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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\section{Probabilités}
\subsection{Évènement}
\begin{itemize}
\item La réalisation d'une expérience aléatoire (on ne peux pas prédire avec certitude le résultat) est un \textit{évènement} $\omega$, singleton de $\Omega$ ensembles de tous les évènements.
  \begin{exemple}[jet de dé]
    aux évènements    ``Tirer 1, ... ,6 `` on associe $\Omega={\omega_1,...\omega_6}$
  \end{exemple}
\item $\mathcal{E} $est une tribu (ou $\sigma$-algèbre) de $\Omega$, tel que:
  \begin{itemize}
  \item $\Omega \in \mathcal{E}$
  \item $\mathcal{E}$ est stable par union , intersection et complémentarité.
  \end{itemize}
\end{itemize}
\subsection{Probabilités}
\begin{defin}
  On appelle probabilité :
  \[
    P : \begin{cases}
      \mathcal{E} &\to [0,1]\\
      E &\mapsto P(E)
        \end{cases}
   \]
   tel que:

   \begin{itemize}
   \item $    P(\Omega) = 1 $
   \item $ \forall E_i , i\in \mathbb{I} \text{ , desév disjoint 2 à 2}, \implies
     P\left(\displaystyle\bigcup_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\sum_{\mathbb{I}} P(E_i)$
   \end{itemize}

 \end{defin}

\pagebreak
 \begin{prop}
   \begin{itemize}
   \item  $ P(\bar{E}) = 1-P(E)$
   \item $(P(\emptyset) = 0)$
   \item $A \subset B  \implies P(A) \leq P(B)$
   \item $P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
   \end{itemize}
 \end{prop}
\subsection{Probabilités conditionnelles}

\begin{defin}
  Soit $A$ et $B$ deux évènements.  On appelle \emph{probabilité conditionnelle} la probabilité de $A$ sachant que  $B$ est réalisé:
  \[
    P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}
  \]
\end{defin}
\begin{prop}[Formule de Bayès]
  \[
    P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
  \]
\end{prop}

\subsection{Indépendance}
\begin{defin}
  Deux évènements $A$ et $B$ sont dits \emph{indépendant} si et seulement si le fait que $A$ est réalisé n'apporte pas d'information sur la réalisaiton de $B$
    \begin{align*}
      & P(A|B) = P(A)\\
      \iff & P(B|A) = P(B)\\
      \iff & P(A\cap B) = P(A) .P(B)
    \end{align*}
\end{defin}
\begin{defin}
  Des évènements $(E_i)_{i\in\mathbb{I}}$  sont dits mutuellement indépendants (ou encore indépendants dans leur ensemble), si et seulement si:
  \[
  P\left(\displaystyle\bigcap_{i\in\mathbb{I}}E_i\right) = \displaystyle\prod_{\mathbb{I}} P(E_i)
\]
\end{defin}

\begin{prop}
  L'indépendance dans son ensemble implique l'indépendance deux à deux. \\
  La réciproque n'est pas forcément vraie.
\end{prop}
\section{Variable aléatoire réelle et scalaire}
On se place dans un espace probabilisé $\Omega$ donné.
\subsection{Généralité et exemple}
\begin{defin}
  On appelle \emph{Variable aléatoire} (VA) :
  \[
    X :
    \begin{cases}
      \Omega \to \R \\
      \omega \mapsto X(\omega)=x
    \end{cases}
  \]
\end{defin}
\begin{exemple}
  \begin{itemize}
  \item Dé à n faces (discret)
  \item distance d'une flèche au centre de la cible.
  \end{itemize}
\end{exemple}
\begin{prop}
  Pour des variables aléatoires continues,
  \[
    P(X=x) = 0 , \forall x\in \R
  \]
  car $x$ est un point de mesure nulle.
\end{prop}


\subsection{Fonction de répartition}

\begin{defin}
  On appelle fonction de répatition:
  \begin{align*}
    F_X(x) &= P(X\leq x) = P(X \in ]-\infty,x])\\
           &=P(\{\omega \in \Omega|X(\omega)\le x \})
  \end{align*}
\end{defin}
\begin{prop}
  \begin{itemize}
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117
  \item $0 \le F_X(x) \le1$
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  \item $P(a\le X\le b) = F_X(b)-F_X(a)$
  \item $F_x$ est une fonction :
    \begin{itemize}
    \item non décroissante
    \item continue presque partout
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{prop}

Une variable aléatoire est complétement caractérisée par sa f.d.r
\begin{rem}
  Dans le cas d'une VAD , $F_X$ est en marche d'escalier.
\end{rem}
\subsection{Densité de probabilité}
\begin{defin}
  On appelle \emph{densité de probabilité} la fonction :
  \[
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135
f_X(x) \equals_{\mathcal{D}} \deriv[F_X(x)]{x}
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\]
Avec la dérivée généralisé au sens des distributions.
\end{defin}
\begin{prop}
  \begin{itemize}
  \item Les fonction de densité de probabilité et de répartition sont équivalentes pour décrire une variable aléatoire.
  \item $f_X(x)\ge 0$
  \item $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\d x = 1$
  \item $\displaystyle \int_{-\infty}^{x}f_X(\alpha)\d \alpha = F_X(x)$
  \end{itemize}
\end{prop}

\begin{rem}
  Pour les variables aléatoires discrètes, la ddp est une suite d'impulsion de Dirac :
  \[
    f_X(x) = \sum_{i\in\mathbb{I}}p_i\delta(x-x_i)
  \]
\end{rem}

\begin{exemple}
  \begin{itemize}
  \item VAC uniforme sur $[a,b]$:
    \[
      f_X(x) = \frac{1}{b-a} \mathbb{1}_{[a,b]}
    \]
  \item VAC gaussienne :
    \[
      f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} exp\left(\frac{-1}{2}\frac{(x-m_x)^2}{\sigma_X^2}\right)
    \]
  \end{itemize}
\end{exemple}

\subsection{Changement de VA}
\begin{prop}
  Soit $g :
  \begin{cases}
    \R \to \R \\
    X \mapsto g(X) = Y
  \end{cases}$ une fonction homéomorphique\footnotemark \\
  Alors :
  \[
    f_Y(y) = f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right| = f_X(x) \frac{1}{ \left|\deriv[y]{x}\right|}
  \]
  Dans le cas ou $g$ n'est pas bijective :
  \[
    f_Y(y) = \sum_{x_i|g(x_i)=y}^{}f_X(x) \left|\deriv[x]{y}\right|_{x=x_i}
  \]
\end{prop}
\footnotetext{continue, bijective continue}

\subsection{Expérance, moment et fonction caractéristique}
187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208
\begin{defin}
  pour $g \R \to\C^p$
  On appelle \emph{espérance} d'une variable aléatoire la grandeur:
  \[
    E(g(X)) = \int_{\R}^{} g(x)f_X(x)\d x
  \]
Dans le cas discret on a:
\[
  E(g(X)) = \sum_{\mathbb{I}}^{}g(x_i)P(X=x_i)
\]
\end{defin}
\begin{prop}
  L'espérance est linéaire (sous réserve d'existance):
  \begin{itemize}
  \item $E[c]=c$
  \item $E[cg(x)]=cE[g(x)]$
  \item $E[g(x)+h(x)] =E[g(x)]+E[h(y)]$
  \end{itemize}
\end{prop}
\begin{rem}
  On note aussi $E[X]=m_X = m$ ``moyenne de la variable aléatoire''. Si $m$ = 0 on dit que la VA est centrée.
\end{rem}
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209

210 211 212 213 214 215 216 217 218
\begin{defin}
  On appelle \emph{momemt d'ordre $k$}:
  \[
    m_k = E[X^k]
  \]
Le \emph{moment centré d'ordre $k$ :}
  \[
    m_k = E[(X-m_X)^k]
  \]
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219

220 221 222 223 224 225 226 227 228
Le moment $\mu_2$ est aussi appelé la \emph{variance}
\end{defin}
\begin{rem}
  on note $\sigma_x = \sqrt{v_x}$ l'écart type de X. Il mesure la dispersion autour de $m_x$.
On défini la variable centrée réduite associée à $X$:
\[
  X_r = \frac{X-m_X}{\sigma_X}
\]
\end{rem}
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229
\subsection{Fonction caractéristique}
230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247

\begin{defin}
  On appelle fonction caractéristique:
\[
  \phi_X(u) = E[exp(juX)] = \int_{-\infty}^{+\infty}
\]
\end{defin}
\begin{prop}
  \begin{itemize}
  \item $\phi_X(u)$ existe toujours $|\phi_X(u)|\le\phi_X(0)=1$
  \item Symétrie hermitienne
  \item $\phi_X(u)$ est continue même pour des VA discrètes
  \item On appelle 2ème fonction de répartition $\Psi_X(u)=\ln(\phi_X(u))$
  \item \[
      m_k = (-j)^k\left.\deriv[^{k}\phi_X(u)]{u^k}\right|_{u=0}
    \]
  \end{itemize}
\end{prop}
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248 249
\section{Couple de variable aléatoire réelles}
\subsection{Généralité}
250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263
\begin{defin}
  Un couple de variable aléatoire est défini comme:
  \[
    Z
    \begin{cases}
      \Omega \to \R^2\\
      \omega \mapsto Z(\omega) = \vect{X(\omega)\\Y{\omega}}
    \end{cases}
  \]
  On défini également:
  \[
    Z^{-1} : \mathcal{D} \mapsto Z^{-1}(\mathcal{D}) = E_D \subset \mathcal{E}
  \]
\end{defin}
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264
\subsection{Fonction de répartition}
265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302
\begin{defin}
  \begin{itemize}
  \item fonction de répartition conjointe:
    \begin{align*}
      P(X<x;Y<y) &=F_{XY}(x,y)\\
                 &=P((x,y)\in \mathcal{D})\\
                 &=F_Z(z)
    \end{align*}
  \item fonction de répartition marginale
    \begin{align*}
      F_{X}(x)=P(X<x) &= F_{XY}(x,+\infty)\\
                      &=P((x,y)\in\mathcal{D}_X)
    \end{align*}
  \end{itemize}
\end{defin}

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{scope}
      \draw[-latex] (-1,0) -- (4.1,0);
      \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4.1);
      \fill[pattern= north east lines] (2,-1) rectangle (4,4);
      \fill[pattern= north east lines] (-1,2) rectangle (4,4);
      \draw (-1,2) -- (4,2);
      \draw (2,-1) -- (2,4);
      \node at (1,1) {$\mathcal{D}_{xy}$};
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(6,0)}]
      \draw[-latex] (-1,0) -- (4.1,0);
      \draw[-latex] (0,-1) -- (0,4.1);
      \fill[pattern= north east lines] (2,-1) rectangle (4,4);
      \draw (2,-1) -- (2,4);
      \node at (1,1) {$\mathcal{D}_x$};
    \end{scope}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Représentation des domaines d'existence possible pour $X,Y$}
\end{figure}
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303
\subsection{Densité de probabilité}
304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332
\begin{defin}
  on défini la densité de probabilité conjointe:
  \[
    f_{XY} = \derivp[^2F_{XY}(x,y)]{x\partial y }
  \]
\end{defin}

\begin{prop}
  densité de probabilité conjointe et fonction de répartition sont reliées:
  \[
    \int_{-\infty}^{x^-}\int_{-\infty}^{y^-} f_{XY}(\alpha,\beta)\d \alpha \d \alpha = F_{XY}(x,y)
  \]

  et :
  \[
    \int_{-\infty}^{x}\int_{\R}^{}f_{XY}(\alpha,\beta)\d \beta = F_{XY}(x,\infty) =F_X(x)
  \]
\end{prop}
\begin{defin}
  À partir de la fonction de répartion  marginale on peux définir la loi marginale de $X$ :
  \[
    f_X(x) = \deriv[F_X(x)]{x} =\int_{\R}^{}f_{XY}(x,y)\d y
  \]
  Et alors la loi  conditionelle de $X$ sachant $Y$:
  \[
    f_{X|Y}(x) = \frac{f_{XY}(x,y)}{f_{Y(y)}}
  \]
\end{defin}

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333
\subsection{Indépendance}
334 335 336 337 338 339 340
\begin{defin}
  On dit que $X$ et $Y$ sont indépendant:
  \begin{description}
  \item[$\iff$] $F_{XY}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
  \item[$\iff$] $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
  \end{description}
\end{defin}
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341
\subsection{Changement de VA}
342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374
\begin{prop}
  On considère :
  \[
    g
    \begin{cases}
      \R^2 \to \R^2\\
      Z =(X,Y) \mapsto W =(U,V)=g(X,Y)
    \end{cases}
  \]
  Alors:
\[
  f_W(w) = f_Z(z)|J|
\]
où :
\[
J =
\begin{pmatrix}
  \displaystyle\derivp[x]{u} & \displaystyle\derivp[x]{v}\\[1em]
  \displaystyle\derivp[y]{u} & \displaystyle\derivp[y]{v}
\end{pmatrix}
\]
\end{prop}
\begin{rem}
  Il est parfois plus simple de calculer:
  \[
|K| =\left|
\begin{array}{cc}
  \displaystyle\derivp[x]{u} & \displaystyle\derivp[x]{v}\\[1em]
  \displaystyle\derivp[y]{u} & \displaystyle\derivp[y]{v}
\end{array}\right|
\]
Au quel cas on a : $f_W(w) = f_Z(z)\frac{1}{|K|}$
\end{rem}
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375
\subsection{Espérance et moments-fonction caractéristique}
376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435
Dans la suite on considère la fonction suivante :
\[
  g :
  \begin{cases}
    \R^2 \to \C^p\\
Z = (X,Y) \mapsto g(Z) = \vect{g_1(X,Y)\\ \vdots \\ g_p(X,Y)}
  \end{cases}
\]
\begin{thm}[Théorème de transfert]
  On a :
  \[
    E[g(z)] = \iint_{\R^2} g(X,Y)f_{X,Y}(x,y)\d x\d y
  \]
\end{thm}
\begin{prop}
  Dans le cas de VA indépendante et  pour $g$ séparable on a : $g(X,Y) = g_X(X)g_Y(Y)$ et alors :
  \[
    E[g(X,Y)]= E[g_X(X)]E[g_Y(Y)]
  \]
\end{prop}
\begin{defin}
  On peux également définir les moments d'un couple de VA:
  \begin{itemize}
  \item Moment d'ordre 1
\[
  E[Z] = m_Z = \vect{m_X\\m_Y}
\]
\item Moment d'ordre 2 (Matrice de corrélation)
\[
  E[ZZ^T] =E \left[\vect{X^2 & XY \\ XY & Y^2}
  \right] = \vect{E[X^2] & E[XY] \\ E[XY] & E[Y^2]} = C_{ZZ}
\]
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{rem}
  $C_{ZZ}$ est symétrique positive: $ C_{ZZ}\in S_n^+(\R)$
\end{rem}

\begin{defin}
  On appelle matrice de covaraince la matrice de corrélation des variables centrées:
\[
  \Sigma_{ZZ}= E[(X-m_x)(Y-m_Y)^T] = \vect{\sigma_x^2 & \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y \\  \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2}
\]

$\rho_{XY} = \frac{E[(X-m_X)(Y-m_y)^T]}{\sigma_x\sigma_y} =E[X_rY_r]$ est le \emph{coefficient de corrélation}
\end{defin}


\begin{prop}
  \begin{itemize}
  \item $\Sigma_{ZZ}\in S_n^+$
  \item $ \rho_{XY} < 1$
  \item  $\rho_{XY}=1$ ssi $\exists a,b,c \neq 0, aX+bY+c =0$. Les variables sont alignées.
  \item Si $\rho_{XY}=0$ on dit que les variables sont décoréllées
  \end{itemize}
\end{prop}

\begin{thm}
  L'indépendance de 2 variables aléatoires implique leur non corrélation.
436

437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462
  La réciproque n'est vraie que dans le cas gaussien.
\end{thm}
\subsection{Espérance de loi conditionnelle}

\begin{defin}
  On note
  \[
    E[X|Y=y] = \int_{\R}^{}xf_{X|Y=y}(x)\d x = m_X(y)
  \]
  \emph{l'espérance conditionnelle} de la VA $X$ sachant $Y=y$
\end{defin}
\begin{prop}
  On a :
  \[
    E[m_x(y)] = E[X]
  \]
\end{prop}
\begin{proof}
  Directement :
  \begin{align*}
    E[m_X(y)]&= \int_{\R}^{}m_X(y)f(y)\d y\\
             &=\int_\R\int_\R x f_{XY}(x,y)\d x\d y\\
             &=\int_{\R^2}^{}x f_{XY}(x,y)\d x\d y\\
             &= E[X]
  \end{align*}
\end{proof}
463

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464 465
\section{Variable aléatoire vectorielle et réelles}
\subsection{Définition}
466 467 468 469 470 471 472 473 474 475
\begin{defin}
  On généralise la notion de variable aléatoire et de couple de variable aléatoire :
  \[
    X :
    \begin{cases}
      \Omega \to \R^n\\
      \omega \mapsto X(\omega) =\vect{X_1\\ \vdots\\ X_n}
    \end{cases}
  \]
\end{defin}
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476
\subsection{Fonction de répartition}
477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490
\begin{defin}
  \begin{itemize}
  \item Fonction de répartition conjointe:(toutes les composantes jouent le même rôle)
    \[
      F_{X_1...X_n}(x_1...x_n) = P \left(\bigcap_{i=1}^nX_i<x_i\right)
    \]
    \item Fonction de répartition marginale de $X_i$:
      \[
        F_{X_i}=P(X_i<x_i)= P\left(X_i<x_i ; \bigcap_{j\neq i}X_j< +\infty \right)
      \]
  \end{itemize}

Les propriétés démontrées dans le cas 2 se généralise au cas vectoriel.
\end{defin}
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491
\subsection{Densité de Probabilité}
492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515
\begin{defin}
On défini la densité de probabilité conjointe:
\[
  f_X(x) = \derivp[^n]{\vec{x}} F_\vec{X}(\vec{x})
\]
Et alors :
\[
P(X\in\mathcal{D}) = \int_{\mathcal{D}}f_X(x)\d x = \iint_{\mathcal{D}} ... \int f_{\vec{X}}(\vec{x}) \d \vec{x}
\]
\end{defin}
\begin{defin}
  On généralise de même les notions de ddp margianle et conditionnelle:
  \begin{itemize}
  \item ddp marginale:
    \[
      f_{X_i}(x_i)= \frac{\d^n F_{x_i}(x_i)}{\d x_i} = \int_{\R^{n-1}}f_{\vec{X}}(\vec{x})\d x_1 ... \d x_{i-1}\d x_{i+1} ...\d x_n
    \]
  \item ddp conditionnelles:
    On considère $Y$ et $Z$ de VA vectorielles:
    \[
      f_{\vec{Y}|\vec{Z}=\vec{z}}(\vec{y}) = \frac{f_{\vec{YZ}}(\vec{y},\vec{z})}{f_{\vec{Z}(z)}}
    \]
  \end{itemize}
\end{defin}
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516
\subsection{Indépendance}
517 518 519 520 521 522 523
\begin{thm}
  On donne une CNS d'indépencande dans leur ensemble des VA $X_i$:
  \[
    F_{\vec{X}}(\vec{x})= \prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(x_i) \iff f_{\vec{X}}(\vec{x}) = \prod_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i)
  \]
  L'indépendance dans leur ensemble implique l'indépendance 2à2.
\end{thm}
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524
\subsection{Changement de variable aléatoire}
525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538

\begin{prop}
  Pour $g
  \begin{cases}
    \R^n \to \R^n\\
    \vec{X} \mapsto g(\vec{X})=\vec{Y}
  \end{cases}$ On peux définir le changement de variable:
  \[
    f_{\vec{Y}(\vec{y}} =f_{\vec{X}}{\vec{x}}|\vec{J}| = f_{\vec{X}}(\vec{x}) \frac{1}{|\vec{K}|}
  \]
  où :
  $\vec{J} = \derivp[\vec{x}]{\vec{y}^T}=x_{i,j}$ et $K = \derivp[\vec{y}]{\vec{x}^T} =y_{j,i}$
\end{prop}

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539
\subsection{Espérance, moments et fonction caractéristique}
540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565
\begin{thm}[Théorème de transfert]
  \[
    E[g(\vec{X})] = \int_{\R^n}^{}g(\vec{X})f_{\vec{X}}(\vec{x})\d\vec{x}
  \]
\end{thm}

\begin{defin}
  \begin{itemize}
  \item Moment d'ordre 1:
    \[
      \vec{m_x}= E[\vec{X}]
    \]
  \item Moment d'ordre 2: (matrice de corrélation)
    \[
      \vec{C_{XX}}=E[\vec{X}\vec{X}^T]\ge 0
    \]
  \item Moment centrée d'ordre 2: (matrice de covariance)
    \[
      \vec{\Sigma_{XX}} = E[(\vec{X-m_x})(\vec{Y-m_y})^T]
    \]
  \item Fonction caractèristique:
    \[
      \phi_{\vec{X}}(\vec{u})= E[e^{j\vec{u}^T\vec{X}}]
    \]
  \end{itemize}
\end{defin}
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566
\subsection{Va Gaussienne et réelle}
567 568 569 570 571 572 573
\begin{defin}
  On dit que $X = \vec{X_1\\ \vdots\\ X_n}$ est une VA gaussienne:
  \begin{description}
  \item[$\iff$] $X_i$ sont gaussiens et indépendants dans leur ensembles
  \item[$\iff$] $\sum_{i=1}^{n} \alpha_iX_i$ est une gaussienne.
  \end{description}
\end{defin}
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574

575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596
\renewcommand{\N}{\quad\mathcal{N}}
\begin{prop}
  \begin{itemize}
  \item $\vec{X} \N \implies X_i \N$. La réciproque n'est pas vraie (cf ex 9/10 p 14 du fascicule)
  \item $\vec{X} \N \implies $ loi conditionnelle gaussienne.
  \item $X_i \N$ et indépendantes dans leur ensemble $\implies \vec{X} \N$.
  \item $\vec{X} \N$ et $X_i$ indépendants 2à2 $\implies$ indépendant dans leur ensemble.
  \item $\vec{X} \N \implies \vec{ Y =AX+B } \N$
  \end{itemize}
\end{prop}
\section{Extension aux VA complexes}
\begin{defin}
  On généralise \emph{encore}:
  \[
    \vec{Z}
    \begin{cases}
      \Omega \to \C^p\\
      \omega \mapsto \vec{Z}(\omega) = \vec{X}+j\vec{Y}
    \end{cases}
  \]
\end{defin}
\paragraph{Notation} : $\vec{Z}^\dagger = (\vec{Z}^{*})^T$ transposé conjugué.
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597

598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621
\begin{prop}
  \begin{itemize}
  \item Fonction de répartition:
    \[
      f_{\vec{Z}}(\vec{z})= P(\vec{X}<\vec{x} ; \vec{Y}< \vec{y})
    \]
  \item Matrice  de corrélation:
    \[
      \vec{C_{zz}} = E[\vec{Z}\vec{Z}^\dagger]
    \]
  \item Matrice de covariance:
    \[
      \vec{\Sigma_{ZZ}} = E[(\vec{Z-m_z})(\vec{Z-m_z})^\dagger]
    \]
  \item Fonction caractéristique:
    \[
      \phi_{\vec{Z}}(\vec{u}) = E[e^{j\vec{u}^\dagger \vec{Z}}]
    \]
  \item La linéarité de l'espérance donne également:
    \[
      E[g(\vec{Z})^*]= E[g(\vec{Z})]^*
    \]
  \end{itemize}
\end{prop}
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622 623 624 625 626 627 628

\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: