Commit 12fc5b2b authored by Pierre-antoine Comby's avatar Pierre-antoine Comby

suite du 433

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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
Dans cette partie on étudie l'influence du canal sur le signal.
\begin{defin}
On rappel:
\begin{itemize}
\item La rapidité de modulation est noté $R = 1/T$ en [bauds]\\
\item Le débit binaire $D = 1/T_b$.
\item $T = log_2(M) .T_b$
\end{itemize}
Soit:
\[
R = \frac{D}{\log_2(M)}
\]
\end{defin}
\section{Caractéristique du canal}
\label{sec:carac_canal}
On choisit d'étudier un canal :
......@@ -13,8 +26,8 @@ On choisit d'étudier un canal :
Le signal recu et filtré par le fitre de réception:
\begin{align*}
r(t) &= g_r(t) \star h(t) \star e(t) + g_r(t)\star n(t)\\
&= g_r(t) \star h(t) \star \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)+ b(t)
r(t) &= g_r(t) \ast h(t) \ast e(t) + g_r(t)\ast n(t)\\
&= g_r(t) \ast h(t) \ast \sum_{k}^{}a_kg(t-kT)+ b(t)\\
&= \sum_{k}^{}a_ky(t-kT)+b(t)
\end{align*}
$b(t)$ représente la contribution totale du bruit après filtrage.
......@@ -47,7 +60,7 @@ IES = \sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T)
\]
Que l'on peux exprimer comme:
\[
\sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T) = \sum_{k}^{}a_kg_r(t_0+nT)\star h(t_0+nT)\star g(t_0+(n-k)T)
\sum_{k\neq n}^{} a_k y(t_0+(n-k)T) = \sum_{k}^{}a_kg_r(t_0+nT)\ast h(t_0+nT)\ast g(t_0+(n-k)T)
\]
\end{defin}
......@@ -67,7 +80,7 @@ Soit $IES = 0 $
\begin{thm}[Critère de Nyquist]
On ne peux pas transmettre sans IES un signal de rapidité de modulation $R = 1/T$ dans une bande inférieure à $1/2T$.
Un canal respecntant le premier criètre de Nyquist est tel ue:
Un canal respectant le premier criètre de Nyquist est tel que:
\[
B \ge \frac{1}{2T} = B_{Nyquist}
\]
......@@ -126,10 +139,89 @@ Soit $IES = 0 $
\end{proof}
\section{Impulsion de Nyquist}
\section{Capacité de canal}
Toutes les fonctions qui vérifie l'équation suivante, vérifie le critère de Nyquist.
\[
\sum_{n}^{}Y^{(t_0)}(f-\frac{n}{T}) = T
\]
La DSP rectangulaire centrée en fait partie.
\begin{rem}
On a cepedant des lobs secondaire elevé dans la DSP (sinus
cardinal pur), ce qui peux être dramatique en cas de mauvaise
synchronisation. On cherche donc d'autre fonctions candidates avec
des lobes secondaires moins élevé.
\end{rem}
\begin{defin}
Le filtre en cosinus surélevé vérifie ces deux critères. Sa DSP
est alors:
\[G(f) =
\begin{cases}
T & \forall f \in \left[-\frac{1-\alpha}{2T},\frac{1-\alpha}{2T}\right]\\
\frac{T}{2}\left[1+\sin\left(\frac{\pi t}{\alpha}\left(\frac{1}{2T}-|f|\right)\right)\right] & \frac{1-\alpha}{2T}\le |f| \le \frac{1+\alpha}{2T}\\
0 & \text{ sinon}
\end{cases}
\]
Ce qui donne la reponse temporelle:
\[
g(t) = \frac{\sin\left(\frac{\pi t}{T}\right)}{\frac{\pi t}{T}}
\frac{\cos\left(\frac{\pi\alpha t}{T}\right)}{\left(1-4\alpha^2 \frac{t^2}{T^2}\right)}
\]
Avec$\alpha$ le \emph{Roll-off} compris entre 0 et 1 .
Pour $\alpha=0$on retrouve l'impulsion rectangulaire. pour $\alpha=1$ on a
un filtre de Hanning.
\end{defin}
\begin{exemple}
Dans la téléphonie 3G $\alpha=0,22$.
\end{exemple}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\caption{Réponse fréquentielle}
\label{fig:label}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
\centering
\caption{réponse temporelle}
\label{fig:label}
\end{subfigure}
\caption{Différents filtres respectant le critère de Nyquist}
\end{figure}
\section{Capacité de canal}
\subsection{Critère empirique HTS}
\begin{defin}
\textsc{Hartley}, \textsc{Tuller},\textsc{Shannon} on établi la
formule empirique:
\[
m \le m_{max} = \sqrt{1+\frac{S}{N}}
\]
Avec $S$ et $N$ puissance du signal et du bruit. et $m$ le nombre
de niveau de codage possible.
\end{defin}
\subsection{À retenir}
\begin{defin}
C la capacité du canal est le nombre maximal de bit qu'il est
susceptible de transmettre par seconde.
\[C = D_{max} = R.\log_2(M) = B\log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)
\]
\end{defin}
\begin{prop}
Pour un canal de transmission de type passe-bas, de bande passante
$B$ et bruité par un BABG le débit doit toujours être inférieur à
la capacité de Shannon.
\end{prop}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
......
......@@ -12,7 +12,6 @@
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\chapter*{Introduction}
Suite à l'UE 431 nous nous intéresserons dans cette UE aux aspects numériques du traitement et de la transmission de l'information.
......
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