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\begin{document}
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\subsection*{Exercice 1: Forme quadratique de la fonction de Lyapunov}
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Soit le système donné par:
\[\acc{\dot{x_1} = f_1(x_1,x_2,...,x_n)}{\dot{x_2} = f_2(x_1,x_2,...,x_n)}{\dot{x_n} = f_n(x_1,x_2,...,x_n)}\]
\begin{enumerate}
\item 
L'approximation linéaire pour le point d'équilibre $x_0$ est :
\begin{align*}
\delta \dot{x}_1 =& \sum_{i=1}^{n}a_{1i}\delta x_i\\
&\vdots\\
\delta \dot{x}_n =& \sum_{i=1}^{n}a_{ni}\delta x_i \text{	avec, } a_{ij} = \left. \frac{\partial f_j}{\partial x_i}\right|_{x=x_0}
\intertext{Pour simplifier, on pose $x_0 = 0$, et comme $\delta x_1 = x_1 - x_{0i}$, on a:}
\dot{x}_1 =& \sum_{i=1}^{n}a_{1i} x_i\\
&\vdots\\
\dot{x}_n =& \sum_{i=1}^{n}a_{ni} x_i
\end{align*}

\item \begin{align*}
\dot{z}_i =& \sum_{j=1}^n C_{ji} \dot{x_i}
= \sum_{j=1}^n C_{ji} \sum_{k=1}^n a_{jk}x_k\\
=& \sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^n C_{ji} a_{jk}x_k
= \sum_{k=1}^n \lambda_k C_{ki}x_k\\
=& z_i \lambda_i
\end{align*}

\item On considère la fonction de Lyapunov candidate fournie, on calcul alors: 
\begin{align*}
\dot{V} =& \sum_{k=1}^n \dot{z}_k z^*_k + z_k\dot{z}^*_k\\
=& \sum_{k=1}^n \lambda_k z_k z^*_k + \lambda_k^* z_k z^*_k\\
=& \sum_{k=1}^n 2 Re(\lambda_k)z_kz_k^* < 0  \forall k
\end{align*}

\item L'analyse doit se faire sur un voisinage suffisamment petit de l'origine (CN).


\item Modèle linéaire:
\begin{align*}
\dot{x_1} & = -x_2\\
\dot{x_2} & = x_1\\
\text{donc } A & = \begin{pmatrix}
0&-1\\1&0\end{pmatrix}\\
\end{align*}
Ainsi, les valeurs propres sont i et -i.\\
Le système linéaire est stable au sens de Lyapunov. Par contre, il n'y a pas de stabilité asymptotique.\\

On passe alors dans la base modale. Pour cela, on résout:
\begin{align*}
jc_{11} &= a_{11}c_{11} + a_{21}c_{21}\\
-jc_{12} &= a_{11} c_{12} + a_{21}c_{22}\\
jc_{21} &= a_{12} c_{11} + a_{22} c_{21} \\
-jc_{22} &= a_{12}c_{22} + a_{22} c_{22}\\
\Rightarrow z_1 &= x_1 + j x_2 \text{ et, } z_2 = x_2 + jx_1\\
\end{align*}
Comme $V = \sum_{k=1}^2 z_k z_k^*$ alors,
\begin{align*}
\dot{V} &= 8(x_1^4+x_2^4)(1-\alpha x_1^2 - \beta x_2^2)\\
\dot{V} &\leq 0\\
\Rightarrow& \alpha x_1^2 + \beta x_2^2 > 1 
\end{align*}

\img{0.5}{1.png}
Au voisinage de l'origine, ($\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 >1$), c'est instable, mais en dehors de la trajectoire converge. On a un cycle limite pour $\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 =1$
\end{enumerate}

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\subsection*{Exercice II : Système du 2nd ordre}
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\begin{enumerate}
\item Suivant Routh, $a>0 \et b>0$
\item Cas linéaire : $f(y)=by$, alors $b>0$ implique que $y(by) >0$ pour $y\neq0$, soit $yf(y)>0$ pour $y\neq 0$
\item On prend $V(x_1,x_2) = x_2^2 + 2 \int_0^{x_1}f(\tau)d\tau$. Elle est définie positive et : \begin{align*}
\dot{V} & = 2f(x_1)\dot{x_1} + 2x_2 \dot{x_2} \\
& = 2 x_2 f(x_1) - 2ax_2^2 -2x_2 f(x_1)
& \leq 0 \text{ : origine stable pour Lyapunov}
\end{align*}
\end{enumerate}

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\subsection*{Exercice III : Commandabilité et observabilité}
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\begin{enumerate}
\item On considère le système :
$ \acc{ \dot{x_1} & = -x_2 -x_2^2}{ \dot{x_2} & = u}$

On a donc $f(x) = \vect{ -x_2-x_2^2 \\ 0} \et g(x) = \vect{0 \\ 1}$.

$E=\{f(x),g(x)\}$
\begin{align*}
[f,g] & = J_gf - J_fg \\
& = \matd{0 & 0}{0 & 0}f(x)-\matd{0 & -1 -2x_2}{0 & 0} \vect{0 \\ 1} = \vect{1 + 2x_2 \\ 0}\\
[f,[f,g]] & = J_{[f,g]}f - J_f[f,g] \\
& = \matd{0 & 2}{0 & 0} \vect{-x_2 -x_2^2 \\ 0} - \matd{0 & -1-2x_2}{0 & 0} \vect{ 1 + 2x_2 \\ 0} = \vect{0 \\ 0} \\
[g,[f,g]] & = J_g[f,g] - J_{[f,g]}g \\
& = 0 - \matd{0 & 2}{0 & 0} \vect{0 \\ 1} = -\vect{2 \\ 0} 
\end{align*}
On a donc : \[
\D = \{\vect{0 \\ 1}, \vect{2 \\ 0}, \vect{1+2x_2 \\ 0}\}\]

$\D$ est de dimension 2 : le système est commandable.

\item On a $f(x) = \vect{x_2^2 \\ 0} \et g(x) = \vect{0 \\ 1}$.
\begin{align*}
[f,g] & = \vect{-2 x_2 \\ 0} \\
[f,[f,g]] & = \vect{0 \\ 0} \\
[g,[f,g]] & = \vect{-2 \\ 0} 
\end{align*}

On a donc : \[ \D = \{\vect{0 \\ 1}, \vect{-2 \\ 0}, \vect{2x_2 \\ 0}\} \]

$\D$ est de dimension 2 : le système est commandable.\\

De plus, on a $h(x) = x_1$

$\Vc = \{h,L_fh,L_gh,L_fL_gh,\dots \}$ et on étudie $\nabla \Vc$.

On a $\nabla h = \vect{0 \\ 1}$. Il reste à trouver un élément de $\nabla \Vc$ qui a une 2e composante non nulle pour que $\nabla \Vc$ soit de dimension 2, et que le système soit observable.

\begin{align*}
L_fh(x) = x_2^2 \quad & \quad \nabla L_fh(x) = \vect{0\\2x_2} \text{ ok mais dépend de $x_2$}\\
L_gL_fh(x) = 2x_2 \quad & \quad \nabla L_gL_gh(x) = \vect{0 \\ 2} \text{ COOL!}
\end{align*}

Le système est donc observable.
\end{enumerate}

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\end{document}