chap1.tex 10.5 KB
Newer Older
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116
\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\section{Probabilités}
\subsection{Évènement}
\begin{itemize}
\item La réalisation d'une expérience aléatoire (on ne peux pas prédire avec certitude le résultat) est un \textit{évènement} $\omega$, singleton de $\Omega$ ensembles de tous les évènements.
  \begin{exemple}[jet de dé]
    aux évènements    ``Tirer 1, ... ,6 `` on associe $\Omega={\omega_1,...\omega_6}$
  \end{exemple}
\item $\mathcal{E} $est une tribu (ou $\sigma$-algèbre) de $\Omega$, tel que:
  \begin{itemize}
  \item $\Omega \in \mathcal{E}$
  \item $\mathcal{E}$ est stable par union , intersection et complémentarité.
  \end{itemize}
\end{itemize}
\subsection{Probabilités}
\begin{defin}
  On appelle probabilité :
  \[
    P : \begin{cases}
      \mathcal{E} &\to [0,1]\\
      E &\mapsto P(E)
        \end{cases}
   \]
   tel que:

   \begin{itemize}
   \item $    P(\Omega) = 1 $
   \item $ \forall E_i , i\in \mathbb{I} \text{ , desév disjoint 2 à 2}, \implies
     P\left(\displaystyle\bigcup_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\sum_{\mathbb{I}} P(E_i)$
   \end{itemize}

 \end{defin}

\pagebreak
 \begin{prop}
   \begin{itemize}
   \item  $ P(\bar{E}) = 1-P(E)$
   \item $(P(\emptyset) = 0)$
   \item $A \subset B  \implies P(A) \leq P(B)$
   \item $P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
   \end{itemize}
 \end{prop}
\subsection{Probabilités conditionnelles}

\begin{defin}
  Soit $A$ et $B$ deux évènements.  On appelle \emph{probabilité conditionnelle} la probabilité de $A$ sachant que  $B$ est réalisé:
  \[
    P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
  \]
\end{defin}
\begin{prop}[Formule de Bayès]
  \[
    P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
  \]
\end{prop}

\subsection{Indépendance}
\begin{defin}
  Deux évènements $A$ et $B$ sont dits \emph{indépendant} si et seulement si le fait que $A$ est réalisé n'apporte pas d'information sur la réalisaiton de $B$
    \begin{align*}
      & P(A|B) = P(A)\\
      \iff & P(B|A) = P(B)\\
      \iff & P(A\cap B) = P(A) .P(B)
    \end{align*}
\end{defin}
\begin{defin}
  Des évènements $(E_i)_{i\in\mathbb{I}}$  sont dits mutuellement indépendants (ou encore indépendants dans leur ensemble), si et seulement si:
  \[
  P\left(\displaystyle\bigcap_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\prod_{\mathbb{I}} P(E_i)
\]
\end{defin}

\begin{prop}
  L'indépendance dans son ensemble implique l'indépendance deux à deux. \\
  La réciproque n'est pas forcément vraie.
\end{prop}
\section{Variable aléatoire réelle et scalaire}
On se place dans un espace probabilisé $\Omega$ donné.
\subsection{Généralité et exemple}
\begin{defin}
  On appelle \emph{Variable aléatoire} (VA) :
  \[
    X :
    \begin{cases}
      \Omega \to \R \\
      \omega \mapsto X(\omega)=x
    \end{cases}
  \]
\end{defin}
\begin{exemple}
  \begin{itemize}
  \item Dé à n faces (discret)
  \item distance d'une flèche au centre de la cible.
  \end{itemize}
\end{exemple}
\begin{prop}
  Pour des variables aléatoires continues,
  \[
    P(X=x) = 0 , \forall x\in \R
  \]
  car $x$ est un point de mesure nulle.
\end{prop}


\subsection{Fonction de répartition}

\begin{defin}
  On appelle fonction de répatition:
  \begin{align*}
    F_X(x) &= P(X\leq x) = P(X \in ]-\infty,x])\\
           &=P(\{\omega \in \Omega|X(\omega)\le x \})
  \end{align*}
\end{defin}
\begin{prop}
  \begin{itemize}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
117
  \item $0 \le F_X(x) \le1$
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134
  \item $P(a\le X\le b) = F_X(b)-F_X(a)$
  \item $F_x$ est une fonction :
    \begin{itemize}
    \item non décroissante
    \item continue presque partout
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{prop}

Une variable aléatoire est complétement caractérisée par sa f.d.r
\begin{rem}
  Dans le cas d'une VAD , $F_X$ est en marche d'escalier.
\end{rem}
\subsection{Densité de probabilité}
\begin{defin}
  On appelle \emph{densité de probabilité} la fonction :
  \[
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
135
f_X(x) \equals_{\mathcal{D}} \deriv[F_X(x)]{x}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186
\]
Avec la dérivée généralisé au sens des distributions.
\end{defin}
\begin{prop}
  \begin{itemize}
  \item Les fonction de densité de probabilité et de répartition sont équivalentes pour décrire une variable aléatoire.
  \item $f_X(x)\ge 0$
  \item $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\d x = 1$
  \item $\displaystyle \int_{-\infty}^{x}f_X(\alpha)\d \alpha = F_X(x)$
  \end{itemize}
\end{prop}

\begin{rem}
  Pour les variables aléatoires discrètes, la ddp est une suite d'impulsion de Dirac :
  \[
    f_X(x) = \sum_{i\in\mathbb{I}}p_i\delta(x-x_i)
  \]
\end{rem}

\begin{exemple}
  \begin{itemize}
  \item VAC uniforme sur $[a,b]$:
    \[
      f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbb{1}_{[a,b]}
    \]
  \item VAC gaussienne :
    \[
      f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} exp\left(\frac{-1}{2}\frac{(x-m_x)^2}{\sigma_X^2}\right)
    \]
  \end{itemize}
\end{exemple}

\subsection{Changement de VA}
\begin{prop}
  Soit $g :
  \begin{cases}
    \R \to \R \\
    X \mapsto g(X) = Y
  \end{cases}$ une fonction homéomorphique\footnotemark \\
  Alors :
  \[
    f_Y(y) = f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right| = f_X(x) \frac{1}{ \left|\deriv[y]{x}\right|}
  \]
  Dans le cas ou $g$ n'est pas bijective :
  \[
    f_Y(y) = \sum_{x_i|g(x_i)=y}^{}f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right|_{x=x_i}
  \]
\end{prop}
\footnotetext{continue, bijective continue}

\subsection{Expérance, moment et fonction caractéristique}
187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208
\begin{defin}
  pour $g \R \to\C^p$
  On appelle \emph{espérance} d'une variable aléatoire la grandeur:
  \[
    E(g(X)) = \int_{\R}^{} g(x)f_X(x)\d x
  \]
Dans le cas discret on a:
\[
  E(g(X)) = \sum_{\mathbb{I}}^{}g(x_i)P(X=x_i)
\]
\end{defin}
\begin{prop}
  L'espérance est linéaire (sous réserve d'existance):
  \begin{itemize}
  \item $E[c]=c$
  \item $E[cg(x)]=cE[g(x)]$
  \item $E[g(x)+h(x)] =E[g(x)]+E[h(y)]$
  \end{itemize}
\end{prop}
\begin{rem}
  On note aussi $E[X]=m_X = m$ ``moyenne de la variable aléatoire''. Si $m$ = 0 on dit que la VA est centrée.
\end{rem}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
209

210 211 212 213 214 215 216 217 218
\begin{defin}
  On appelle \emph{momemt d'ordre $k$}:
  \[
    m_k = E[X^k]
  \]
Le \emph{moment centré d'ordre $k$ :}
  \[
    m_k = E[(X-m_X)^k]
  \]
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
219

220 221 222 223 224 225 226 227 228
Le moment $\mu_2$ est aussi appelé la \emph{variance}
\end{defin}
\begin{rem}
  on note $\sigma_x = \sqrt{v_x}$ l'écart type de X. Il mesure la dispersion autour de $m_x$.
On défini la variable centrée réduite associée à $X$:
\[
  X_r = \frac{X-m_X}{\sigma_X}
\]
\end{rem}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
229
\subsection{Fonction caractéristique}
230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247

\begin{defin}
  On appelle fonction caractéristique:
\[
  \phi_X(u) = E[exp(juX)] = \int_{-\infty}^{+\infty}
\]
\end{defin}
\begin{prop}
  \begin{itemize}
  \item $\phi_X(u)$ existe toujours $|\phi_X(u)|\le\phi_X(0)=1$
  \item Symétrie hermitienne
  \item $\phi_X(u)$ est continue même pour des VA discrètes
  \item On appelle 2ème fonction de répartition $\Psi_X(u)=\ln(\phi_X(u))$
  \item \[
      m_k = (-j)^k\left.\deriv[^{k}\phi_X(u)]{u^k}\right|_{u=0}
    \]
  \end{itemize}
\end{prop}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
248 249
\section{Couple de variable aléatoire réelles}
\subsection{Généralité}
250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263
\begin{defin}
  Un couple de variable aléatoire est défini comme:
  \[
    Z
    \begin{cases}
      \Omega \to \R^2\\
      \omega \mapsto Z(\omega) = \vect{X(\omega)\\Y{\omega}}
    \end{cases}
  \]
  On défini également:
  \[
    Z^{-1} : \mathcal{D} \mapsto Z^{-1}(\mathcal{D}) = E_D \subset \mathcal{E}
  \]
\end{defin}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
264
\subsection{Fonction de répartition}
265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302
\begin{defin}
  \begin{itemize}
  \item fonction de répartition conjointe:
    \begin{align*}
      P(X<x;Y<y) &=F_{XY}(x,y)\\
                 &=P((x,y)\in \mathcal{D})\\
                 &=F_Z(z)
    \end{align*}
  \item fonction de répartition marginale
    \begin{align*}
      F_{X}(x)=P(X<x) &= F_{XY}(x,+\infty)\\
                      &=P((x,y)\in\mathcal{D}_X)
    \end{align*}
  \end{itemize}
\end{defin}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{scope}
      \draw[-latex] (-1,0) -- (4.1,0);
      \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4.1);
      \fill[pattern= north east lines] (2,-1) rectangle (4,4);
      \fill[pattern= north east lines] (-1,2) rectangle (4,4);
      \draw (-1,2) -- (4,2);
      \draw (2,-1) -- (2,4);
      \node at (1,1) {$\mathcal{D}_{xy}$};
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(6,0)}]
      \draw[-latex] (-1,0) -- (4.1,0);
      \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4.1);
      \fill[pattern= north east lines] (2,-1) rectangle (4,4);
      \draw (2,-1) -- (2,4);
      \node at (1,1) {$\mathcal{D}_x$};
    \end{scope}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Représentation des domaines d'existence possible pour $X,Y$}
\end{figure}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
303
\subsection{Densité de probabilité}
304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332
\begin{defin}
  on défini la densité de probabilité conjointe:
  \[
    f_{XY} = \derivp[^2F_{XY}(x,y)]{x\partial y }
  \]
\end{defin}

\begin{prop}
  densité de probabilité conjointe et fonction de répartition sont reliées:
  \[
    \int_{-\infty}^{x^-}\int_{-\infty}^{y^-} f_{XY}(\alpha,\beta)\d \alpha \d \alpha = F_{XY}(x,y)
  \]

  et :
  \[
    \int_{-\infty}^{x}\int_{\R}^{}f_{XY}(\alpha,\beta)\d \beta = F_{XY}(x,\infty) =F_X(x)
  \]
\end{prop}
\begin{defin}
  À partir de la fonction de répartion  marginale on peux définir la loi marginale de $X$ :
  \[
    f_X(x) = \deriv[F_X(x)]{x} =\int_{\R}^{}f_{XY}(x,y)\d y
  \]
  Et alors la loi  conditionelle de $X$ sachant $Y$:
  \[
    f_{X|Y}(x) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_{Y(y)}}
  \]
\end{defin}

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
333
\subsection{Indépendance}
334 335 336 337 338 339 340
\begin{defin}
  On dit que $X$ et $Y$ sont indépendant:
  \begin{description}
  \item[$\iff$] $F_{XY}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
  \item[$\iff$] $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
  \end{description}
\end{defin}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
341
\subsection{Changement de VA}
342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374
\begin{prop}
  On considère :
  \[
    g
    \begin{cases}
      \R^2 \to \R^2\\
      Z =(X,Y) \mapsto W =(U,V)=g(X,Y)
    \end{cases}
  \]
  Alors:
\[
  f_W(w) = f_Z(z)|J|
\]
où :
\[
J =
\begin{pmatrix}
  \displaystyle\derivp[x]{u} & \displaystyle\derivp[x]{v}\\[1em]
  \displaystyle\derivp[y]{u} & \displaystyle\derivp[y]{v}
\end{pmatrix}
\]
\end{prop}
\begin{rem}
  Il est parfois plus simple de calculer:
  \[
|K| =\left|
\begin{array}{cc}
  \displaystyle\derivp[x]{u} & \displaystyle\derivp[x]{v}\\[1em]
  \displaystyle\derivp[y]{u} & \displaystyle\derivp[y]{v}
\end{array}\right|
\]
Au quel cas on a : $f_W(w) = f_Z(z)\frac{1}{|K|}$
\end{rem}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
375
\subsection{Espérance et moments-fonction caractéristique}
376 377


Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395
\section{Variable aléatoire vectorielle et réelles}
\subsection{Définition}
\subsection{Fonction de répartition}
\subsection{Densité de Probabilité}
\subsection{Indépendance}
\subsection{Changement de variable aléatoire}
\subsection{Espérance, moments et fonction caractéristique}
\subsection{Va Gaussienne et réelle}
\section{Extension aux VA complexes}



\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: