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\documentclass[main.tex]{subfiles}
% Relu jusqu'à 3.4 inclus, X 08/02/2015
% Corrigé jusqu'au 4.3 inclus, A 28/02/2015.

\begin{document}
\paragraph{Objectifs } Donner les connaissances fondamentales sur l'analyse et la commande des systèmes non linéaires en abordant les techniques classiques. Le but est d'avoir une compréhension plus profonde des hypothèses sous-jacentes à la commande non linéaire, des outils disponibles pour l'analyse, la synthèse et les limites des résultats obtenues.
\begin{center}
\begin{itemize}
\item Analyse de la stabilité
\item Outils pour la commande non linéaire
\item Synthèse de lois de commande non linéaire
\end{itemize}
\end{center}

\newpage
\section{Définition}

\paragraph{Définition }:\\
Un système est dit Non Linéaire (N.L) si on n'a pas le principe de superposition, i.e. pour une entrée $\sum \lambda_i u_i$ on a en sortie $y \neq \sum \lambda_iy_i$.\\

\paragraph{Définition - Commande}:\\
Pour la commande, les systèmes N.L englobent les systèmes Linéaires (L), i.e. les systèmes L forment un sous-ensemble identifié au principe de superposition. \\

Exemple de systèmes N.L :
\begin{itemize}
\item Equation de Navier-Stokes (Mécanique des fluides)
\item Equation de Boltzmann (Cinétique d'un gaz peu dense)
\end{itemize}
\bigbreak

\begin{example}
  Système N.L décrit par des EDO (Équations Différentielles Ordinaires): le pendule simple\\
L'équation est donnée par $ml.\dot{\theta} = -mg.sin(\theta) - kl.\theta$ avec $k$ le coefficient de frottement.\\
On a la représentation d'état avec $\theta = x_1$ et $\dot{\theta} = x_2:$\\
\[\left \{\begin{array}{cc}
  \dot{x_1} & = x_2\\
  x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1) - \frac{k}{l}x_1
\end{array}\right.\]
\end{example}

\begin{rem}
  Un système à constantes localisées est décrit par des EDO.\\
Un système à constantes réparties est décrit par des EDP (Équations aux Dérivées Partielles).\\
\end{rem}

\begin{rem}
  Si la relation entrées-sorties est de classe $C^1$, alors il existe un voisinage, aussi petit soit-il, sur lequel le comportement est linéaire (DL du $1^{er}$ ordre)\\
Dans le cours, on considère les systèmes N.L ayant pour modèle dynamique des EDO.
\end{rem}

On peut donc représenter les systèmes selon le graphe suivant:

\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.35]{1/graph1.png}
\end{center}

\section{Passage des EDP vers EDO }
Le passage s'effectue par approximation, car le modèle obtenu est de dimension infinie.
\[\vec{\omega}(x,y,z,t) \approx \sum_{i=1}^Nq_i(t)\vec{\eta}(x,y,z)\]

La stabilité sera analysée sur l'aspect temporel car on ne peut pas avoir une dimension spatiale instable.

\begin{example}[Poutre flexible]
  On regarde les différent modes d'excitations, obtenus par la méthode des éléments finis.\\
Ceci permet donc de décrire le système dans la Base Modale.\\
\end{example}

\section{Forme générale de la représentation d'état}
Dans le cas général, les systèmes sont décrits par la représentation d'état :
\[\left\{ \begin{matrix}
      \dot{x} = f(x,t,u)\\
y = g(x,t,u)& \text{	avec, } & x\in \mathbb{R}^n\text{, }u\in \mathbb{R}^m\text{, }y\in \mathbb{R}^l
\end{matrix} \right.\]

\noindent \underline{Exemple}: Système LTV
\begin{align*}
  f(x,t,u) = A(t)x + B(t) u\\
  g(x,t,u) = C(t)x +D(t)u
\end{align*}


Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'intsant t pour une condirtion initiale $x_0$


\begin{defin}[Trajectoire]
  La trajectoire $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$$n$ est la dimension de $G$ , est une application :
  \[
    \chi: \R \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}
  \]
  vérifiant les propriétés:
  \begin{enumerate}
  \item Continuité $\chi $ est continue su r$\R \times \mathcal{D}$ et $\forall x \in \mathcal{D}, \chi (\cdot,x) $ est dérivable sur $\R$
  \item Consistance $\chi(0,x) = x$
  \item Propriété de Groupe $ \chi(t,\chi(\tau,x))=\chi(t+\tau,x)$
  \end{enumerate}
  \begin{rem}
    suivant la propriété 1. on a :
    \[
      \derivp[\chi(t,x)]{t} = f(\chi(t,x))
    \]
    et si on fixe $x=x_0$ à $t=0$ alors :
    \[
      \deriv{\chi(t,x_0)}= f(\chi(t,x_0))
    \]
  \end{rem}

L'ensemble $\mathcal{D}$ dans lequel évolue la trajectoire est nommée \emph{espace de phase}
\end{defin}

Dans le cas causal, on se limite à $ \chi: \R_+ \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}$.

Pour $t$ fixé on note $\chi_t :=\chi(t,x) \mathcal{D}\to \mathcal{D}$
\begin{prop}
  L'application inverse de $\chi_t$ et$\chi_{-t}$ est un homéomorphisme ie bijectif continu et inverse continu
\end{prop}
\begin{proof}
  on montre l'injectivité et la surjectivité de $\chi$.
  La propriété 1. permet de montrer la continuité.
\end{proof}


\end{document}