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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\begin{document}

\section{Introduction}
\emph{blabla ,les centrales nucléaire c'est 1GW , avec des machines synchrones. Les MCC sont pas utilisé en forte puissance. on préfère utiliser une machine synchrone ou une machine asynchrone (plus simple, moins cher,etc)}
La machine asynchrone fonctionne en moteur ou en alternateur.

Premier dépot déposé en 1888 par Nicolas Tesla.

Utilisation des différentes technologies de moteur (brushless, bobinés) en automobile et industrie (80\% des moteur de l'industrie sont des machines asynchrones)


\section{Principe de la machine asynchrone}
en anglais on parle de \emph{Induction Motor}.
On génère un champ magnétique tournant au stator
Le courant électrique est induit dans le rotor , pas besoin de mettre des balais ou de bobinage au rotor.

\subsection{Le stator triphasé}
\subsubsection{Champs tournant}

On a le schéma suivant, $n$ spires sont parcourues par un courant $i_{sa}$.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \fill[gray!40,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
    \fill[gray!20] (0,0) circle (2);
    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
    \draw[-latex] (0,0) -- ++(30:4);
    \draw[-latex] (1,0) arc(0:30:1) node[above]{$\theta$};
    \draw (0,2.5)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
          (0,-2.5)node[]{{$\otimes$}};
    \draw[->,densely dashed, thin,rounded corners=5pt] (0, 0.25) -- (2.75, 0.25)  arc[start angle=5, end angle=175, radius=2.75]-- (0, 0.25);
    \draw[->,densely dashed,thin,rounded corners=5pt] (0, -0.25) -- (2.75, -0.25)  arc[start angle=-5, end angle=-175, radius=2.75] -- (0, -0.25);
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Schéma du stator (monophasé)}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
      samples=41,
      xtick={-1,1},ytick=\empty,
      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-2,-1) (-1,-1) (-1,1) (1,1) (1,-1) (2,-1)};
      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Force magnétomotrice $\epsilon_s$}
\end{subfigure}
\caption{Champ tournant dans le stator}
\end{figure}
Avec le théorème d'ampère on a :

\begin{align*}
  \oint \vec{H}.\vec{dl} &= n_s i_s\\
  \underbrace{ \int H.dl}_{H_{fer}} &+ \underbrace{2H_c e}_{H_e} = n_s i_s\\
  \intertext{Or on a: }
  H_{mat.fer} &\ll H_{entrefer}
                \intertext{Donc on a la force magnétomotrice}
                \Aboxed{\epsilon_s = H_ee =\frac{n_si_s}{2}}
\end{align*}
On peux donc tracer :


La répartition des fils autour du rotor influe sur l'allure de la force magnétomotrice. Par exemple pour une répartition uniforme de $n/3$ spires par encoche :
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \fill[gray!40,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
    \fill[gray!20] (0,0) circle (2);
    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
    \draw[-latex] (0,0) -- ++(30:4);
    \draw[-latex] (1,0) arc(0:30:1) node[above]{$\theta$};
    \draw (0.6,2.46)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
          (0.6,-2.46)node[]{{$\otimes$}};
    \draw (0,2.5)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
          (0,-2.5)node[]{{$\otimes$}};
    \draw (-0.6,2.46)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
          (-0.6,-2.46)node[]{{$\otimes$}};
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Schéma du stator (monophasé)}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{0.5\linewidth}
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
      samples=41,
      xtick={-1,1},ytick=\empty,
      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-2,-1) (-1.5,-1) (-1.5,-0.5)   (-1,-0.5) (-1,0.5)(-0.5,0.5) (-0.5,1)  (0.5,1) (0.5,0.5) (1,0.5)(1,-0.5) (1.5,-0.5) (1.5,-1)(2,-1)};
      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Force magnétomotrice $\epsilon_s$}
\end{subfigure}
\caption{Approximation sinusoïdale du champ tournant}
\end{figure}

en répartissant les bobinage sur le rotor de manière sinusoïdales , on peux générée une force magnétomotrice sinusoïdale également.

\begin{rem}
On utilise despetit fils pour éviter l'effet de peau en alternatif, mais cela augmente la resistivité et la puissance dissipée par effet joule, rien n'est parfait.
\end{rem}

En utilisant un courant $i_s$ alternatif (à la pulsation $\omega$) on a une onde pulsante:
\[
  \epsilon_s =\frac{n_si_{max}}{2}cos(\omega t)
\]

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
      samples=51,
      xtick={-1,1},ytick={},
      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
      \addplot+[no marks,color=black] {cos(pi*deg(x)/2)};
      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {0.2*cos(pi*deg(x)/2)};
      \addplot+[no marks,color=black, dotted] {-0.5*cos(pi*deg(x)/2)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Évolution d'une onde pulsante en fonction du temps}
\end{figure}


Dans le cas triphasé on répartis les enroulements de manière sinusoïdales (seule un tour de bobinage est représenté) parcourus par $i_{sa} ,i_{sb},i_{sc}$ :
\[
  \begin{cases}
    i_{sa}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t) \\
    i_{sb}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t+ \frac{2\pi}{3}) \\
    i_{sc}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})
  \end{cases}
  \text{ Soit }
  \begin{cases}
    \epsilon_{sa}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta) \\
    \epsilon_{sb}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta-\frac{2\pi}{3}) \\
    \epsilon_{sc}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta+\frac{2\pi}{3}) \\
  \end{cases}
\]

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xlabel=$\theta$,ylabel=${\epsilon_{sa},\epsilon_{sb},\epsilon_{sc}}$,
      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
      samples=51,
      xtick={-1,1},ytick={},
      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
      \addplot+[no marks,color=black] {cos(pi*deg(x)/2)};
      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2+120)};
      \addplot+[no marks,color=black, dotted] {cos(pi*deg(x)/2-120)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Évolution d'une onde pulsante en fonction du temps}
\end{figure}
Alors la force magnétomotrice totale vaut:
\begin{align*}
  \epsilon_s &=\epsilon_a +\epsilon_b+\epsilon_c \\
      &= \frac{n_sI\sqrt{2}}{2}\left(
        \cos(\theta)\cos(\theta)   + \cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})
 +\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})
        \right)\\
       \Aboxed{ &= \frac{3n_sI}{\sqrt{2}} \cos(\theta-\omega t)}
\end{align*}

On a créer un champ tournant , avec trois bobinage , le module de la force magnétomotrice est constant , son argument balaye tout l'espace.

\subsection{Rotor à une spire en court circuit}
\begin{figure}[H]
  \begin{subfigure}{.5\textwidth}
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \fill[gray!20,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
    \fill[gray!10] (0,0) circle (2);
    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
    \draw
    (110:1.8)node[blue]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}  (110:-1.8)node[blue]{{\Large$\otimes$}};
\draw
    (90:2.5)node[blue!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (90:-2.5)node[blue!50!black]{{\Large$\otimes$}}
    (210:2.5)node[red!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (210:-2.5)node[red!50!black]{{\Large$\otimes$}}
    (330:2.5)node[green!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (330:-2.5)node[green!50!black]{{\Large$\otimes$}};
    \draw[-latex] (0,0) -- (20:3.5) ;
    \draw[-latex] (3.2,0) arc(0:20:3.2) node[midway,right]{$\theta_r$};
    \draw[thick,-latex] (0,0) -- (45:3.5)node[above]{$\overrightarrow{B_s}$};
    \draw[-latex] (3.1,0) arc(0:45:3.1) node[near end, right]{$\theta_s$};
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Disposition du rotor (monophasé)}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) to[V,v=$e$] ++(0,2) to[R,l=$R_r$] ++(0,2)-- ++(2,0) |-(0,0);
  \end{circuitikz}
  \caption{Schéma électrique du rotor en court circuit}
\end{subfigure}
\end{figure}
On a :
\begin{align*}
  e&= -deriv{\Phi}{t} =R_r i_r
  &= -L\deriv{i_r}{t}+B.n_rS_r\deriv{\theta_s-\theta_r}{t}\sin(\theta_s-\theta_r)\\
\end{align*}
Pour $\theta_s=\omega_st$ , position du champs statorique et $\theta_r = \Omega t+ \theta_{r_0}$ ,position du champ rotorique on a:

\[
  e = -L\deriv{i_r}{t}+B.n_rS_r(\omega_s-\Omega)\sin((\omega_s-\Omega)t+\theta_{r_0})
\]

\subsection{Rotor à 3 spires en court circuit}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
  \begin{tikzpicture}
    \fill[gray!20,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
    \fill[gray!10] (0,0) circle (2);
    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
    \draw
    (110:1.8)node[blue]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}  (110:-1.8)node[blue]{{\Large$\otimes$}}
    (230:1.8)node[red]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (230:-1.8)node[red]{{\Large$\otimes$}}
    (350:1.8)node[green]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (350:-1.8)node[green]{{\Large$\otimes$}};

\draw
    (90:2.5)node[blue!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (90:-2.5)node[blue!50!black]{{\Large$\otimes$}}
    (210:2.5)node[red!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (210:-2.5)node[red!50!black]{{\Large$\otimes$}}
    (330:2.5)node[green!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (330:-2.5)node[green!50!black]{{\Large$\otimes$}};
    \draw[-latex] (0,0) -- (20:3.5) ;
    \draw[-latex] (3.2,0) arc(0:20:3.2) node[midway,right]{$\theta_r$};
    \draw[very thick,-latex] (0,0) -- (45:3.5)node[above]{$\overrightarrow{B_s}$};
    \draw[-latex] (3.1,0) arc(0:45:3.1) node[near end, right]{$\theta_s$};
        \draw[very thick,-latex] (0,0) -- (-45:3.5)node[below]{$\overrightarrow{B_r}$};
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Rotor triphasé}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
  \begin{minipage}[h]{1.0\linewidth}
    On a:
    \begin{itemize}
    \item Vitesse de rotation de $\overrightarrow{B_s}$ : $\omega_s$
    \item Vitesse de rotation du rotor $\omega_r$
    \item Vitesse de rotation de $\overrightarrow{B_s}$ dans le repère du rotor : $\omega_s-\omega_r$
    \item Vitesse de rotation du champ $\overrightarrow{B_r}$ induit dans le rotor dans le repère du stator : $\omega_s$.
    \end{itemize}
    \begin{prop}
      Le champ induit dans le rotor et le champ du stator  tournent à la même vitesse, appelé \emph{la vitesse de synchronisme}
    \end{prop}
  \end{minipage}
\end{subfigure}
\end{figure}

\section{Modélisation de la machine asynchrone}
On considère une machine  triphasé au rotor et au stator à une paire de pôle:

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw[red] (0:1.5) node(As){} to[L,v=$V_{as}$,i^<=$i_{as}$,color=red] ++(0:2.5);
    \draw[red] (120:1.5)node(Bs){} to[L,v=$V_{bs}$,i^<=$i_{bs}$,color=red] ++(120:2.5);
    \draw[red] (240:1.5)node(Cs){} to[L,v=$V_{cs}$,i^<=$i_{cs}$,color=red] ++(240:2.5);
    \draw[dashed] (As) -- (0,0) (Bs) --(0,0) (Cs) --(0,0);

    \draw[blue] (35:1) node(Ar){} to[L,v^=$V_{ar}$,i_<=$i_{ar}$,color=blue] ++(35:2.5);
    \draw[blue] (155:1)node(Br){} to[L,v^=$V_{br}$,i_<=$i_{br}$,color=blue] ++(155:2.5);
    \draw[blue] (275:1)node(Cr){} to[L,v^=$V_{cr}$,i_<=$i_{cr}$,color=blue] ++(275:2.5);
    \draw[dotted] (Ar) -- (0,0) (Br) --(0,0) (Cr) --(0,0);
    \draw (0,0) circle(4);
    \draw[dotted] (0,0) circle(3.5);
    \draw[-latex] (4.2,0) arc(0:35:4) node[midway,right]{$\theta =\Omega t$};
  \end{circuitikz}
  \caption{Modèle électrique}

  \paragraph{Hypothèses}
  \begin{itemize}
  \item Alimentation sinus triphasé en Régime Permanent
  \item Rotor triphasé en court-circuit
  \item Couplage en étoile des enroulements équilibrés
  \item Fmm sinusoïdales, pas de saturation magnétiques
  \end{itemize}
\end{figure}
$\omega_s$ pulsation des courants statorique
\subsection{Mise en équation}
\subsubsection{Équation statorique}

On a  les équations suivantes  pour le stator:
\begin{align*}
  v_{as} &= R_s i_{as}(t)+\deriv[\Phi_{as}(t)]{t}\\
  \Phi_{as}(t) &= L_{s} i_{as} + M_s(i_{bs}+i_{bs}) \\&\quad+M_0 (\cos(\theta)i_{ar}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})i_{cr}(t))\\
  \Phi_{as}(t) &= (L_s-M_s) i_{as}(t)+\frac{3M_0I_r}{\sqrt{2}}\cos(\theta+\omega_rt+\phi_r+\theta_0) \\
  \Phi_{as}(t) &= (L_s-M_s) i_{as}(t)+\frac{3M_0I_r}{\sqrt{2}}\cos(\omega_st+\phi_s)
\end{align*}
On en déduit donc (Dans le formalisme complexe de l'ARQS)
\[
  \underline{V_{as}} = R_s \underline{I_s}+jL_{sc}\omega_s\underline{I_{as}}+j \frac{3}{2}M_0\omega_sI_r
\]
$I_r$ est à la pulsation $\omega_s$ !

\subsubsection{Équations rotoriques}

On fais les mêmes calculs pour le rotor :

\begin{align*}
  v_{ar}(t) &= R_ri_{ar}(t) + \deriv[\Phi]{t}\\
  \Phi_{ar}(t) &= (L_{r}-M_r) i_{ar} +M_0( \cos(\theta)i_{as}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})i_{cr}(t))\\
  \Phi_{ar}(t) &= (L_{r}-M_r) i_{ar} +\frac{3M_0I_s}{\sqrt{2}} \cos(\Omega t-\omega_st+\theta_0-\phi_s) \\
  \Phi_{ar}(t) &= L_{rc} i_{ar} +\frac{3M_0I_s}{\sqrt{2}} \cos(\omega_rt +\phi_s')
\end{align*}

Donc on a dans le formalisme complexe de l'ARQS, avec le rotor en court-circuit:

\[
  V_{ar} = R_rI_{ar}+jL_{rc}\omega_rI_{ar}+j\frac32 M_0\omega_rI_s =0
\]
Soit en posant $g= \frac{\omega_s-\Omega}{\omega_s}=\frac{\omega_r}{\omega_s}$:
\[
  \frac{\underline{V_{ar}}}{g} = 0 = \frac{R_r}{g} + jL_{Rc}\omega_sI_{ar}+j\frac32 M_0 \omega_sI_s
\]

\subsubsection{Modèle par analogie}
On a donc un couplage magnétique et on peux construire un modèle équivalent:
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2) to[R,l=$R_s$,i>=$I_s$]++(2,0)to[short] ++(1,0) to[L,l_=$L_{sc}$] ++(0,-2) -- ++(-3,0);
    \draw (4,0) to[L,l_=$L_{rc}$] ++(0,2)
    to[short,i=$I_r$] ++(2,0)
    to[R,l=$R_r/g$] ++(0,-2) to[short] ++(-2,0);
  \end{circuitikz}
  \caption{Modèle électrique équivalent}
\end{figure}

Le couplage n'est pas parfait: $\frac{3}{2}M_0 < \sqrt{L_{sc}L_{rc}}$. On fait l'analogie avec un transformateur parfait avec pertes :

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) node[gyrator](G){}
    (G.A1) -- ++(-1,0) coordinate(M) to[L,l_=$L_{sc}$] ++(0,-2) |- (G.A2)
    (G.B1) to[L,l=$l_{fuites}$] ++(2,0) to[R,l=$R_r/g$] ++ (0,-2) |- (G.B2)
    (M) to[R,l=$R_s$] ++(-2,0)
    (G.A2) --  ++(-3,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2);
\draw[latex-latex] (G.A1)++(0,0.2) to[bend left] ++(2,0) node[midway, above=1.5em]{$m$}
    ;
  \end{circuitikz}
  \caption{Modèle électrique équivalent}
\end{figure}

On a donc l'impédance équivalente suivante à alimenter:

TBA

\subsection{Bilan de puissance}

\begin{align*}
  P_{transmise} &= \frac{R_r}{g}I_r^2 \\
 P_{Joules} &= R_r I_r^2 \\
 P_{meca} &= P_{transmise}-P_{joules} = R_rI_r(\frac{1}{g}-1)
\end{align*}

\end{document}