G$ est stable au sens de Lyapunov s'il existe une $V:[0,+\infty[ \times \D \rightarrow \R_+$ continue et différentiable telle que :
  \begin{itemize}
  \item $V(t,0) = 0, \forall t\geq 0$
  \item $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
  \item $\dot{V}(t,x) = \derivp[V(t,x)]{t} + (\derivp[V(t,x)]{x})^Tf(t,x) \leq 0$, $\forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
  \end{itemize}

  S'il existe $Q(t,x)$ tel que
  \begin{itemize}
  \item $Q(t,0)=0, \forall t \geq 0$
  \item $Q(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
  \item $\dot{V}(t,x) \leq - Q(t,x), \forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
  \end{itemize}

  Alors l'origine est asymptotiquement stable.\\

  Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel que }$
  \begin{itemize}
  \item $\alpha \|x\|^c \leq V(t,x) \leq \beta \|x\|^c$
  \item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma \|x\|^c$
  \end{itemize}

  Alors l'origine est exponentiellement stable.

\end{thm}

\begin{rem}
  Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
\end{rem}


Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in \R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$,  $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et $\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$


\begin{exemple}[Système linéaire non stationnaire]
  $\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$

  Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$$P(t) > 9, \forall t \in \R_ +$
512

513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571
  $V(t,0) = 0, \forall t \in \R_+$ et $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \R^n \setminus \{0\}$

  \begin{align*}
    & \dot{V}(t,x) = x^T(t) \dot{P}(t) x(t) + x^T(t)A^T(t)P(t)x(t) + x^T(t)P(t)A(t)x(t) \leq 0 \\
    & \Leftrightarrow \dot{P}(t) + A^T(t)P(t) + P(t)A(t) \leq 0 \\
  \end{align*}
  Inégalité de Lyapunov dynamique

  Stabilité asymptotique :
  \[ P(t)+A^T(t)P(t) + P(t)A(t) = - Q(t) \]
  Équation de Lyapunov dynamique

  \[ \lambda_{min}(P(t)) \|x\|^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t)) \|x\|^{1=c} \]

  $\forall t \in \R_+, \exists \gamma > 0$
  \[ \dot{V}(t,x) \leq -\lambda_{min}(Q(t))\|x\| \] stabilité exponentielle
\end{exemple}

\begin{rem}
  Dans le cas non autonome, la fonction de Lyapunov candidate peut ne pas dépendre du temps, mais elle doit dépendre de toutes les variables d'état.
\end{rem}

\begin{exemple}
  Soit le système non-linéaire
  \begin{align*}
    \dot{x_1}(t) & = -x_1^3(t) + \sin \omega t x_2(t) \\
    \dot{x_2}(t) & = - \sin \omega t x_1(t)  - x_2^3(t)
  \end{align*}
  avec $x_1(0) = x_{10}, x_2(0) = x_{20}$ et $t\geq 0$

  L'origine est bien un point d'équilibre. Est-il asymptotiquement stable ?

  \begin{align*}
    V(x) & = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\
    \dot{V}(x) & = x_1 (-x_1^3 + \sin \omega t x_2) + x_2(-\sin \omega t x_1 - x_2^3) \\
         & = -x_1^4 - x_2 ^4 \leq 0 \text{ : stable } \\
         & \leq - \frac{1}{2}(x_1^4 + x_2^4) = -Q(x) \text{ : globalement aymptotiquement stable }
  \end{align*}
\end{exemple}

\section{Stabilité entrées-états (SEE)/ Input-States Stability (ISS)}

Soit le système $ G: \dot{x}=f(x,u)$$f:\R^n \times \R^m \rightarrow \R^n$ ($m$ désigne le nombre d'entrées)

Soit l'origine un point d'équilibre :

\begin{enumerate}
\item S'il est globalement stable, alors on peur analyser la SEE
\item S'il est localement stable, alors la SEE est locale ($\D \subset \R^n$)
\end{enumerate}

Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on analyse localement ($\D$) la stabilité du système en SEE.

\begin{defin}
  Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq 0$ et $\exists \alpha \in \Kc\Lc$ et $\exists\gamma \in \Kc_{\infty}$ tels que :

  \[ \|x(t,x_0)\| \leq \alpha(\|x_0\|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty})\]

$\|u\|_{\infty} = \sup_{t\geq0}\|u(t)\| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
572 573

\end{defin}
574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601
\begin{prop}
  Par définition:
  \begin{itemize}
  \item Pour $u=0$ , l'origine est asymptotiquement stable.
  \item Pour $u$ bornée, la trajectoire est bornée.
  \end{itemize}
\end{prop}
\begin{rem}
  \[ \lim_{t \to \infty} \|x(t,x_0)\| \leq \gamma (\|u\|_{\infty}) \]

  $\gamma$ gain asymptotique du système
\end{rem}


\emph{Cette définition dépend de la trajectoire, alors il faut trouver une condition suffisament indépendante de la trajectoire.}


\begin{exemple}
  Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$

  A Hurwitz implique que l'origine est stable.

  Le système est-il SEE ?
  \[ x(t,x_0) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) de \tau \]

  \begin{align*}
    \|x(t,x_0)\| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}\|x_0\| + \frac{1}{k} \|B\|.\|u\|_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(\|u\|_{\infty}) \text{} k = -\lambda_{max}(A)
  \end{align*}
602

603 604
  $\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$ , on a bien un SEE
\end{exemple}
605

606
\begin{thm}[Condition suffisante de SEE]
607 608 609
~\\  Le système $\dot{x}= f(x,u)$
est SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine
  (pour $\dot{x}=f(x,0)$) est globalement exponentionellement stable.
610
\end{thm}
611

612 613 614 615 616 617 618
\begin{exemple}
  Pour le système $\dot{x} = -x+(1+x^2)u$ :
  \begin{itemize}
  \item $f(x,0)$ origine exp stable. (car sys linéaire)
  \item $f$ n'est pas lipschitzienne pour les deux variables. En effet pour $u=1$ on a $\dot{x} = -x+1+x^2 > 0; \forall x_0$
  \end{itemize}
\end{exemple}
619 620


621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650

\section{Attracteur}
\begin{defin}
  Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système

  \begin{equation}\label{eq:sys}
    G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad \tag{$\ast$}
  \end{equation}


  si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$$\chi_t(M) = \{ \chi_t(x), x\in M \}$.\\

  Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys}   si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$
\end{defin}

\begin{prop}
  Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys}, alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant.
\end{prop}

\begin{proof}
  Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow x$ avec $x\in \overline{M}$.

  Puisque $M$ est invariant, alors $(\chi_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $\chi_t(x_n) \rightarrow \chi_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.

  Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant \eqref{eq:sys}.
\end{proof}

\begin{defin}
  Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un \emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $\chi_t(x) \in M$
\end{defin}
651 652

\begin{rem}
653
  Un cycle limite stable ou semi-stable est un attracteur.
654 655
\end{rem}

656 657 658 659 660 661 662 663 664
\begin{exemple}
  Soit le système :
  \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1}(t) = -x_2(t) + x_1(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t)) \\ \dot{x_2}(t) = x_1(t) + x_2(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t))
    \end{cases}
  \]

  En utilisant les coordonnées polaires, on trouve l'attracteur de $M$.\\
665

666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680
  On a en effet
  $r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ et $ \theta = \arctan\frac{x_2}{x_1}$

  donc
  $\dot{r} = \derivp[r]{x_1} \dot{x_1} + \derivp[r]{x_2}\dot{x_2} = r(1-r^2)$ et $\dot{\theta} = \derivp[\theta]{x_1}\dot{x_1} + \derivp[\theta]{x_2}\dot{x_2} = 1$\\

  Ainsi,

  $r>1 \quad \dot{r}<0 \Rightarrow r \rightarrow 1$

  $r<1 \quad \dot{r}>0 \Rightarrow r \rightarrow 1$

  $r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 / \{(0,0)\}$ car $x_1=x_2=0$ est un point d'équilibre, les trajectoires convergent vers le cercle unité. Suivant le théorème de Poincaré-Bendixon le cercle unité est un cycle limite, car c'est un compact et ne contient pas de point d'équilibre.
\end{exemple}
\end{document}
681 682 683 684
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: