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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre,...\\
On se place dans le cas présent  en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\

\begin{rem}
On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
\end{rem}

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10
Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
11 12 13 14 15

Ainsi, pour des systèmes du second ordre, on va avoir:
\[\begin{matrix}
x= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} &\text{et}& f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{pmatrix}
\end{matrix}\]
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16
L'espace des phases devient alors ici un plan de phase dans lequel on va rechercher les trajectoires.
17

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18
Dans la suite, on s'intéressera au cas de dimension deux pour positionner et comprendre le problème.
19 20 21 22 23 24 25

\section{Analyse qualitative du comportement}
Soit le système LTI obtenu à partir de la linéarisation autour d'un point d'équilibre $x_0$.\\
On dit que ce point d'équilibre est stable si c'est un point de convergence des trajectoire, ou instable si c'est un point de divergence des trajectoires.\\

On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant son équation autour de ce point. On a donc l'équation:
\begin{align*}
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26
\Aboxed{\delta \dot{x}&= A \delta x}\\
27 28 29 30 31 32 33
\text{où, } A&= \frac{\partial f(x)}{\partial x}|_{x=x_0} \text{	Jacobien de f en $x_0$}\\
\text{et, }\delta x &= x-x_0
\end{align*}

\begin{rem}
En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
\end{rem}
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34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
\begin{rem}
  Cette approximation peux être réalisé dna sle cas d'un régime forcé:
  \[
    \begin{cases}
      \dot{x} = f(x,u)\\
      y = h(x,u)
    \end{cases}
  \]
  avec $f(\bar{x},\bar{u}) = 0$ et on alors:
  \[
    \begin{cases}
      f(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = f(\bar{x},\bar{u}) + A. \delta x + B \delta u\\
      h(\bar{x}+\delta x,\bar{u}+\delta u) = h(\bar{x},\bar{u}) + C. \delta x + D \delta u
    \end{cases}
  \]
  Donc :
  \[
    \begin{cases}
      \delta \dot{x} = A. \delta x + B. \delta u \\
      \delta \dot{u} = C. \delta x + D. \delta u
  \end{cases}
  \]
\end{rem}
\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.} \\
\begin{prop}
59
La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
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60
\end{prop}
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
$J = \begin{pmatrix}
\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
\end{pmatrix}$$\lambda_1 \neq \lambda_2$\\
On pose le changement de variable $\delta z = M^{-1}\delta x$ : Base Modale.\\ Donc on a $\delta z_0 = M^{-1}\delta x_0$ comme valeur initiales, d'où :
\begin{align*}
\delta z_1(t) &= e^{\lambda_1t}\delta z_{01}\\
\delta z_2(t) &= e^{\lambda_2t}\delta z_{02}
\end{align*}
Ceci permet de tracer les trajectoires dans la base modale.\\

\begin{enumerate}

\item Dans le cas où  $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ou $0 <  \lambda_1 < \lambda_2$, on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph3.png}
\end{center}
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78
D'un coté on à la convergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$ et de l'autre la divergence plus rapide de $\delta z_2$ par rapport à $\delta z_1$. On a un \emph{noeud} qui est donc soit stable soit instable. Et son \emph{index topologique vaut $+1$}\\
79 80 81 82 83

\item Dans le cas où  $\lambda_2 < 0 < \lambda_1 $, on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph4.png}
\end{center}
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84
On est dans un cas instable et on a un point selle, d'index $-1$ \\
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150


\item Dans le cas ou $\lambda_1 = 0$, on a:
\begin{align*}
\delta z_1 &= \delta z_{01}\\
\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
\end{align*}
d'où le graphique:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph6.png}
\end{center}
Il n'y a pas de point d'équilibre car A est non inversible ce qui implique que $\dot{x}=Ax \Rightarrow x=0$\\

\begin{rem}
Il n'y a pas de point d'équilibre d'après la définition $ \dot{x} = 0$ même si graphiquement on converge vers un point.
\end{rem}

\item Dans le cas où $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$\\
Si $J = \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$ le sous espace propre est de dimension 2.\\
On a un point d'équilibre.


Si la dimension du sous espace propre est de 1, $J = \begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}$, donc :
\begin{align*}
\delta z_1 &= t e^{\lambda t} \delta z_{01} + e^{\lambda t} \delta z_{02}\\
\delta z_2 &= e^{\lambda t} \delta z_{02}
\end{align*}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph5.png}
\end{center}

\end{enumerate}


\subsection{Cas $\mathbb{C}$}
 On a maintenant $\lambda_{1,2} = \alpha \pm j\beta$. On considère la représentation d'état : $\delta \dot{z_1} = M^{-1} \delta x$ tel que :
 \begin{align*}
 \delta \dot{z_1} &= \alpha \delta z_1 - \beta \delta z_2\\
 \delta \dot{z_2} &= \beta \delta z_1 + \alpha \delta z_2
 \intertext{On utilise les coordonnées polaires :}
 r = \sqrt{\delta z_1^2 + \delta z_2^2} &\text{ et, } \theta = arctan\left(\frac{\delta z_2}{\delta z_1}\right)
\intertext{on a donc :}
\dot{\theta} &= \beta\\
\dot{r} &= \alpha r
 \end{align*}
Ainsi, on obtient :
\[\left \{ \begin{matrix}
\theta(t) = \theta_0 + \beta t\\
r(t) = e^{\alpha t} r_0
\end{matrix}\right.\]


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
\end{center}

\[
  \begin{cases}

  \delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
  \delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
  \delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
\end{cases}
\]

\section{Cycle limite}
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151 152 153 154 155 156 157 158 159
\begin{defin}
  Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
  \begin{itemize}
  \item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C} \forall t\in[t_0,t_0+T[$
  \item $\chi(t_0+T,x_0) =x_0$
  \end{itemize}
\end{defin}


160 161
On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\forall t > 0$, $x(t+T) = x(t)$.\\
(On exclut cependant le cas $x(t)$ = constante).
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162 163 164
\begin{rem}
  Un point d'équilibre peut être interpréter comme un cycle limite singleton $ \forall T\in\R$.
\end{rem}
165

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166 167 168 169
\begin{prop}
  \begin{description}
  \item[Cycle limite stable]~\\
Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite.
170 171
\[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
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172
\item[Cycle limite instable]~\\
173 174 175
Toutes les trajectoires divergent du cycle limite.\\
Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel que} x(t) \notin \text{cycle limite} $.

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176
\item[Cycle semi-stable]~\\
177
 Une partie des trajectoires converge et d'autres divergent du cycle limite.
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178 179 180 181 182 183 184 185 186 187
\end{description}
\end{prop}


\begin{example}[Oscillateur de Van der Pol]
\[
  \begin{cases}
\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
\end{cases}
\]
188

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189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
\begin{rem}
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
\end{rem}

%\img{0.3}{3/2.png}

$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\

\end{example}

\begin{thm}[Index de Poincaré]
  Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
  Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encrecle sont tel que
  \[
N =S +1
  \]
\end{thm}
ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
\begin{corol}
  Si $N\neq S+1$ alors il n'existe pas de cycle limite.
\end{corol}

\begin{proof}~ \\
\begin{lemme}
  Soit une courbe du plan de phase alors l'index de la courbe est la somme des index des points d'équilibre contenu dans cette courbe.
\end{lemme}

À partir de cette proposition on peux démontrer le théorème de l'index de Poincaré, car le cycle limite $\mathcal{C}$ est solution de l'équation dynamique. l'index de $\mathcal{C}$ vaut +1. Ainsi le nombre de points d'équiliobre ayant l'index +1 doit être supérieur d'une unité à ceux dont l'index est -1
\end{proof}

\section{Théorème de Bendixon}
221 222 223 224 225

\begin{thm}
Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
Si:
\begin{itemize}
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226 227
\item $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$
\item $\divv f$ ne change pas de signe dans $D$
228 229 230 231 232 233 234 235 236 237
\end{itemize}
Alors $\dot{x}=f(x)$ n'a pas de cycle limite inclus dans $D$.
\end{thm}

\begin{proof}
Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle limite.

$\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$$n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.

Suivant le théorème de Green,
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238 239
\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS  \text{ donc } \iint_S \divv f(x)dS = 0
\]
240

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241
Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259

Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
\end{proof}

\begin{example}
Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$$\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\
Représentation d'état :
\[
  \begin{cases}
\dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\
  \dot{x}_2(t) & = - \alpha x_2(t) - g(x_1(t)) = f_2(x)
\end{cases}
\text{ avec } x_1(t) = x(t) \text{ et }x_2(t) = \dot{x}(t) \]

Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.

$\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
\end{example}
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260
\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
261

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262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
\begin{defin}
  \begin{itemize}
  \item Un ensemble $\mathcal{M}\subset \mathcal{D}$ est dit \emph{positivement
      invariant} du système $\Sigma$ si
  \[\chi_t(\mathcal{M}) \subseteq \mathcal{M} , \forall t \ge 0\]
\item   Si la propriété est vraie $\forall t\le 0 $ l'ensembles est \emph{négativement invariant}.
  \item Si la propriété est vraie $\forall t\in \R$ . l'ensembles est \emph{invariant}
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{rem}
  Un ensemble invariant est un fermé de $\R^n$.
\end{rem}
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274

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275 276 277
\begin{rem}
  Un cycle limite stable ou semi-stable est un cas particulier d'un ensemble invariant. Cet ensemble est un \emph{attracteur} et  ne peut avoir qu'un comportement périodique.
\end{rem}
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278

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279 280 281 282 283 284 285 286 287
\begin{defin}
  Un attracteur est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
  \[
    \forall x\in \mathcal{N}, \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 et \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
  \]
\end{defin}
\begin{rem}
  Physiquement\footnote{\emph{sic.}} un attracteur est un fermé borné (compact)
\end{rem}
288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299

\begin{thm}
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$$S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\

Si $\omega(x_0)$ est compact et ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\end{thm}

Interprétation :

Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\

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300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314

\begin{prop}
  \begin{itemize}
  \item $\omega_0$ définit un ensemble positivement invariant.
  \item Dans $\R^2$ le seul attracteur possible est un cycle limite.
  \item Si la trajectoire converge vers un ensemble alors on a les cas possibles:
    \begin{itemize}
    \item C'est un ensemble de points d'équilibres.
    \item C'est un cycle limite.
    \item La trajectoire est un cycle limite.
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{prop}

Exemple 1 :
315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383
\begin{align*}
\dot{x} & =
          \begin{bmatrix}
-1 & 10 \\-100 & -1 x = A_1x
\end{bmatrix}\\
\dot{x} & =
          \begin{bmatrix}
-1 & 100 \\ -10 & -1 x = A_2x
\end{bmatrix}
\quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
\end{align*}

Les deux systèmes sont stables

Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\

Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\

Exemple 2 :
\begin{align*}
\dot{x} & =
          \begin{bmatrix}
1 &- 10\\100 & 1 x
\end{bmatrix}
= A_1x \\
\dot{x} & =
          \begin{bmatrix}
1 & -100\\10 & 1
\end{bmatrix}
x = A_2x \quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
\end{align*}

Les deux systèmes sont instables.

En choisissant bien la permutation, on rend le système global stable.

\paragraph{Conclusion} l'analyse de la stabilité par linéarisation ne donne pas une CNS de stabilité des systèmes non linéaires (point d'équilibre), d'où l'importance de définir un autre moyen d'analyse. \\

\begin{rem}
Il existe d'autres méthodes pour tracer les trajectoires dans le plan de phase.
\end{rem}

\begin{example}[Élimination du temps]
\begin{multicols}{2}
\noindent Méthode explicite :
\[
  \begin{cases}
x_1(t) & = x_0 \cos t + \dot{x}_0 \sin t\\x_2(t) & = -x_0 \sin t + x_0 \cos t
\end{cases}
\]

\[x_1^2(t) + x_2^2(t) = x_0^2 + \dot{x}_0^2 \]
On a éliminé le temps mais c'est assez \emph{spicifique} à la représentation d'état.

\noindent Méthode implicite :
\[ \dot{x} =
  \begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 0
\end{bmatrix}
x \text{ donc }
  \begin{cases}
  \dd{x_1}{t} & = x_2\\ \dd{x_2}{t} & = -x_1
\end{cases}
\]
\[dt = \frac{dx_1}{x_2} = -\frac{dx_2}{x_1}\]
\[x_1dx_1 = -x_2dx_2 \text{ donc } x_1^2 + x_2^2 = x_{20}^2 + x_{10}^2\]
\end{multicols}
\end{example}
\end{document}
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384 385 386 387 388

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: