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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}

% Big schéma
% \imgt{4/6}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \draw (0,0)node[below left]{$x_c(t)$}to[short,o-] ++(1,0)to[spst] ++(2,0) coordinate (E) to[C] ++(0,-2) node[ground]{};
    \draw[dashed] (1,1) rectangle (4,-2) (2.5,1){node[above]{Echantilloneur bloqueur}} ;
    \sbBlocL{can}{CAN}{E}
    \sbBlocL{F}{
      \begin{tabular}{c}
Filtre \\linéaire
      \end{tabular}
    }{can}
    \sbBlocL{cna}{CNA}{F}
    \draw (cna) -- ++(1,0) to[lowpass,-o] ++(2,0) node[below right]{$y_c(t)$};
  \end{tikzpicture}
  \caption{Traitement numérique d'un signal analogique}
\end{figure}

\subsection{Convertisseur numérique analogique}

\subsubsection{Principes}

% CNA
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
    \draw (0,0) node[left]{$\underbracket{a_{n-1}...a_0}_{\text{n bits}}$} -- (1,0) (1,1)node[below right]{$\#$} rectangle (3,-1)node[above left]{$\sim$} (1,-1) -- (3,1);
    \draw[-latex] (3,0) -- ++(1,0) node[right]{$x$};
  \end{tikzpicture}
  \[
    x =V_{ref} \sum_{k=0}^{n-1}a_k2^k
  \]
\end{center}

38
\subsubsection{Caractéristiques de transfert}
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines= middle,
      xmin=0,xmax=6,
      ymin=0,ymax=5,
      xtick={0,1,2,3,4},
      xticklabels={00,01,10,11},
      x tick label as interval,
      ytick={1,2,3},
      domain=0:4,
      yticklabels={$V_{ref}$,$2V_{ref}$,$3V_{ref}$},
      ]
      \addplot[dashed,black]{x};
      \addplot[black,thick] plot coordinates
       {(0,0)(1,0)(1,1)(2,1)(2,2)(3,2)(3,3)(4,3)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{résolution du convertisseur}
\end{figure}

Résolution du convertisseur = impact du bit $a_0$ (LSB) = quantum de conversion :
\[ q = \frac{E}{2^n -1} \text{ avec } E = V_{ref} \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = V_{ref} (2^n -1) \]

65 66
\subsubsection{Défauts}

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191
\begin{figure}[H]\centering
  \begin{subfigure}{0.3\linewidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}
        [axis lines= middle,width=5cm,height=5cm,
        ticks=none,
        xlabel=$(a_{n-1}...a_0)$,
        ylabel=$x$,
        xmin=0,xmax=4.5,ymin=0,ymax=3.5]

      \addplot[black]plot coordinates{(0,0) (3,3)};
      \addplot[black]plot coordinates{(1,0) (4,3)};
      \draw (axis cs:3,3) node[above]{ref}
      (axis cs:4,3) node[above]{reelle};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \subcaption{Erreur de décalage}
  \end{subfigure}%
  \begin{subfigure}{0.3\linewidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}
        [axis lines= middle,width=5cm,height=5cm,
        ticks=none,
        xlabel=$(a_{n-1}...a_0)$,
        ylabel=$x$,
        xmin=0,xmax=4.5,ymin=0,ymax=3.5]

      \addplot[black]plot coordinates{(0,0) (3,3)};
      \addplot[black]plot coordinates{(0,0) (3,2.5)};
      \draw (axis cs:3,3) node[above]{ref}
      (axis cs:3,2.5) node[right]{reelle};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \subcaption{Erreur de gain}
  \end{subfigure} \\

  \begin{subfigure}{0.3\linewidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}
        [axis lines= middle,width=5cm,height=5cm,
        ticks=none,
        xlabel=$(a_{n-1}...a_0)$,
        ylabel=$x$,
        xmin=0,xmax=4.5,ymin=0,ymax=3.5]

      \addplot[black]plot coordinates{(0,0) (3,3)};
      \addplot[black]plot coordinates{(0,0) (2,2)(3,2) (4,3)};
      \draw (axis cs:3,3) node[above]{ref}
      (axis cs:4,3) node[above]{reelle};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \subcaption{Erreur de linéarité}
  \end{subfigure}%
\begin{subfigure}{0.3\linewidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \begin{axis}
        [axis lines= middle, width=5cm,height=5cm,
        ticks=none,
        xlabel=$(a_{n-1}...a_0)$,
        ylabel=$x$,
        xmin=0,xmax=4.5,ymin=0,ymax=3.5]

      \addplot[black]plot coordinates{(0,0) (3,3)};
      \addplot[black]plot coordinates{(0,0) (2,2) (3,1.5) (4,2.5)};
      \draw (axis cs:3,3) node[above]{ref}
      (axis cs:4,2.5) node[above]{reelle};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \subcaption{Erreur de monotonicité}
  \end{subfigure}

\caption{Différentes erreurs possibles}
\end{figure}
Pour l'erreur  de monotonicité, plusieurs séquence de bits conduisent à une même valeur analogique.

Ce sont des défauts n'apparaissant pas systématiquement mais qui peuvent apparaître en transitoire ou à mesure que le convertisseur se dégrade en fonctionnement.

On a les mêmes problèmes possibles sur les CAN, induits par des problèmes de fiabilité dans l'utilisation des convertisseurs, voire de variabilité sur les technologies CMOS les plus avancées (sensibles à des défauts à l'échelle d'un atome).

\subsubsection{Réalisation}

\paragraph{Structures directes à courants pondérés}

\begin{itemize}

\item Principe
%\img{0.5}{4/13}
\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \begin{subfigure}{0.5\linewidth}
      \centering
    \begin{tikzpicture}
      \foreach \y/\l in {-3/0,-2/1,0/k,1/n-2,2/n-1}
      {\draw (0,\y)to[spst,l=$a_{\l}$] ++(1,0) to[I,i={$2^{\l}I_0$}]++(3,0);}
      \draw (0,-3) -- (0,-2) (4,-3)--(4,-2)
            (0,0) --(0,2) (4,0) --(4,2);
      \draw[dashed] (0,-2) --(0,0) (4,-2)--(4,0);
      \draw (0,0) -- ++(-0.5,0)
      (4,0) to[R,l_=$R$,v^<=$x$] ++(2,0) node[ground]{};
    \end{tikzpicture}
    \subcaption{Schéma théorique}
  \end{subfigure}%
  \begin{subfigure}{0.5\linewidth}
    \begin{tikzpicture}
      \foreach \y/\l in {-3/0,-2/1,0/k,1/n-2,2/n-1}
      {\draw (0,\y)to[spst,l=$a_{\l}$] ++(1,0) to[R,l={$2^{\l}I_0$}]++(3,0);}
      \draw (0,-3) -- (0,-2) (4,-3)--(4,-2)
            (0,0) --(0,2) (4,0) --(4,2);
      \draw[dashed] (0,-2) --(0,0) (4,-2)--(4,0);
      \draw (0,0) node[above left]{$V_{DD}$} to[o-] ++(-1,0)
      (4,0) -- ++(0.5,0) to[R,l_=$R$,v^<=$x$] ++(3,0) node[ground,rotate=90]{};
      \draw (6,-2) node[op amp](A){}
      (A.-) -| (4.5,0)
      (A.+) -- ++(-0.4,0) -- ++(0,-0.5) node[ground]{}
      (A.out) -| (7.5,0);
    \end{tikzpicture}
    \subcaption{Mise en pratique}
  \end{subfigure}
\end{center}
\caption{CNA}
\end{figure}
192 193 194 195

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item

196 197
Conduit à une conversion très rapide. Cependant dans la réalité on ne relie pas une source de courant à un interrupteur. Sinon boum.

198 199 200 201
  \[
    V_s = -RI = - R.(2^{n-1}I_0a_{n-1}+2^{n-2}I_0a_{n-2}+ ... + 2I_0a_1+I_0a_0) = -RI_0 \sum_{i=0}^{n-1}2^ia_i
\]
\item
202
En pratique on utilise des résistances:
203 204 205 206 207 208 209 210 211

  \[
    I = \frac{V_{ref}}{R_0}a_{n-1}+\frac{V_{ref}}{2R_0}a_{n-2} + ...+ \frac{V_{ref}}{2^{n-1}R_0}a_{0} = \frac{V_{ref}}{2^{n-1}R_0}\left(2^{n-1}a_{n-1}+...2a_1+a_0\right)\]

\[
  V_{s} = \frac{V_{ref}}{2^{n-1}}\frac{R}{R_0}A
\]

\end{enumerate}
212 213 214 215

Simple mais plus le nombre de bits augmente, plus on a besoin de résistances de valeurs différentes et grandes.

Problèmes de variabilité et d'intégration. OK jusqu'à 4 bits peut-être, pas vers l'infini et au-dela.
216 217 218 219 220 221

\begin{rem}
  Lors du passage de $A=2^{n}-1$ à $2^n$ tous les interrupteurs doivent commuter simultanément s'il y a disparité , apparition de glitch.
\end{rem}


222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233
\item Réseau R-2R

  % \img{0.5}{4/15}
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \draw (-1,0) node[left]{$V_{DD}$} to[short,*-] (0,0)
      to[R,l=$R$]++(2,0)
      to[R,l=$R$]++(2,0)
      to[R,l=$R$]++(2,0)
      to[R,l=$2R$]++(2,0) node[ground,rotate=90]{};
      \node[op amp] (A) at (8,-4.5){};
234 235
      \foreach \x/\l in {0/0,2/1,4/2,6/3}
      {\draw (\x,0) to[R,l=$2R$]++(0,-2)++(0,-0.5) node[spdt,rotate=-90,](s-\x){} node[right=0.8em]{$a_\l$};
236 237 238 239 240 241 242 243 244 245
        \draw (s-\x.out 1) |- (A.-) (s-\x.out 2) node[ground]{};
      }
      \draw (A.+)-- ++(0,-0.5) node[ground]{} (A.-) -- ++(0,1) to[R,l=$R$]++(2.5,0) |- (A.out) to[short,-o]++(1,0);
      \end{tikzpicture}
  \caption{Structure R-2R}
\end{figure}
Même résultat mais avec 2 valeurs de résistances à contrôler qui peuvent être faibles.
\end{itemize}

\paragraph{Structure à conversion indirecte}.\\
246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283
Pour de la conversion indirecte on passe par une l'utilisation d'une PWM qui peux être analogiue ou numérique:
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \draw (0,0) node[op amp](AO){}
    (AO.out) node[right](AOout){};
    \begin{axis}[
      at={(AO.-)}, anchor=south east,
      height=3cm,width=5cm,
      axis lines =middle,
      ylabel=$V_+$,ylabel style={anchor=south},
      xlabel=$t$,ticks=none,
      xmin=0, xmax=4.5,ymin=-2,ymax=2]
      \addplot[black] plot coordinates {(0,-2) (2,2)(2,-2)(4,2)(4,-2)};
    \end{axis}
\begin{axis}[
      at={(AO.+)}, anchor=north east,
      height=3cm,width=5cm,
      axis lines =middle,
      ylabel=$V_-$,ylabel style={anchor=south},
      xlabel=$t$,,ticks=none,
      xmin=0, xmax=4.5,ymin=-2,ymax=2]
      \addplot[black] plot coordinates {(0,1.5) (4,1.5)};
    \end{axis}
    \begin{axis}[
      at={(AOout)++(1,0)}, anchor=west,
      height=3cm,width=5cm,
      axis lines =middle,
      ylabel=$V_s$, ylabel style={anchor=south},
      xlabel=$t$,xtick=\empty,ytick={-2,2},yticklabels={+E,-E},
      xmin=0, xmax=4.5,ymin=-2,ymax=2]
      \addplot[black, dashed] plot coordinates {(0,1.5) (4,1.5)};
      \addplot[black, dashed] plot coordinates {(0,-2) (2,2)(2,-2)(4,2)(4,-2)};
      \addplot[black] plot coordinates {(0,2) (1.8,2) (1.8,-2) (2,-2) (2,2) (3.8,2) (3.8,-2)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{PWM analogique}
\end{figure}
284

285 286
On peux également également le faire de manière entièrement numérique(avec un compteur modulo N) mais retard systématique entre l'entrée et la sortie de $2^n T_e$.
Le concept est similaire a l'amplification de classe D.
287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448


\subsection{Convertisseur analogique numérique}

\subsubsection{Principes et défauts}

Exemple de quantification :
%\img{0.3}{5/1}

À une certaine plage de variation de $x_E$ on associe une valeur quantifiée $\Delta_k$ parmi $n$ valeurs possibles.

Si $x_E \in ]\Delta_k - \frac{p_k}{2}, \Delta_k + \frac{p_k}{2}]$, alors $\Delta = \Delta_k$$p_k=\Delta_{k+1} - \Delta_k$ pas de quantification.

\begin{rem}
Par la suite sur la 1e partie de 433, on ne considérera que des quantifications à pas constant : \[\Delta_{k+1}-\Delta_k=q\]

Dans la 2e partie de 433, on étudiera des stratégies à pas non uniformes, souvent utilisées dans les télécoms (pas faible pour les petites valeurs de signal, plus important pour les grandes valeurs).
\end{rem}

$2v_{max}=E$ plage de conversion

Puis codage des $n$ valeurs quantifiées sur $N$ bits (avec $2^N-1\geq n$)

\begin{exemple}

$\Delta_0 \to 0\dots00$

$\Delta_1 \to 0\dots01$

$\Delta_2 \to 0\dots10$
\end{exemple}

On a \[q=\frac{E}{2^N-1}\]

Défauts possibles ? Les mêmes que pour les CNA : erreurs de gain, de linéarité...



\subsubsection{Bruit de quantification}

$b_q=x_E-\Delta_k$ varie de $-q/2$ à $q/2$ dans le cas de l'exemple de quantification précédent.

Cet écart systématique est traité dans les systèmes électroniques comme un bruit de quantification pour évaluer son impact sur les grandeurs de sortie.

\paragraph{Calcul de la puissance de bruit} Généralement fait dans le cas où $x_E(t)$ évolue linéairement par rapport au temps,  de $-V_{max}$ à $V_{max}$

%\img{0.5}{5/2}
%\img{0.5}{5/3}

\[<b_q>=0 \text{ et } <b_q^2>=\frac{1}{T_q} \int_0^{T_q} b_q^2(t) dt = \frac{q^2}{12}\]

\paragraph{Rapport signal à bruit}
\begin{align*}
RSB_q & = 10 \log \frac{<x_c^2>}{<b_q^2>} \\
RSB_q & = 10 \log( \frac{12(2^N-1)^2}{E^2}<x_c^2>) \\
RSB_q & = N 20 \log 2 + 10 \log 12 + 10 \log \frac{<x_c^2>}{E^2} \quad \text{en supposant } 2^N >>1\\
& \approx 6N + 10,77 + 10 \log \frac{<x_c^2>}{E^2}
\end{align*}

On s'arrête là c'est-à-dire qu'on peut calculer un nombre minimal de bits nécessaires pour que $RSB_q$ dépasse une valeur limite donnée, si $<x_c^2>$ est connu

Si $<x_c^2>$ n'est pas connu, on utilise souvent une expression approchée de $RSB_q$, celle obtenue quand $x_c(t) = \frac{E}{2} \cos(2\pi f t)$

$<x_c^2> = E^2/8$ et $RSB_q = 6N+1,8$

\begin{rem}
Parfois, on rajoute à cette expression un facteur de crête $F_c$ (en dB) et la formule devient \[RSB_q=6N+1,8-F_c\]
$F_c$ représente l'influence des dépassements possibles de $x_c$ par rapport à la plage de conversion mais aussi de la forme de $x_c$...

$F_c$ : marge d'erreur sur la validité de la formule en $6N+1,8$ qu'on peut évaluer de façon empirique
\end{rem}


\subsection{Réalisation des CAN}

\subsubsection{Structures directes : convertisseurs flash ou semi-flash}

Flash : générer l'ensemble des valeurs $\Delta_k$ possibles et les comparer en même temps à $x_E$ : conversion immédiate

\begin{exemple}[Flash pour n=7]
%\img{0.3}{5/4}
\end{exemple}

Rapide mais nécessite $2^N-1$ comparateurs de tension : $N=12$ au grand maximum en pratique.

Moins de comparateurs avec une structure semi-flash :
%\img{0.3}{5/5}

Au lieu de 255 comparateurs pour une flash 8 bits

\subsubsection{Convertisseur à approximations successives}
%\img{0.3}{5/6}

Pas aussi rapide que la flash mais peut être intégré en CMOS

Stratégie :
\begin{itemize}
\item on commence avec $a_3=1$, $a_2=a_1=a_0=0$
\item si $x_E \geq x_a$ alors on maintient $a_3 = 1$ sinon $a_3=0$.
\item on itère avec $a_2 a_1 $ et $a_0$ mis successivement à 1 (on procède par dichotomie)
\end{itemize}

\begin{rem}
on peut remplacer la logique de contrôle par un simple compteur qui s'arrête dès que $x_E \geq x_a$. Cependant le temps de conversion varie alors de $T_h$ à $(2^N-1)T_h$. Le temps de conversion est donc non-contrôlé et peut devenir très grand devant $T_h$.
\end{rem}

\subsubsection{Convertisseur à rampe (analogique)}

\begin{itemize}
\item Convertisseur à simple rampe :

%\img{0.25}{5/7}
%\img{0.3}{5/8}


On compte tant que $x_E \geq r$, on obtient les bits associés à $x_E$ et on remet l'intégrateur à 0.

On a un nombre de périodes d'horloges $M=\lfloor\frac{T_c}{T_h}\rfloor$ avec $T_c = \frac{RC}{V_{ref}}$

Cette solution est simple, assez rapide, mais très sensible aux dérives sur les valeurs de R et C.

\item Convertisseur à double rampe

%\img{0.3}{5/9}
%\img{0.3}{5/10}

À $t_1$ fixé, l'interrupteur 1 bascule de $x_E$ à $-V_{ref}$.
À $t_2$, c'est la fin de la conversion, l'intégrateur a été ramené à 0 par l'interrupteur 2.


$t_2$ est tel que \[0=r(t_2) = \frac{-x_E}{RC}t_1 + \frac{V_{ref}}{RC}(t_2-t_1)\] d'où $\frac{t_2-t_1}{t_1} = \frac{x_E}{V_{ref}}$ : indépendant de R et C, possibilité de grande précision de conversion.
\end{itemize}


\subsubsection{Convertisseur $\Delta$ et $\Sigma\Delta$}

\begin{itemize}
\item Idée : comparer $x_E$ à la sortie d'un intégrateur de pente $q= \pm\frac{V_{ref}}{2RC}$

%\img{0.5}{5/11}

Si $x_c \leq r$, on a une pente de $-\frac{V_{ref}}{2RC}$ à la période $T_H$, si $x_c > r$ on a une pente de $+\frac{V_{ref}}{2RC}$

$\rightarrow$ convertisseur différentiel : on code la dérivée de $x_c$

%\img{0.5}{5/12}

Q code le sens de variation de $x_c$, 1 seul bit est nécessaire.

On doit avoir \[|\frac{dx_c}{dt}| \leq \frac{V_{ref}}{2RC}\]

\item Convertisseur $\Sigma\Delta$ :
permet de pallier cette limitation en intégrant $x_c$ avant de passer par le convertisseur $\Delta$ : \[\frac{1}{\tau}x_c \leq \frac{V_{ref}}{2RC}\] $\tau$ est la grandeur caractéristique de l'intégration.


\end{itemize}
\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: