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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
3 4
\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
5 6
\begin{document}

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
\section{Stabilité de Lagrange}
Le premier a avoir intreoduit la notion de stabilité est Lagrange.
Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque les points d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$q$};
    \draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$R$};
    \draw (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
    \draw[decorate, decoration={border,amplitude=-0.2cm,angle=90,segment length=0.2cm}] (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
    \node(I) at (1,3.26) {$\bullet$};
    \node(S) at (4,0.56) {$\bullet$};
    \draw[latex-] (I) to[bend left] ++ (1,0.5) node[right]{instable};
    \draw[latex-] (S) to[bend right] ++ (1,0.5) node[above]{stable};
  \end{tikzpicture}
  \caption{Stabilité au sens de Lagrange}
\end{figure}

Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour  toute condition initiales ,la trajectoire reste bornée.

\begin{itemize}
\item On controle la variation sur la trajectoire par celle sur la condition initiale.
\item des petites variation sur la condition initiale implique de petite variation sur la trajectoire.
\end{itemize}
31

32 33 34 35
\begin{rem}
  La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Mathématiquement, Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
\end{rem}
\newpage
36
\begin{defin}
37 38 39
  Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si

  \[\forall \delta > 0, \exists \varepsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || x_0-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq \varepsilon\]
40 41
\end{defin}

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$ implique un petit changement borné sur la trajectoire.

\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que }  ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]

Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.

% \img{0.5}{4/lag}


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{4/lag.png} %HALLELUJAH !
\end{center}

\begin{rem}
  La stabilité suivant lagrange n'implique pas la convergence mais seulement la bornitude\footnote{sic.} (la trajectoire reste bornée), ce n'est pa suffisant pour faire de l'automatique, il faut pouvoir garantir la convergence. On utilise donc la stabilité au sens de Lyapounov
\end{rem}

\section{Stabilité au sens de Lyapunov}

61
\begin{defin}
62
  \[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
63 64
\end{defin}

65 66
Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.

67
\begin{rem}
68
  C'est $\varepsilon$ qui controle $\delta$.
69
\end{rem}
70 71 72
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{4/lya.png}
\end{center}
73 74

\begin{rem}
75
  La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
76 77
\end{rem}

78 79 80 81 82 83
\begin{exemple}[Oscillateur de Van der Pol]
  \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
    \end{cases}
  \]
84

85
  Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
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87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
  \begin{rem}
    Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
  \end{rem}

  % \img{0.3}{3/2.png}

  $\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange. Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
  \[ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon \]

\end{exemple}

\begin{exemple}[Pendule sans frottement]
  L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.

  Elle n'est pas stable suivant Lagrange \[x_0=(x_1= \pi, x_2=0) : \nexists \epsilon >0 \text{ tel que } \|\chi(t,\chi(0,s_0))\| < \epsilon
  \]
\end{exemple}

\subsection{Stabilité uniforme}
\begin{defin}
  Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
\end{defin}
109 110


111
\begin{defin}
112 113 114 115 116
  On définit les \emph{fonctions de caractérisations} suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.

    Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$), alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$
117

118 119 120 121 122 123
  \item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue, strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$

  \item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+ \rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$

    Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \Lc$.
  \end{enumerate}
124 125
\end{defin}

126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194
\begin{exemple}
  $\beta(\|x_0\|,|t|)=\|x_0\|e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$

  Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ \|\chi(t,x_0)\| \leq \beta(\|x_0\|,t),t \geq 0$ (enveloppe)
\end{exemple}

\begin{prop}
  L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq c \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha (\|\chi(t_0,x_0)\|)\]
\end{prop}

\begin{proof}
  Condition suffisante.

  Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ existe).

  Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.

  Si $\|\chi(t_0,x_0)\| \leq \delta \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\

  Condition nécessaire.

  $\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$

  Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.

  Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$
  \begin{align*}
    \|s_0\| \leq \delta & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon\\
    \|s_0\| \leq \delta' & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
  \end{align*}

  Si on définit $\alpha(\|.\|)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$$\|s_0\|=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(\|s_0\|)$

  Suivant Lyapunov, cela implique $\|s\| \leq \epsilon \leq \alpha (\|s_0\|)$
\end{proof}

\section{Attractivité (convergence)}
\begin{defin}
  $\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq r \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \sigma, \forall t \geq T$

  % \img{0.5}{4/1.png}

  Autrement dit : $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} \|\chi_t\| = 0$.

  On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
\end{defin}

\begin{prop}[Stabilité asymptotique]
  L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
  \begin{itemize}
  \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
  \item $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \beta (\|s_0\|,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
  \end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}[Stabilité exponentielle]
  L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
  \begin{itemize}
  \item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
  \item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \alpha \|s_0\| e^{-\lambda t}$
  \end{itemize}
\end{prop}
\begin{prop}[Stabilité locale et globale]
  \begin{itemize}
  \item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
  \item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable.
  \end{itemize}
\end{prop}
\paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire.
195

196
\begin{defin}
197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244
  $V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si :
  \begin{enumerate}
  \item $V :
    \begin{cases}
      \R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
    \end{cases}
    $ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
  \item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{\|x\| \rightarrow \infty} \infty$
  \end{enumerate}
\end{defin}

\begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov]
  Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et $f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$ (fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que
  \[ \exists D \subset \R^n, 0 \in \D \text{} \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \]
  Alors l'origine est stable au sens de Lyapunov sur $\D$.

  Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
\end{thm}

\begin{proof}
  Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$.

  Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } \|x\| \leq r \}$

  Soit $\alpha = \min_{\|x\| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.

  $0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.

  Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
  \begin{align*}
    \Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
    \Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in \Omega_{\beta}) \\
    \Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
    \Rightarrow & \|x(t)\| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
  \end{align*}

  (Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)

  $\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset \Omega_{\beta}$
\end{proof}

\begin{thm}[Stabilité asymptotique au sens de Lyapounov]
  Soient le système $G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
  \[ \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{} Q(x) \text{ est définie positive } \]

  Alors l'origine est asymptotiquement stable.
\end{thm}

245 246

\begin{rem}
247
  $Q(x)$ dépend de toutes les variables d'état. Sinon la convergence asymptotique n'est vérifié que pour certaine direction.
248 249 250
\end{rem}


251
\begin{exemple}[Cas linéaire]
252

253
  $\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$
254

255
  Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) = 0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)
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  On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov
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  \begin{align*}
    \dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\
               & = x^T APx + x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x
  \end{align*}

  \emph{Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$}.

  $\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.

  On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive. On a donc $P$ définie positive.

  \[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = \left[e^{A^Tt}Qe^{At}\right]_0^{\infty}\]

  Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \xrightarrow[t\rightarrow \infty]{} 0$

  \[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]

  Pour le système linéaire
  \[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
  $\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité asymptotique

\end{exemple}

\begin{thm}[Stabilité exponentielle]
  Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
  \begin{enumerate}
  \item $\exists \alpha > 0, \beta > 0$ et $c\geq 1$ tel que
    \[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha \|x\|^c \leq V(x) \leq \beta \|x\|^c\]
  \item $\exists \gamma > 0$ tel que
    \[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma \|x\|^c \]
  \end{enumerate}
  Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on a aussi la stabilité globale.
\end{thm}

\begin{proof}
  $\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq V(x(0))e^{-\gamma t}$

  si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$
  \begin{align*}
    V(x(0)) & \leq \beta \|x(0)\|^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha \|x(t)\|^c \\
    V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\
    \beta\|x(0)\|^c e^{-\gamma t} & \geq  \qquad \Rightarrow \|x(t)\| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}\|x(0)\|e^{-\frac{\gamma}{c}t}
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{corol}
  Le syst linéaire est aussi exponentiellement stable:
  \[
    V = x^T P x \implies \alpha \|x\| \le V(x) \le \beta \|x\|^c
  \]
  Avec $\alpha$ plus petite valeur propre de $P$ et $\beta$ plus grande valeur propre de $P$.
\end{corol}
si on a la stabilité asymptotique
\[
  \dot{V}=x^T(A^TP+PA)x
  x^T R x \le -\gamma V
  x^T R x \le -\gamma \|x\|^2
\]
\begin{exemple}
  $\begin{cases}
    \dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
  \end{cases}$


  $(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?

  On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x \neq 0$.

  \[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4 \leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x) \geq 0 \]
328

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  L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\

  Est-il exponentiellement stable ?

  \[ \alpha \|x(t)\|^c \leq V(x(t)) \leq \beta \|x(t)\|^c \]

  $\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$

  \[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4 + x_2^4) \]

  Pour $\D = \{ \|x\| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.

  Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
\end{exemple}

Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\

\begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité]
  Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.
  Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$), tel que
  \[\forall x \in \D^*, \quad  \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
  alors l'origine est instable.
\end{thm}
Le système accumule de l'énergie et deviens instable
\begin{proof}
  Instable $\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors $\|x_0\| \leq \delta$ et $\|x\| \geq \epsilon$\\

  $\forall \delta > 0$ soit $r \in ]0;\delta[$ tel que:\\
  $B_r(0) = \{ x\in \D$ tel que $ \|x\| \leq r \}$ est compact.\\
  On pose $\alpha = max_{B_r(0)} V(x)$ et $x_0 \in B_r(0)$\\
  $V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
  \begin{align*}
    \Rightarrow & V(x) > \alpha\\
    \Rightarrow & x \notin B_r(0) \\
    \Rightarrow & x \in B_r^c(0)\\
    \Rightarrow & \|x\|> r
  \end{align*}
  Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $\|x\| \geq \epsilon > r$
\end{proof}
\subsection{Théorème simplifiant l'analyse de la stabilité}


\begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
  Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V} \leq 0\]
  Soit $S = \{x \in \D$ tel que $\dot{V(x)} = 0\}$.

  Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement stable.
\end{thm}

\begin{exemple}
  Soit le système :
  \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1} &= -x_1^3 + 2 x_2^3\\\dot{x_2} &= -2x_1x_2^2
    \end{cases}
  \]
  L'origine est un point d'équilibre.\\
  \begin{align*}
    V(x) &= \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 >0\\
    \dot{V(x)} &= x_1\dot{x_1} + x_2\dot{x_2} = -x_1^4 \leq 0
  \end{align*}
  On ne peut pas conclure sur la stabilité asymptotique car $Q(x) = \frac{1}{2}x_1^4$ ne dépend pas de $x_2$. \\

  On utilise le théorème de Barbashin :
  \begin{align*}
    S = \{x \in \D \text{ tel que }\dot{V(x)} = 0\} \Rightarrow x_1 = 0\\
    \Rightarrow & \dot{x_2} = 0\\
    \Rightarrow & x_2 = 0\\
    \Rightarrow & S = \{0\}\\
    \Rightarrow & \text{Stabilité asymptotique}
  \end{align*}
\end{exemple}

\begin{thm}[Principe d'invariance de LaSalle]
  Soient $ \dot{x} = f(x)$ avec $f: \D \rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant tel que $\Omega \subset \D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable tel que $\dot{V} \leq 0 $ dans $\Omega$, $E= \{x \in \Omega$ tel que $ \dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant inclus dans E.

  Alors toute solution $x$ tel que $x_0 \in \Omega$ converge vers M quand $t \longrightarrow \infty$. Autrement dit $\overline{M}$ est l'attracteur.
406 407 408
\end{thm}


409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449
\begin{exemple}[Barbashin]
  Soit le système \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1} & =x_2\\ \dot{x_2} & = -h(x_1) - g(x_2)
    \end{cases}
  \]$h,g:[-a,a] \rightarrow \R$ avec $h(0)=g(0)=0$

  et $\forall x \neq 0, \quad x.h(x) >0 \text{ et }  x.g(x) >0$.\\

  L'origine est un point d'équilibre.\\

  Fonction de Lyapunov candidate :
  \[ V(x) = \int_0^{x_1} h(s)ds + \frac{1}{2}x_2^2 \]

  $x_1 = 0$ et $x_2=0 \Rightarrow V(x)=0$

  $x_1 \neq 0$ ou $x_2 \neq 0 \Rightarrow V(x) > 0$

  donc $V$ est définie positive.\\

  \begin{align*}
    \dot{V}(x) & = h(x_1) \dot{x_1}+ x_2 \dot{x_2}\\
               & = h(x_1)x_1 - x_2h(x_1) - g(x_1)x_2 \\
               & = -g(x_2)x_2 \leq -Q(x) \text{ définie positive, dépend de } x_1 \text{ et } x_2
  \end{align*}

  Barbashin :

  $E = \{ x \in  \R^2, \dot{V}(x) = 0 \}$

  $\dot{V}(x)=0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x_1}=0$

  $\dot{x_2} = 0 + x_2 = 0 \Rightarrow h(x_1)=0 \Rightarrow x_1 = 0$

  Alors $E=\{0\}$ stabilité asymptotique globale.
\end{exemple}

\begin{exemple}[Invariance de La Salle]
  Soit le système $\dot{x} = ax + u$, $a$ inconnu mais borné.

  $u=-kx$ et $\dot{k}= \gamma x^2, \gamma >0$
450

451 452 453 454 455
  On pose $x_1=x$ et $x_2=k$
  \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1} & = ax_1 - x_2x_1 \\\dot{x_2}&  = \gamma x_1^2
    \end{cases} \]
456

457 458 459
  La fonction de Lyapunov candidate
  \[ V(x) = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2\gamma} (x_2-b)^2, \quad \text{ avec } b>a \text{ car $a$ est borné} \]
  $V(0,b)=0$ et non pas l'origine
460

461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473
  $V(x) \geq 0, \forall x \in \R^d$
  \begin{align*}
    \dot{V}(x) & = x_1 \dot{x_1} + \frac{1}{\gamma}(x_2-b)\dot{x_2} \\
               & = ax_1^2 - x_1^2 x_2 + (x_2-b)x_1^2 \\
               & = x_1^2 (a-b) \leq 0
  \end{align*}

  $E = \{ x \in \R^2, \dot{V}=0 \} = \{ x_1 = 0 \}$ : attracteur

  Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc (attracteur) $x_1 \to 0$
\end{exemple}

\section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e. $\dot{x}=f(t,x)$}
474

475
\begin{defin}
476 477 478 479 480
  On considère \emph{un système non autonome}
  \[G : \dot{x}(t) = f(t,x)\], $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.

  L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
  \[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \| S(t_0,x_0) \| \leq \delta \Rightarrow \| S(t,S(t_0,x_0)) \| \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
481 482
\end{defin}

483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521
\begin{thm}[Théorème de Lyapunov]
  L'origine du système $G$ est stable au sens de Lyapunov s'il existe une $V:[0,+\infty[ \times \D \rightarrow \R_+$ continue et différentiable telle que :
  \begin{itemize}
  \item $V(t,0) = 0, \forall t\geq 0$
  \item $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
  \item $\dot{V}(t,x) = \derivp[V(t,x)]{t} + (\derivp[V(t,x)]{x})^Tf(t,x) \leq 0$, $\forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
  \end{itemize}

  S'il existe $Q(t,x)$ tel que
  \begin{itemize}
  \item $Q(t,0)=0, \forall t \geq 0$
  \item $Q(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
  \item $\dot{V}(t,x) \leq - Q(t,x), \forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
  \end{itemize}

  Alors l'origine est asymptotiquement stable.\\

  Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel que }$
  \begin{itemize}
  \item $\alpha \|x\|^c \leq V(t,x) \leq \beta \|x\|^c$
  \item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma \|x\|^c$
  \end{itemize}

  Alors l'origine est exponentiellement stable.

\end{thm}

\begin{rem}
  Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
\end{rem}


Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in \R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$,  $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et $\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$


\begin{exemple}[Système linéaire non stationnaire]
  $\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$

  Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$$P(t) > 9, \forall t \in \R_ +$
522

523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581
  $V(t,0) = 0, \forall t \in \R_+$ et $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \R^n \setminus \{0\}$

  \begin{align*}
    & \dot{V}(t,x) = x^T(t) \dot{P}(t) x(t) + x^T(t)A^T(t)P(t)x(t) + x^T(t)P(t)A(t)x(t) \leq 0 \\
    & \Leftrightarrow \dot{P}(t) + A^T(t)P(t) + P(t)A(t) \leq 0 \\
  \end{align*}
  Inégalité de Lyapunov dynamique

  Stabilité asymptotique :
  \[ P(t)+A^T(t)P(t) + P(t)A(t) = - Q(t) \]
  Équation de Lyapunov dynamique

  \[ \lambda_{min}(P(t)) \|x\|^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t)) \|x\|^{1=c} \]

  $\forall t \in \R_+, \exists \gamma > 0$
  \[ \dot{V}(t,x) \leq -\lambda_{min}(Q(t))\|x\| \] stabilité exponentielle
\end{exemple}

\begin{rem}
  Dans le cas non autonome, la fonction de Lyapunov candidate peut ne pas dépendre du temps, mais elle doit dépendre de toutes les variables d'état.
\end{rem}

\begin{exemple}
  Soit le système non-linéaire
  \begin{align*}
    \dot{x_1}(t) & = -x_1^3(t) + \sin \omega t x_2(t) \\
    \dot{x_2}(t) & = - \sin \omega t x_1(t)  - x_2^3(t)
  \end{align*}
  avec $x_1(0) = x_{10}, x_2(0) = x_{20}$ et $t\geq 0$

  L'origine est bien un point d'équilibre. Est-il asymptotiquement stable ?

  \begin{align*}
    V(x) & = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\
    \dot{V}(x) & = x_1 (-x_1^3 + \sin \omega t x_2) + x_2(-\sin \omega t x_1 - x_2^3) \\
         & = -x_1^4 - x_2 ^4 \leq 0 \text{ : stable } \\
         & \leq - \frac{1}{2}(x_1^4 + x_2^4) = -Q(x) \text{ : globalement aymptotiquement stable }
  \end{align*}
\end{exemple}

\section{Stabilité entrées-états (SEE)/ Input-States Stability (ISS)}

Soit le système $ G: \dot{x}=f(x,u)$$f:\R^n \times \R^m \rightarrow \R^n$ ($m$ désigne le nombre d'entrées)

Soit l'origine un point d'équilibre :

\begin{enumerate}
\item S'il est globalement stable, alors on peur analyser la SEE
\item S'il est localement stable, alors la SEE est locale ($\D \subset \R^n$)
\end{enumerate}

Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on analyse localement ($\D$) la stabilité du système en SEE.

\begin{defin}
  Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq 0$ et $\exists \alpha \in \Kc\Lc$ et $\exists\gamma \in \Kc_{\infty}$ tels que :

  \[ \|x(t,x_0)\| \leq \alpha(\|x_0\|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty})\]

$\|u\|_{\infty} = \sup_{t\geq0}\|u(t)\| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
582 583

\end{defin}
584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611
\begin{prop}
  Par définition:
  \begin{itemize}
  \item Pour $u=0$ , l'origine est asymptotiquement stable.
  \item Pour $u$ bornée, la trajectoire est bornée.
  \end{itemize}
\end{prop}
\begin{rem}
  \[ \lim_{t \to \infty} \|x(t,x_0)\| \leq \gamma (\|u\|_{\infty}) \]

  $\gamma$ gain asymptotique du système
\end{rem}


\emph{Cette définition dépend de la trajectoire, alors il faut trouver une condition suffisament indépendante de la trajectoire.}


\begin{exemple}
  Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$

  A Hurwitz implique que l'origine est stable.

  Le système est-il SEE ?
  \[ x(t,x_0) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) de \tau \]

  \begin{align*}
    \|x(t,x_0)\| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}\|x_0\| + \frac{1}{k} \|B\|.\|u\|_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(\|u\|_{\infty}) \text{} k = -\lambda_{max}(A)
  \end{align*}
612

613 614 615 616
  $\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$ , on a bien un SEE
\end{exemple}
\begin{thm}[Condition suffisante de SEE]
  Le système $\dot{x}= f(x,u)$ est SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine (pour $\dot{x}=f(x,0)$) est globalement exponentionellement stable.
617
\end{thm}
618 619 620 621 622 623 624
\begin{exemple}
  Pour le système $\dot{x} = -x+(1+x^2)u$ :
  \begin{itemize}
  \item $f(x,0)$ origine exp stable. (car sys linéaire)
  \item $f$ n'est pas lipschitzienne pour les deux variables. En effet pour $u=1$ on a $\dot{x} = -x+1+x^2 > 0; \forall x_0$
  \end{itemize}
\end{exemple}
625 626


627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658

\section{Attracteur}
\emph{vu après}

\begin{defin}
  Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système

  \begin{equation}\label{eq:sys}
    G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad \tag{$\ast$}
  \end{equation}


  si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$$\chi_t(M) = \{ \chi_t(x), x\in M \}$.\\

  Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys}   si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$
\end{defin}

\begin{prop}
  Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys}, alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant.
\end{prop}

\begin{proof}
  Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow x$ avec $x\in \overline{M}$.

  Puisque $M$ est invariant, alors $(\chi_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $\chi_t(x_n) \rightarrow \chi_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.

  Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant \eqref{eq:sys}.
\end{proof}

\begin{defin}
  Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un \emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $\chi_t(x) \in M$
\end{defin}
659 660

\begin{rem}
661
  Un cycle limite stable ou semi-stable est un attracteur.
662 663
\end{rem}

664 665 666 667 668 669 670 671 672
\begin{exemple}
  Soit le système :
  \[
    \begin{cases}
      \dot{x_1}(t) = -x_2(t) + x_1(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t)) \\ \dot{x_2}(t) = x_1(t) + x_2(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t))
    \end{cases}
  \]

  En utilisant les coordonnées polaires, on trouve l'attracteur de $M$.\\
673

674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688
  On a en effet
  $r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ et $ \theta = \arctan\frac{x_2}{x_1}$

  donc
  $\dot{r} = \derivp[r]{x_1} \dot{x_1} + \derivp[r]{x_2}\dot{x_2} = r(1-r^2)$ et $\dot{\theta} = \derivp[\theta]{x_1}\dot{x_1} + \derivp[\theta]{x_2}\dot{x_2} = 1$\\

  Ainsi,

  $r>1 \quad \dot{r}<0 \Rightarrow r \rightarrow 1$

  $r<1 \quad \dot{r}>0 \Rightarrow r \rightarrow 1$

  $r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 / \{(0,0)\}$ car $x_1=x_2=0$ est un point d'équilibre, les trajectoires convergent vers le cercle unité. Suivant le théorème de Poincaré-Bendixon le cercle unité est un cycle limite, car c'est un compact et ne contient pas de point d'équilibre.
\end{exemple}
\end{document}
689 690 691 692
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%%% End: