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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\begin{document}

\section{Introduction}
\emph{blabla ,les centrales nucléaire c'est 1GW , avec des machines synchrones. Les MCC sont pas utilisé en forte puissance. on préfère utiliser une machine synchrone ou une machine asynchrone (plus simple, moins cher,etc)}
La machine asynchrone fonctionne en moteur ou en alternateur.

9
Premier brevet déposé en 1888 par Nicolas Tesla.
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10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

Utilisation des différentes technologies de moteur (brushless, bobinés) en automobile et industrie (80\% des moteur de l'industrie sont des machines asynchrones)


\section{Principe de la machine asynchrone}
en anglais on parle de \emph{Induction Motor}.
On génère un champ magnétique tournant au stator
Le courant électrique est induit dans le rotor , pas besoin de mettre des balais ou de bobinage au rotor.

\subsection{Le stator triphasé}
\subsubsection{Champs tournant}

On a le schéma suivant, $n$ spires sont parcourues par un courant $i_{sa}$.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \fill[gray!40,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
    \fill[gray!20] (0,0) circle (2);
    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
    \draw[-latex] (0,0) -- ++(30:4);
    \draw[-latex] (1,0) arc(0:30:1) node[above]{$\theta$};
    \draw (0,2.5)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
          (0,-2.5)node[]{{$\otimes$}};
    \draw[->,densely dashed, thin,rounded corners=5pt] (0, 0.25) -- (2.75, 0.25)  arc[start angle=5, end angle=175, radius=2.75]-- (0, 0.25);
    \draw[->,densely dashed,thin,rounded corners=5pt] (0, -0.25) -- (2.75, -0.25)  arc[start angle=-5, end angle=-175, radius=2.75] -- (0, -0.25);
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Schéma du stator (monophasé)}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
      samples=41,
      xtick={-1,1},ytick=\empty,
      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-2,-1) (-1,-1) (-1,1) (1,1) (1,-1) (2,-1)};
      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Force magnétomotrice $\epsilon_s$}
\end{subfigure}
\caption{Champ tournant dans le stator}
\end{figure}
Avec le théorème d'ampère on a :

\begin{align*}
  \oint \vec{H}.\vec{dl} &= n_s i_s\\
  \underbrace{ \int H.dl}_{H_{fer}} &+ \underbrace{2H_c e}_{H_e} = n_s i_s\\
  \intertext{Or on a: }
  H_{mat.fer} &\ll H_{entrefer}
                \intertext{Donc on a la force magnétomotrice}
                \Aboxed{\epsilon_s = H_ee =\frac{n_si_s}{2}}
\end{align*}
On peux donc tracer :


La répartition des fils autour du rotor influe sur l'allure de la force magnétomotrice. Par exemple pour une répartition uniforme de $n/3$ spires par encoche :
\begin{figure}[H]
  \centering
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74
  \begin{subfigure}[b]{.5\textwidth}
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75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \fill[gray!40,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
    \fill[gray!20] (0,0) circle (2);
    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
    \draw[-latex] (0,0) -- ++(30:4);
    \draw[-latex] (1,0) arc(0:30:1) node[above]{$\theta$};
    \draw (0.6,2.46)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
          (0.6,-2.46)node[]{{$\otimes$}};
    \draw (0,2.5)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
          (0,-2.5)node[]{{$\otimes$}};
    \draw (-0.6,2.46)node[]{\small$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}
          (-0.6,-2.46)node[]{{$\otimes$}};
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Schéma du stator (monophasé)}
\end{subfigure}%
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\begin{subfigure}[b]{0.5\linewidth}
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92 93 94 95
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
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96
      height=7.6cm,
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97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
      xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
      samples=41,
      xtick={-1,1},ytick=\empty,
      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
      \addplot+[no marks] plot coordinates {(-2,-1) (-1.5,-1) (-1.5,-0.5)   (-1,-0.5) (-1,0.5)(-0.5,0.5) (-0.5,1)  (0.5,1) (0.5,0.5) (1,0.5)(1,-0.5) (1.5,-0.5) (1.5,-1)(2,-1)};
      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Force magnétomotrice $\epsilon_s$}
\end{subfigure}
\caption{Approximation sinusoïdale du champ tournant}
\end{figure}

en répartissant les bobinage sur le rotor de manière sinusoïdales , on peux générée une force magnétomotrice sinusoïdale également.

\begin{rem}
On utilise despetit fils pour éviter l'effet de peau en alternatif, mais cela augmente la resistivité et la puissance dissipée par effet joule, rien n'est parfait.
\end{rem}

En utilisant un courant $i_s$ alternatif (à la pulsation $\omega$) on a une onde pulsante:
\[
  \epsilon_s =\frac{n_si_{max}}{2}cos(\omega t)
\]

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xlabel=$\theta$,ylabel=$\epsilon_s$,
      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
      samples=51,
      xtick={-1,1},ytick={},
      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
      \addplot+[no marks,color=black] {cos(pi*deg(x)/2)};
      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {0.2*cos(pi*deg(x)/2)};
      \addplot+[no marks,color=black, dotted] {-0.5*cos(pi*deg(x)/2)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Évolution d'une onde pulsante en fonction du temps}
\end{figure}


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141
Dans le cas triphasé on répartis les enroulements de manière sinusoïdales (seul un tour de bobinage est représenté) parcourus par $i_{sa} ,i_{sb},i_{sc}$ :
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142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
\[
  \begin{cases}
    i_{sa}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t) \\
    i_{sb}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t+ \frac{2\pi}{3}) \\
    i_{sc}(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})
  \end{cases}
  \text{ Soit }
  \begin{cases}
    \epsilon_{sa}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta) \\
    \epsilon_{sb}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta-\frac{2\pi}{3}) \\
    \epsilon_{sc}(t) = \frac{n_si_s(t)}{2} \cos(\theta+\frac{2\pi}{3}) \\
  \end{cases}
\]

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines = middle,
      xlabel=$\theta$,ylabel=${\epsilon_{sa},\epsilon_{sb},\epsilon_{sc}}$,
      xmax=3,xmin=-3,ymin=-1.5,ymax=1.5,
      samples=51,
      xtick={-1,1},ytick={},
      xticklabels={$-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}]
      \addplot+[no marks,color=black] {cos(pi*deg(x)/2)};
      \addplot+[no marks,color=black, dashed] {cos(pi*deg(x)/2+120)};
      \addplot+[no marks,color=black, dotted] {cos(pi*deg(x)/2-120)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
171
  \caption{Forces magnétomotrices en triphasé}
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172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186
\end{figure}
Alors la force magnétomotrice totale vaut:
\begin{align*}
  \epsilon_s &=\epsilon_a +\epsilon_b+\epsilon_c \\
      &= \frac{n_sI\sqrt{2}}{2}\left(
        \cos(\theta)\cos(\theta)   + \cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})
 +\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})
        \right)\\
       \Aboxed{ &= \frac{3n_sI}{\sqrt{2}} \cos(\theta-\omega t)}
\end{align*}

On a créer un champ tournant , avec trois bobinage , le module de la force magnétomotrice est constant , son argument balaye tout l'espace.

\subsection{Rotor à une spire en court circuit}
\begin{figure}[H]
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187
  \begin{subfigure}[b]{.5\textwidth}
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188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \fill[gray!20,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
    \fill[gray!10] (0,0) circle (2);
    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
    \draw
    (110:1.8)node[blue]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}  (110:-1.8)node[blue]{{\Large$\otimes$}};
\draw
    (90:2.5)node[blue!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (90:-2.5)node[blue!50!black]{{\Large$\otimes$}}
    (210:2.5)node[red!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (210:-2.5)node[red!50!black]{{\Large$\otimes$}}
    (330:2.5)node[green!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (330:-2.5)node[green!50!black]{{\Large$\otimes$}};
    \draw[-latex] (0,0) -- (20:3.5) ;
    \draw[-latex] (3.2,0) arc(0:20:3.2) node[midway,right]{$\theta_r$};
    \draw[thick,-latex] (0,0) -- (45:3.5)node[above]{$\overrightarrow{B_s}$};
    \draw[-latex] (3.1,0) arc(0:45:3.1) node[near end, right]{$\theta_s$};
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Disposition du rotor (monophasé)}
\end{subfigure}%
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206
\begin{subfigure}[b]{.5\textwidth}
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207 208 209 210 211 212 213 214 215
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) to[V,v=$e$] ++(0,2) to[R,l=$R_r$] ++(0,2)-- ++(2,0) |-(0,0);
  \end{circuitikz}
  \caption{Schéma électrique du rotor en court circuit}
\end{subfigure}
\end{figure}
On a :
\begin{align*}
216 217
  e&= -\deriv[\Phi]{t} =R_r i_r
  &= -L\deriv[i_r]{t}+B.n_rS_r\deriv[\theta_s-\theta_r]{t}\sin(\theta_s-\theta_r)\\
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218 219 220 221
\end{align*}
Pour $\theta_s=\omega_st$ , position du champs statorique et $\theta_r = \Omega t+ \theta_{r_0}$ ,position du champ rotorique on a:

\[
222
  e = -L\deriv[i_r]{t}+B.n_rS_r(\omega_s-\Omega)\sin((\omega_s-\Omega)t+\theta_{r_0})
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223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254
\]

\subsection{Rotor à 3 spires en court circuit}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
  \begin{tikzpicture}
    \fill[gray!20,even odd rule] (0,0) circle(2.25) circle (3);
    \fill[gray!10] (0,0) circle (2);
    \draw[-latex,dash dot] (-4,0) -- (4,0);
    \draw
    (110:1.8)node[blue]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$}  (110:-1.8)node[blue]{{\Large$\otimes$}}
    (230:1.8)node[red]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (230:-1.8)node[red]{{\Large$\otimes$}}
    (350:1.8)node[green]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (350:-1.8)node[green]{{\Large$\otimes$}};

\draw
    (90:2.5)node[blue!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (90:-2.5)node[blue!50!black]{{\Large$\otimes$}}
    (210:2.5)node[red!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (210:-2.5)node[red!50!black]{{\Large$\otimes$}}
    (330:2.5)node[green!50!black]{$\bigcirc\hspace{-0,75em}\bullet$} (330:-2.5)node[green!50!black]{{\Large$\otimes$}};
    \draw[-latex] (0,0) -- (20:3.5) ;
    \draw[-latex] (3.2,0) arc(0:20:3.2) node[midway,right]{$\theta_r$};
    \draw[very thick,-latex] (0,0) -- (45:3.5)node[above]{$\overrightarrow{B_s}$};
    \draw[-latex] (3.1,0) arc(0:45:3.1) node[near end, right]{$\theta_s$};
        \draw[very thick,-latex] (0,0) -- (-45:3.5)node[below]{$\overrightarrow{B_r}$};
  \end{tikzpicture}
  \subcaption{Rotor triphasé}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
  \begin{minipage}[h]{1.0\linewidth}
    On a:
    \begin{itemize}
    \item Vitesse de rotation de $\overrightarrow{B_s}$ : $\omega_s$
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255 256
    \item Vitesse de rotation du rotor $\Omega$
    \item Vitesse de rotation de $\overrightarrow{B_s}$ dans le repère du rotor : $\omega_s-\Omega = \omega_r$
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257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271
    \item Vitesse de rotation du champ $\overrightarrow{B_r}$ induit dans le rotor dans le repère du stator : $\omega_s$.
    \end{itemize}
    \begin{prop}
      Le champ induit dans le rotor et le champ du stator  tournent à la même vitesse, appelé \emph{la vitesse de synchronisme}
    \end{prop}
  \end{minipage}
\end{subfigure}
\end{figure}

\section{Modélisation de la machine asynchrone}
On considère une machine  triphasé au rotor et au stator à une paire de pôle:

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
272 273 274
    \draw[red] (0:2) node(As){} to[L,v=$V_{as}$,i^<=$i_{as}$,color=red] ++(0:2);
    \draw[red] (120:2)node(Bs){} to[L,v=$V_{bs}$,i^<=$i_{bs}$,color=red] ++(120:2);
    \draw[red] (240:2)node(Cs){} to[L,v=$V_{cs}$,i^<=$i_{cs}$,color=red] ++(240:2);
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275 276
    \draw[dashed] (As) -- (0,0) (Bs) --(0,0) (Cs) --(0,0);

277 278 279
    \draw[blue] (35:0.) node(Ar){} to[L,v^=$V_{ar}$,i_<=$i_{ar}$,color=blue] ++(35:2);
    \draw[blue] (155:0.)node(Br){} to[L,v^=$V_{br}$,i_<=$i_{br}$,color=blue] ++(155:2);
    \draw[blue] (275:0.)node(Cr){} to[L,v^=$V_{cr}$,i_<=$i_{cr}$,color=blue] ++(275:2);
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280 281
    \draw[dotted] (Ar) -- (0,0) (Br) --(0,0) (Cr) --(0,0);
    \draw (0,0) circle(4);
282 283
    \draw[dotted] (0,0) circle(2) (35:2) -- ++ (35:2);
    \draw[-latex] (4.1,0) arc(0:35:4.1) node[midway,right]{$\theta =\Omega t$};
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284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294
  \end{circuitikz}
  \caption{Modèle électrique}

  \paragraph{Hypothèses}
  \begin{itemize}
  \item Alimentation sinus triphasé en Régime Permanent
  \item Rotor triphasé en court-circuit
  \item Couplage en étoile des enroulements équilibrés
  \item Fmm sinusoïdales, pas de saturation magnétiques
  \end{itemize}
\end{figure}
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295 296 297

On note $\omega_s$ pulsation des courants statoriquen $\omega_r$ la pulsation des courants rotorique et $\Omega$ la pulsation mécanique de la machine.

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298 299 300
\subsection{Mise en équation}
\subsubsection{Équation statorique}

301 302
Chaque phase du stator possède un couplage magnétique avec les autres phases du stator (mutuelle $M_s$) et avec les phases du rotor (mutuelle $M_0$).

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303 304 305
On a  les équations suivantes  pour le stator:
\begin{align*}
  v_{as} &= R_s i_{as}(t)+\deriv[\Phi_{as}(t)]{t}\\
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306
  \Phi_{as}(t) &= L_{s} i_{as} + M_s(i_{bs}+i_{bs}) +M_0 (\cos(\theta)i_{ar}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})i_{cr}(t))\\
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307 308 309 310
  \Phi_{as}(t) &= (L_s-M_s) i_{as}(t)+\frac{3M_0I_r}{\sqrt{2}}\cos(\theta+\omega_rt+\phi_r+\theta_0) \\
  \Phi_{as}(t) &= (L_s-M_s) i_{as}(t)+\frac{3M_0I_r}{\sqrt{2}}\cos(\omega_st+\phi_s)
\end{align*}
On en déduit donc (Dans le formalisme complexe de l'ARQS)
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311
\[\boxed{
312
  \underline{V_{as}} = R_s \underline{I_s}+jL_{sc}\omega_s\underline{I_{as}}+j \frac{3}{2}M_0\omega_s\underline{I_r}
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313
}\]
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314 315 316 317 318 319 320 321
$I_r$ est à la pulsation $\omega_s$ !

\subsubsection{Équations rotoriques}

On fais les mêmes calculs pour le rotor :

\begin{align*}
  v_{ar}(t) &= R_ri_{ar}(t) + \deriv[\Phi]{t}\\
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322
  \Phi_{ar}(t) &= (L_{r}-M_r) i_{ar} +M_0( \cos(\theta)i_{as}(t)+\cos(\theta+\frac{2\pi}{3})i_{br}(t)+\cos(\theta-\frac{2\pi}{3})i_{cr}(t))\\
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323 324 325 326 327 328
  \Phi_{ar}(t) &= (L_{r}-M_r) i_{ar} +\frac{3M_0I_s}{\sqrt{2}} \cos(\Omega t-\omega_st+\theta_0-\phi_s) \\
  \Phi_{ar}(t) &= L_{rc} i_{ar} +\frac{3M_0I_s}{\sqrt{2}} \cos(\omega_rt +\phi_s')
\end{align*}

Donc on a dans le formalisme complexe de l'ARQS, avec le rotor en court-circuit:

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329 330
\[\boxed{
  V_{ar} = R_rI_{ar}+jL_{rc}\omega_rI_{ar}+j\frac32 M_0\omega_rI_s =0}
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Pierre-antoine Comby committed
331
\]
332 333 334

On pose alors le \emph{facteur de glissement:}

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335
\[
336
  \boxed{g= \frac{\omega_s-\Omega}{\omega_s}=\frac{\omega_r}{\omega_s}}
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Pierre-antoine Comby committed
337 338
\]

339

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340
\subsubsection{Modèle par analogie}
341

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342
Dans le cas d'une machine à simple alimentation(on étudie l'usage d'une machine à double alimentation dans la partie \ref{sec:MADA}) le rotor est en court circuit:
343 344 345 346 347 348 349 350

\[
  \frac{\underline{V_{ar}}}{g} = 0 = \frac{R_r}{g} + jL_{Rc}\omega_sI_{ar}+j\frac32 M_0 \omega_sI_s
\]

Le facteur de glissement permets d'exprimer toute les grandeurs comme évoluant à la fréquence statorique.

Il y a un couplage magnétique entre le stator et le rotor , et on peux construire un modèle équivalent,avec $L_{sc}$ et $L_{rc}$ les inductances cycliques du stator et du rotor.
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
351 352 353 354 355 356 357
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2) to[R,l=$R_s$,i>=$I_s$]++(2,0)to[short] ++(1,0) to[L,l_=$L_{sc}$] ++(0,-2) -- ++(-3,0);
    \draw (4,0) to[L,l_=$L_{rc}$] ++(0,2)
    to[short,i=$I_r$] ++(2,0)
    to[R,l=$R_r/g$] ++(0,-2) to[short] ++(-2,0);
358
    \draw[latex-latex] (3,2.1) to[bend left] ++(1,0) node[above left]{$\frac{3}{2}M_0$};
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
359 360 361 362
  \end{circuitikz}
  \caption{Modèle électrique équivalent}
\end{figure}

363 364 365
Le couplage n'est pas parfait: $\frac{3}{2}M_0 < \sqrt{L_{sc}L_{rc}}$.

On fait l'analogie avec un transformateur parfait avec pertes :
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Pierre-antoine Comby committed
366 367
% l_fuite= l_2
% sigma = 1 - M_c^2/(L_cs L_cr)
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
368 369 370 371 372 373 374 375
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) node[gyrator](G){}
    (G.A1) -- ++(-1,0) coordinate(M) to[L,l_=$L_{sc}$] ++(0,-2) |- (G.A2)
    (G.B1) to[L,l=$l_{fuites}$] ++(2,0) to[R,l=$R_r/g$] ++ (0,-2) |- (G.B2)
    (M) to[R,l=$R_s$] ++(-2,0)
    (G.A2) --  ++(-3,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2);
376
\draw[latex-latex] (G.A1)++(0,0.2) to[bend left] ++(2,0) node[midway, above=1.5em]{$m$} ;
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
377 378 379
  \end{circuitikz}
  \caption{Modèle électrique équivalent}
\end{figure}
380 381 382 383

L'inductance de fuite est la pour témoigné des fuites des lignes de champs qui ne circulent pas dans le rotor.

Avec $m = \frac{M_0}{L_{sc}}$ et  $l_{fuites} = L_r-\frac{M_0^2}{L_1}$
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Pierre-antoine Comby committed
384 385 386

On a donc l'impédance équivalente suivante à alimenter:

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Pierre-antoine Comby committed
387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}

    \draw (0,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2) to[R,l=$R_s$,i>=$I_s$]++(2,0)to[short] ++(1,0) coordinate(A) to[L,l^=$L_{sc}$] ++(0,-2) -- ++(-3,0);
    \draw [dotted] (2,2) to[R,l_=$R_{fs}$] ++(0,-2);
    \draw (A) to[L,l=$l_{fr}'$] ++(2,0) to[R,l=$R_r'/g$]++(0,-2) to[short] ++(-2,0);
  \end{tikzpicture}
  \caption{impédance équivalente au stator}
\end{figure}

398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421
Avec:
\begin{itemize}
\item $ l_{fr}' = \frac{l_{fuite}}{m^2} $
\item  $R_r' = \frac{R_r}{m^2}$.
\item $R_{fs}$ est ajoutable pour prendre en comptes les pertes fertes, qui pourrait alors être considérée linéaire.
\end{itemize}

\paragraph{Détermination des grandeurs du modèle équivalent:}

\begin{itemize}
\item $R_s$ :
  Essai en courant continu , on mesure la resistance des bobinages d'une phase du stator.
\item $L_{sc}/R_{fs}$:
  Essai à vide au synchronisme.\\
  Lors d'un essai au synchronisme, le champ tournant et le rotor tournent à la même vitesse. Le glissement g est nul et 1/g tend vers l'infini. Le modèle équivalent d'une phase de la machine devient :
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{circuitikz}

      \draw (0,0) to[open,v=$V_{s0}$] ++(0,2) to[R,l=$R_s$,i>=$I_{s0}$]++(2,0)to[short] ++(1,0) coordinate(A) to[L,l^=$L_{sc}$] ++(0,-2) -- ++(-3,0);
      \draw [dotted] (2,2) to[R,l_=$R_{fs}$] ++(0,-2);
    \end{circuitikz}
    \caption{Modèle au synchronisme}
  \end{figure}
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Pierre-antoine Comby committed
422
  On mesure la puissance active $P_0$ et la puissance réactive $Q_0$ et les courants $I_{s0}$ et $V_{s0}$ on obtient les équations:
423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449

\[
  \begin{cases}
    P_0 = R_s I_{S0}^2+\frac{V'^2}{R_{fs}}\\
    Q_0 = \frac{V'^2}{L_{sc}\omega_s}\\
    V'  = V_{s0} \frac{R_{fs}L_{sc}\omega}{\sqrt{(R_sR_{fs})^2+(L_{sc}\omega(R_F+R_s))^2}}
  \end{cases}
\]

$R_S$ étant connue, on peut calculer les trois inconnues :
$R_f,L_{sc},V'$
Le courant $I_{s0}$ étant faible lors de l'essai au synchronisme, on peut généralement négliger la chute de tension due à la résistance statorique devant la tension $V_{s0}$. Les équations deviennent alors :
\[
  \begin{cases}
    P_0 = \frac{V_{s0}^2}{R_{fs}}\\
    Q_0 = \frac{V_{s0}^2}{L_{sc}\omega_s}\\
  \end{cases}
\]
Et on a :
\[
  \boxed{R_F = \frac{V_{s0}^2}{P_0}} \text{ et } \boxed{L_{sc}=\frac{V_{s0}^2}{Q_0\omega}}
\]

\item $l_{fuites}/R_r$ :
  Essai en nominal, on connait le glissement:

\end{itemize}
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450 451 452 453 454

\subsection{Bilan de puissance}

\begin{align*}
  P_{transmise} &= \frac{R_r}{g}I_r^2 \\
455
 P_{Joules, rotor} &= R_r I_r^2 \\
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456
 P_{meca} &= P_{transmise}-P_{joules} = R_rI_r^2(\frac{1}{g}-1)
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Pierre-antoine Comby committed
457 458
\end{align*}

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459
Dans le modèle équivalent on est a $\omega_s$. Or dans le rotor les courants sont à $\omega_r$. On a alors: $\omega_r =g\omega_s$ Soit
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Pierre-antoine Comby committed
460
\[\boxed{
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Pierre-antoine Comby committed
461
g =\frac{\omega_s-\omega}{\omega_s}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
462
}\]
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Pierre-antoine Comby committed
463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524



\begin{figure}[H]
  \centering
\begin{tikzpicture}[x=1pt,y=1pt]

  \begin{sankeydiagram}[
    sankey tot length=90pt,%
    sankey tot quantity=6,%
    sankey min radius=15pt,%
    sankey fill/.style={
      draw,line width=0pt,
      %fill,
      white,
    },
    sankey draw/.style={
      draw=black,
      line width=1pt,
      line cap=round,
      line join=round,
    },
    ]
    \sankeynodestart{6}{0}{Pa}{0,100};
    \node[left] at (Pa) {$P_a=3UI\cos{\phi}$};
    \sankeyadvance{Pa}{50pt}

    \sankeyfork{Pa}{5/Pa2,1/Pjs}
      \sankeyturn{Pjs}{-90}
      \sankeyadvance{Pjs}{15pt}
      \sankeynodeend{1}{-90}{Pjs}{Pjs}
      \node[below=1em] at (Pjs) {$p_{js}=3R_sI_s^2$};

      \sankeyadvance{Pa2}{60pt}
      \sankeyfork{Pa2}{4/Ptr,1/Pfs}
        \sankeyturn{Pfs}{-90}
        \sankeyadvance{Pfs}{30pt}
        \sankeynodeend{1}{-90}{Pfs}{Pfs}
         \node[below=1em] at (Pfs) {$p_{fs}$};
        \sankeyadvance{Ptr}{60pt}
        \sankeynodeend{4}{0}{Ptr}{Ptr}
        \node[left] at (Ptr) {$P_{tr}=C_{em}\omega_s$};

        \sankeyadvance{Ptr}{30pt}
        \sankeyfork{Ptr}{3/Pr,1/Pjr}
          \sankeyturn{Pjr}{-90}
          \sankeyadvance{Pjr}{30pt}
          \sankeynodeend{1}{-90}{Pjr}{Pjr}
          \node[below=1em] at (Pjr) {$p_{jr}=gP_{tr}$};
          \sankeyadvance{Pr}{70pt}
          \sankeynodeend{3}{0}{Pr}{Pr}
          \node[left] at (Pr) {$P_r=C_{em}p\Omega$};
          \sankeyadvance{Pr}{30pt}
          \sankeyfork{Pr}{2/Pu,1/Pmec}
            \sankeyturn{Pmec}{-90}
            \sankeyadvance{Pmec}{30pt}
            \sankeynodeend{1}{-90}{Pmec}{Pmec}
            \node[below=1em] at (Pmec) {$p_{mec}$};
            \sankeyadvance{Pu}{60pt}
            \sankeynodeend{2}{0}{Pu}{Pu}
            \node[right=1em] at (Pu) {$P_{u}$};
      \draw [
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
525
    line width=3pt,
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
526 527 528
    decoration={
        brace,
        mirror,
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
529 530
        amplitude=10pt,
        raise=10pt
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
531 532 533 534
    },
    decorate
    ] (-20,0) -- ++ (180,0) node[midway, below=1.5em]{Stator};
      \draw [
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
535
    line width=3pt,
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
536
    decoration={
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
537 538
      brace,
      amplitude=10pt,
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
539
        mirror,
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
540
        raise=10pt
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552
    },
    decorate
    ] (170,0) -- ++ (190,0) node[midway, below=1.5em]{Rotor};



  \end{sankeydiagram}
\end{tikzpicture}
  \caption{Bilan de puissance}
\end{figure}


Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564
\begin{exemple}
  Pour une machine asynchrone , 400V/690V ,1.5kW ,1425 tr/min :
  \begin{enumerate}
  \item La machines est cablé en triangle pour un réseau 400V (entre phase ,230V phase-neutre). \\
    Dans le cas d'un réseau 690V on cablera en étoile.
  \item En continu on mesure entre deux phase $R=$\SI{3.8}{\ohm}. Quel est la valeur de $R_s$ ?
  \item Pour une machine à vide $Q_{0T}=$\SI{1100}{VAR}et $P_{OT}$=\SI{200}{W}. Quelle est la valeur de $L_{cs}$ et  de $R_{fs}$?
  \item Au point nominal on mesure $I=$\SI{2,9}{A};$P_T$=\SI{1500}{W}:$Q_T=$\SI{1300}{VAR}. Quelle est la valeur de $l_{fr}'$ et $R_r'$?
  \end{enumerate}
\end{exemple}
\subsection{Couple et puissance}

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Pierre-antoine Comby committed
565
À partir du modèle déterminer précédement on a en terme valeur efficaces:
566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580
\[
  I_r = \frac{V_s}{\sqrt{\left(R_s+\frac{R_r'}{g}\right)^2+(l_{fuites}\omega_s)^2}}
\]


\subsubsection{Couple en fonction du glissement}

On étudie une MAS à $p$ paire de poles :

\[
\Omega =(1-g)\frac{\omega_s}{p}
\]

En faisant le bilan de puissance au rotor  on a :

Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
581
\[
582
P_e = 3 \frac{R_r'}{g}I_r^2 = C_e \Omega
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
583 584
\]

585 586 587
On en déduit alors le couple électromagnétique. \emph{en négligeant la resistance du stator}:
\begin{align*}
 C_{em} &=   3 p \frac{V_s^2}{\omega_s} \frac{\frac{R_r'}{g}}{\left(\frac{R_r'}{g}\right)^2+(l_{fuites}\omega_s)^2}\\
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Pierre-antoine Comby committed
588
    &= 3 p \frac{V_s^2}{\omega_s} \frac{1}{\left(\frac{g(l_f\omega_s)^2}{R_r'}\right) + \frac{R_r'}{g(l_f\omega_s)^2}}\\
589 590 591 592
    &= \frac{3p}{l_f}\frac{V_s^2}{\omega_s^2}\frac{1}{\left(\frac{g(l_f\omega_s)^2}{R_r'}\right)+\left(\frac{R_r'}{g(l_f\omega_s)^2}\right)}\\
        \Aboxed{&= 2C_{max}\frac{1}{\left(\frac{g}{g_{max}}\right)+\left(\frac{g_{max}}{g}\right)}}
\end{align*}
Avec
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
593
\[
594 595 596 597
  \begin{cases}
    C_{max} = \frac{3p}{2l_f}\frac{V_s^2}{\omega_s^2}\\
    g_{max} = \frac{R_r'}{l_f\omega_s}
  \end{cases}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
598 599
\]

600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626
La courbe représentative de l'expression du couple en fonction du glissement possède une symétrie par rapport à l'origine :
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}
      [axis lines =middle,
      width = 14cm, height=8cm,
      xmin =-1.2, xmax = 1.2,
      ymin = -2.5, ymax = 2.5,
      ylabel=$C_{em}$,xlabel = $g$,
      xtick = {-1,-0.1,0.1,1},
      xticklabels={-1,$-g_{max}$,$g_{max}$,1},
      ytick= {-2,2},
      yticklabels={$C_{max}$,$-C_{max}$},
      domain=-1.5:1.5,
      samples=100,
      ]
      \addplot[blue] {4/(0.1/x + x/0.1)};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Couple en fonction du glissement}
\end{figure}

Avec la relation glissement vitesse on a:
% Ajout de la figure
\begin{figure}[H]
  \centering
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
627
  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{Domaines_fonctionnement_MAs.png}
628 629
  \caption{Mode de fonctionnement de la MAS}
\end{figure}
Pierre-antoine Comby's avatar
Pierre-antoine Comby committed
630
---
631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649

\subsection{Alimentation par un onduleur}
\emph{merci wikipédia}
\bigskip

Les onduleurs les plus répandus sont les onduleurs MLI (à modulation de largeur d'impulsion) dont le mode de commande permet de garder le rapport U1/f constant et d'obtenir des courants quasiment sinusoïdaux. U1 étant la valeur efficace du fondamental.
\subsubsection{Commande en U/f}
\paragraph{Présentation}

En régime sinusoïdal, la conservation du rapport U/f permet au circuit magnétique d'être dans le même état magnétique quelle que soit la fréquence d'alimentation. Autrement dit, la forme du cycle d'hystérésis parcouru par le circuit magnétique reste identique quelle que soit f. Ainsi, lorsque la fréquence diminue, la valeur efficace du fondamental de la tension diminuant dans les mêmes proportions, il n'y a pas de risque de saturation du matériau magnétique.

Ceci a pour conséquence qu'une commande qui maintient U1/f constant, où U1 représente la valeur efficace du fondamental, permet de conserver la même courbe de couple en fonction du glissement pour n'importe quelle fréquence d'alimentation. Les autres harmoniques présents, multiples de 5 et 7, créent des couples pulsants dont la moyenne est nulle.

Pour cela, la machine asynchrone est alimentée par un onduleur délivrant une tension de fréquence f et dont la valeur efficace du fondamental V1 est telle que le rapport V1/f est maintenu constant

\paragraph{Mise en équation}

On reprend l'équation générale du couple :

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650
:\[ C_{em}= \frac{3 p}{\mathcal{N}_r} \cdot \frac{V_S^2}{ \omega_S^2} \cdot  \frac{1}{\left(\frac{g \mathcal{N}_r \omega_S}{R_r^*}\right)+ \left(\frac{R_r^* }{g \mathcal{N}_r \omega_S }\right)} \,\]
651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665

On note $ C_{max} $le couple maximal.

\[ C_{max}=\frac{3 p}{2*\mathcal{N}_r} \cdot \frac{V_S^2}{ \omega_S^2} \]

On réécrit la relation flux/tension afin de faire apparaître le flux.

\[\frac{d\Phi_A}{dt}=j \omega_S * \Phi_A = V_A \]

On note $ \Phi_s$ la valeur efficace du flux nominal.

\[ C_{max}=\frac{3 p}{2*\mathcal{N}_r} \cdot \Phi_s^2 \]

Si on garde le rapport $\frac{V_S}{ \omega_S}$ constant, il est donc possible de déplacer la vitesse à laquelle $ C_{max}$ est disponible. L'expression du couple devient :

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666
\[C_{em}= \frac{2 C_{max}}{\left(\frac{g \mathcal{N}_r \omega_S}{R_r^*}\right)+ \left(\frac{R_r^* }{g \mathcal{N}_r \omega_S }\right)}\]
667

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668
Après un \emph{développement limité} au premier ordre de $C_{em}$ lorsque $g$ tend vers 0, on obtient :
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\[C_{em}= Cte \cdot g \cdot \omega_S = Cte \cdot (\omega_S - \omega) = Cte \cdot (n_S - n) \,\]
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\section{La machine asynchrone a double alimentation}
\label{sec:MADA}
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Pour une machine asynchrone a double alimentation on injecte (ou récupère) des courants au rotor, qui n'est plus en court-circuit (mais connecté à un système de bague/balais).
Le modèle éléctrique est alors :

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{circuitikz}
    \draw (0,0) node[gyrator](G){}
    (G.A1) -- ++(-1,0) coordinate(M) to[L,l_=$L_{sc}$] ++(0,-2) |- (G.A2)
    (G.B1) to[L,l=$l_{fuites}$] ++(1.5,0) to[R,l=$R_r/g$,i^<=$I_r$,-o] ++ (2.5,0)
    (G.B2) to[short,-o] ++(4,0) to[open,v=$V_r$]++(0,2)
    (M) to[R,l=$R_s$,-o] ++(-2,0)
    (G.A2) to[short,-o] ++(-3,0) to[open,v=$V_s$] ++(0,2);
\draw[latex-latex] (G.A1)++(0,0.2) to[bend left] ++(2,0) node[midway, above=1.5em]{$m$} ;
  \end{circuitikz}
  \caption{Modèle électrique équivalent}
\end{figure}

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\section{La machine asynchrone en génératrice}
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699
\end{document}
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%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: