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\documentclass[main.tex]{subfiles}
% Relu jusqu'à 3.4 inclus, X 08/02/2015
% Corrigé jusqu'au 4.3 inclus, A 28/02/2015.
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\begin{document}
\section{Introduction (notations maths)}

9 10
\begin{defin}
  On appelle \emph{champ de vecteur} toute  application de $\R^n \rightarrow \R^n$.
11 12
\end{defin}

13 14
\begin{defin}
Soit $f : \R^n \rightarrow \R^n$ et $g : \R^n \rightarrow \R^n$, on définit le \emph{crochet de Lie} :
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
\[ [f,g] :
  \begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R^n \\ x & \mapsto J_g(x)f(x) - J_f(x)g(x)
\end{cases}
\]
$J_f$ et $J_g$ sont respectivement les matrices jacobiennes de $f$ et $g$.
\end{defin}

\begin{prop}[Crochet de Lie]
Soient $f, g \text{ et }h$ des champs de vecteurs et $\lambda_1, \lambda_2 \in \K, (\K = \R \text{ ou } \C)$.
Alors
\begin{align*}
[\lambda_1 f + \lambda_2 g, h ] =  \lambda_1[f,h] + \lambda_2[g,h] \quad & \text{Bilinéaire} \\
[f,g] = - [g,f] \quad & \text{Anti-symétrique} \\
[f,[g,h]] + [h,[f,g]] + [g,[h,f]] = 0 \quad & \text{Identité de Jacobi} \\
[f,f] = 0 \quad
\end{align*}
\end{prop}
33 34 35
\newpage
\begin{defin}
$G$ est une \emph{algèbre de Lie} sur $\K$ si $G$ est un espace vectoriel ayant pour loi interne le crochet de Lie.
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
\end{defin}

\begin{rem}
Cette définition se restreint au cas qui nous intéresse ici, ce n'est pas la définition générale.
\end{rem}

\begin{rem}
$\Lc(E)$ est l'algèbre de Lie ayant pour famille génératrice l'ensemble des champs de vecteurs $E$.
\end{rem}

\underline{Notation} : Crochet de Lie itéré

$ad_f^0 (x) = g(x)$

$ad_f^1 g(x) = [f,g](x)$

$ad_f^k g(x) = [f,ad_f^{k-1}g](x)$

54 55
\begin{defin}
la \emph{dérivée de Lie} d'une fonction $\alpha : \R^n \rightarrow \R$ dans la direction de $f : \R^n \rightarrow \R^n$, notée $L_f\alpha$, est définie par :
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
\[L_f \alpha(x) = \sum_{i=1}^n \derivp[\alpha(x)]{x_i}f_i(x) \]

Ainsi,
\[L_f^k \alpha (x) = J_{L_f^{k-1} \alpha} (x) f(x) = [ \derivp[L_f^{k-1} \alpha(x)]{x_1} \dots\derivp[L_f^{k-1} \alpha(x)]{x_n}] \vect{f_1(x) \\ \vdots \\ f_n(x) } \]
\end{defin}

\begin{rem}
\begin{itemize}
\item $L_f^0 (x) = \alpha(x)$
\item Soient 2 champs de vecteurs $f$ et $g$, alors
\begin{align*}
L_g L_f \alpha (x) & = J_{L_f \alpha}(x) g(x) \\
L_{[f,g]} \alpha(x) & = L_f L_g \alpha(x) - L_gL_f \alpha(x)
\end{align*}
\end{itemize}
\end{rem}

73 74
\begin{defin}
La \emph{dimension} d'un ensemble de champs de vecteurs $E=\{f_1(x) \dots f_n(x)\}$, où $f_i(x) : \R^n \rightarrow \R^n$, est la dimension de l'espace vectoriel $\Delta(x)$ engendré par l'ensemble $E$.
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

\begin{rem}
On fait la confusion entre rang et dimension.
\end{rem}
\end{defin}

\begin{example}
\[ f_1(x) = \vect{x_1 \\ x_2 \\ 2}, f_2(x) =
  \begin{bmatrix}
x_1 & x_3 \\ x_2 & x_3 \\2 & x_3
\end{bmatrix}
\text{ et }f_3(x) = \vect{x_2 \\ x_2 \\ 0} \]

Si $x_2 = 0$, alors $\Delta(x) = vect\{( \vect{x_1 \\ 0 \\ 2} ) \} \text{ et }dim=1$.

Si $x_2 \neq 0$, alors $\Delta(x) = vect\{(\vect{x_1 \\ x_2 \\ 2},\vect{1 \\ 1 \\ 0})\} \text{ et }dim=2$.
\end{example}

\section{Commandabilité (atteignabilité, contrôlabilité)}

Soit le système non-linéaire (1) (affine en la commande)
\[ \dot{x} = f(x) + g(x)u = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x) u_i, \quad x \in \R^n \text{ et }u \in \R^m \]

\begin{defin}[Commandabilité]
99
Un système est\emph{ commandable} ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
\end{defin}

\begin{thm}[Théorème de Commandabilité]
Le système (1) est commandable ssi la sous-algèbre de Lie $\D = \{g_1 \dots g_m, \Lc(E)\}$ avec $E=\{g_1 \dots g_m,f\}$ est de dimension $n$.
\end{thm}

\begin{example}[linéaire]
\[ \dot{x} = Ax + Bu \]

\[ E = \{Ax,B\}, [B,Ax] = AB \]
\[ [AB,Ax] = A^2B, \dots, A^{n-1}B, \dots \]
\[ \Lc(E) = vect \{AB,A^2B,\dots\} \]

suivant Cayley Hamilton:
\[ \D = \{B,vect \{AB,AB^2,\dots,A^{n-1}B\}\}\]

$dim \D = rang (B AB \dots A^{n-1}B)$ théorème de Kalman
\end{example}

\section{Observabilité (distingabilité)}
Soit le système NL (2) (affine en la commande) :
\begin{align*}
\dot{x} & = f(x) + g(x)u \\
y & = h(x)
\end{align*}

126 127
\begin{defin}
Un système est \emph{observable} si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
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\end{defin}

\begin{defin}[Espace d'observabilité]
$\mathcal{V}$ est l'espace d'observabilité constitué de toutes les combinaisons linéaires obtenues à partir des dérivées de Lie $L_f$ et $L_g$ des fonctions $h_j(x),j=1 \dots p$ telles que $y\in\R^p$
\[ \mathcal{V} = \{h_j,L_fh_j, L_g h_j, L^2_f h_j,\dots L_g L_f h_j, L_f L_g h_j,\dots \}\]

Soit $\nabla \mathcal{V}$ l'ensemble des différentielles (gradient) des éléments de $\mathcal{V}$ :

\[ \nabla \mathcal{V} = \{ \nabla h_j, \nabla L_f h_j ... \} \]
\end{defin}

\begin{thm}[Théorème d'observabilité]
Le système (2) est localement observable en $x_0$ si $dim \nabla \mathcal{V}(x_0) = n$ et il est observable si $\forall x \in \R^n, dim \nabla \mathcal{V}(c) = n$
\end{thm}

\begin{example}[linéaire]
\begin{align*}
\dot{x} & = Ax + Bu = f(x) + g(x)u\\
y & = Cx = h(x)
\end{align*}

\begin{align*}
\mathcal{V} & = \{ h(x), L_fh(x), L_gh, L^2_fh ,L_g^2h , L_fL_gh , L_gL_fh \dots \} \\
\mathcal{V} & = \{ Cx, C.Ax (=L_fh(x)), C.B (=L_gh), CA^2x (=L^2_fh) ,0 (=L_g^2h) , 0 (=L_fL_gh) , CAB (=L_gL_fh) \dots \} \\
\nabla \mathcal{V} & = \{ C , CA , 0 CA^2 , 0 , 0 , 0 \dots \} \\
dim \nabla \mathcal{V} & = rang \vect{ C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1}} \quad \text{Critère de Kalman}
\end{align*}
\end{example}

\begin{rem}
l'action de la commande intervient dans l'observabilité. Cette contrainte est écartée dnas le cas linéaire.
\end{rem}

\end{document}
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%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: