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\begin{document}
\subsection*{Exercice I : Stabilité d'un asservissement avec retour unitaire}

On considère l'asservissement analogique où :
\[ H(p) = \frac{C}{p(1+\tau p)} \text{avec } \tau = 0.2 \]

On place un CNA (BOZ) en amont de $H(p)$ et un CAN dans la boucle de retour.
\begin{enumerate}
13
\item Pour passer de l'analogique au numérique, on utilise la formule suivante :
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\[ T(z) = (1-z^{-1})Z[^*L^{-1}[\frac{H(p)}{p}]] \]
On a donc successivement :
\begin{align*}
A(p) & = \frac{H(p)}{p}  = \frac{C/\tau}{p^2(p+1/\tau)} \\
& = \frac{C}{\tau}(\frac{\alpha}{p} + \frac{\beta}{p^2} + \frac{\gamma}{p+1/\tau}) \\
& = C (\frac{-\tau}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{\tau}{p+1/\tau}) \\
a(t) & = C[-\tau+t+\tau e^{-\frac{t}{\tau}}] \\
a_k & = C[-\tau + kT_e + \tau e^{-\frac{T_e}{\tau}k}] \\
A(z) & = C[ -\frac{\tau z}{z-1} + \frac{T_e z}{(z-1)^2} + \tau\frac{z}{z-D} ] \text{} D = e^{-\frac{T_e}{\tau}} \\
T(z) & = (1-z^{-1})A(z) \\
& = \frac{z-1}{z} C[ -\frac{\tau z}{z-1} + \frac{T_e z}{(z-1)^2} + \tau\frac{z}{z-D}] \\
& = C[ -\tau + \frac{T_e}{z-1} + \frac{\tau(z-1)}{z-D} ] \\
T(z) & = C \frac{(\tau(1+D)+T_e-2\tau)z + (-D\tau - T_e D + \tau)}{z^2 - (1+D)z + D}
\end{align*}
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On pose
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\begin{align*}
T(z) & = \frac{b_1 z + b_0}{z^2 + a_1 z + a_0} \\
& b_1 = C(\tau(D-1) + T_e)\\
& b_0 = C(\tau(1-D) - T_e D)\\
& a_1 = -(1+D)\\
& a_0 =D
\end{align*}

\item Mise en équation de l'asservissement
\begin{align*}
Y(z) & = \frac{T(z)}{1+T(z)} E(z) \\
& = \frac{B(z)}{A(z) + B(z)} \text{ avec } T(z) = \frac{A(z)}{B(z)}
\end{align*}

43
Le polynôme caractéristique s'écrit :
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\begin{eqnarray*}
\Pi(z) & = &  B(z) + A(z)  \\
& = &  c_2 z^2 + c_1 z + c_0 \\
& \text{avec } & c_2 = 1 \\
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& & c_1 = a_1 + b_1  = -(1+D) + C(T_e + \tau (D-1)) \\
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49 50
& & c_1 = -(1+D) + CT_eD \text{ car ici } \tau = T_e \\
& & c_0 = a_0 + b_0 = D + C(\tau(1-D) - T_e D) \\
51
& & c_0 = D + CT_e(1-2D)
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52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
\end{eqnarray*}


\item a) Critère de Routh-Hurwitz \\
Transformation en w : \( z = \frac{1+w}{1-w}, \quad w = \frac{z-1}{z+1} \) \\

On réécrit l'équation caractéristique en $w$ :
\begin{eqnarray*}
c_2 (\frac{1+w}{1-w})^2 & + c_1(\frac{1+w}{1-w}) & + c_0  = 0 \\
C_2 (w^2 + 2w + 1) & + c_1(1-w^2) & + c_0(w^2 -2w+1)  = 0 \\
(c_2-c_1+c_0)w^2 & + 2(c_2-c_0)w & + (c_2+c_1+c_0)  = 0
\end{eqnarray*}

Tableau de Routh :\\
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
69 70 71 72 73 74 75 76
\hline
$w^2$ & $c_2-c_1+c_0$ & $c_2+c_1+c_0$ \\
\hline
$w$ & $2(c_2-c_0)$ & 0 \\
\hline
$w^0$ & $c_2+c_1+c_0$ & \\
\hline
\end{tabular}
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77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106

\end{figure}


On doit avoir tous les termes de la première colonne positifs : on retrouve le critère de Jury.



\item b) Critère de Jury :
\begin{itemize}
\item $c_2 + c_1 + c_0 > 0$
\item $c_2 - c_1 + c_0 > 0$
\item $|c_0| < c_2 \Leftrightarrow -c_2 < c_0 < c_2$
\end{itemize}

On traduit ces conditions
\begin{itemize}
\item $c_2 + c_1 + c_0 > 0$
\begin{align*}
& 1 + (-(1+D) + CT_eD) + (D + CT_e(1-2D)) > 0 \\
& C ( T_e D + T_e - 2 DT_e ) > 0 \\
& C (1-D) > 0 \\
& C > 0 \text{ car } D =e^{-1} < 1
\end{align*}

\item $c_2 - c_1 + c_0 > 0$
\begin{align*}
& 1 - (-(1+D) + CT_eD) + (D + CT_e(1-2D)) > 0 \\
& 2 + 2D + cT_e(-3D+1) > 0 \\
& C T_e(1-3D) > -2 -2D  \\
107
& C < -\frac{2+2D}{1-3D} \text{  car } 3D > 1
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\end{align*}

\item $-c_2 < c_0 < c_2$
\begin{eqnarray*}
-1 < & D + CT_e(1-2D) & < 1 \\
-1 - D < & CT_e(1-2D) & < 1 - D \\
\frac{-1-D}{T_e(1-2D)} < & C & < \frac{1-D}{T_e(1-2D)}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

Le critère de Jury aboutit donc à :
\[ \boxed{ 0 < C < \min(-\frac{2+2D}{(1-3D)T_e},\frac{1-D}{(1-2D)T_e}) } \]

\item On s'intéresse à l'asservissement analogique du même système
\[ Y(p) = \frac{H(p)}{1+H(p)} E(p) \]
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L'équation caractéristique conduit à
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\begin{align*}
1 + H(p) & = 0 \\
1 + \frac{C}{p(1+\tau p)} &= 0 \\
\tau p^2 + p + C &= 0
\end{align*}
Le système est stable si et seulement si $C>0$.\\
En analogique, la marge de gain est infinie (la phase n'est jamais égale à $-180^o$. En numérique, le BOZ induit un déphasage qui conduit à une limitation supplémentaire pour $C$ en terme de stabilité.


\item Pour approcher le comportement basse fréquence de la chaîne directe de l'asservissement de la figure 1, il faut tenir compte du BOZ. Il faut approximer l'expression de $B_0(p)$.

\begin{itemize}
\item Avec $\omega << \frac{1}{T_e}$, $e^{-T_ep} \approx 1 - T_ep$ et
\begin{align*}
B_0(p) & = T_e \\
\tilde{H}(p) & = T_e H(p) = \frac{CT_e}{p(1+\tau p)}
\end{align*}
On revient à la même condition $ C > 0 $.

\item Suggestion : faire le développement à l'ordre 2 ?

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Avec $e^{-T_e p} \approx 1 - T_ep + \frac{(T_ep)^2}{2}$,
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146 147 148 149 150
\begin{align*}
B_0(p) & = \frac{T_ep-T_e^2p^2 / 2 }{p}\\
& = T_e - \frac{T_e^2}{2}p \text{ : non causal} \\
\tilde{H}(p) & = T_e(1-\frac{T_e}{2}p)\frac{C}{p(1+\tau p)}
\end{align*}
151
L'équation caractéristique $1+\tilde{H}(p) = 0$ mène à
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\begin{align*}
\tau p^2 + p + CT_e(1-\frac{T_e}{2}p) & = 0 \\
\tau p^2 + (1-C\frac{T_e^2}{2})p + CT_e & = 0
\end{align*}
L'application du critère de Routh mène à : $0 < C < \frac{2}{T_e^2}$

\item Approximation de Padé ($\omega << \frac{1}{2T_e}$) :
\[ e^{-T_ep} = \frac{e^{-\frac{T_e}{2}p}}{e^{\frac{T_e}{2}p}} \text{ et } e^{-\frac{T_e}{2}p} \approx 1 -
\frac{T_e}{2}p \Longrightarrow e^{-T_ep} \approx \frac{1 - \frac{T_e}{2}p}{1 + \frac{T_e}{2}p} \text{ : causal !} \]

\begin{align*}
B_0(p) & \approx \frac{1-\frac{1 - \frac{T_e}{2}p}{1 + \frac{T_e}{2}p}}{p} \\
& = \frac{T_e}{1+\frac{T_e}{2}p} \text{ : causal } \\
\tilde{H}(p) & = \frac{T_e}{1+\frac{T_e}{2}p} . \frac{C}{p(1+\tau p)}
\end{align*}

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L'équation caractéristique $1+\tilde{H}(p)=0$ mène à
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169 170 171 172 173 174 175 176
\begin{align*}
CT_e + p (1+\frac{T_e}{2}p)(1+\tau p) & = 0 \\
\tau\frac{T_e}{2}p^3 + (\tau+\frac{T_e}{2})p^2 + p + CT_e &= 0
\end{align*}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
177 178 179 180 181 182 183 184 185 186
\hline
$p^3$ & $\tau \frac{T_e}{2}$ & 1 \\
\hline
$p^2$ & $\tau + \frac{T_e}{2} $ & $CT_e$ \\
\hline
$p$ & $1- \frac{CT_e \tau}{2(\tau + \frac{T_e}{2})}$ & 0 \\
\hline
$p^0$ & $CT_e$ &  \\
\hline
\end{tabular}
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187 188 189 190 191 192 193 194
\end{figure}

La condition est donc $C < \frac{2(\tau + T_e/2)}{T_e \tau} = \frac{3}{\tau}$
\end{itemize}

\item La discrétisation d'un asservissement en temps continu dégrade la stabilité.
\end{enumerate}

195
\end{document}