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cours 453 13/03

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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
\emph{le poly distribué est très bien fait, ici il n'y aura que des prise de note et l'essentiel du cours}
\section{Philosophie et difficultés}
\subsection{Introduction}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{x}
\sbBlocL{H}{H}{x}
\sbSumh{sum}{H}
\sbRelier{H}{sum}
\sbSortie{Y}{sum}
\sbRelier{x}{H}
\sbRelier{sum}{Y}
\sbDecaleNoeudy[-3]{sum}{b}
\sbRelier{b}{sum}
\node[above] at (b){$b$};
\node[left]at(x){$x$};
\node[right]at(Y){$y$};
\end{tikzpicture}
\caption{Modélisation du problème direct}
\end{figure}
\paragraph{Méthode}
On fait des hypothèse sur $x$ pour déterminer $\hat{x}$ qui permette de reconstituer un $y$ proche de celui mesuré.
On a une connaissance parfaite des hypothèses que l'on a fait.
\subsection{Problème mal posé}
\begin{defin}
Les \emph{Condition de Hadamard} permettent de savoir si un problème est bien posé.
\begin{itemize}
\item L'existence d'une solution quelques soit l'ensemble des donneés ${\cal Y} = Im(H)$
\item L'unicité: $\Ker(H)=\{0\}$
\item Continuité :lorsque l'erreur $\delta y $tend vers 0 ,$\delta x $ tend aussi vers 0.
\end{itemize}
\end{defin}
\subsection{Discrétisation et linéarisation}
Pour $x\in\R^M $et $y\in\R^N$ on considère que $H$ est un opérateur linéaire.
\begin{prop}
On note $p=rg(H)$
\begin{itemize}
\item $ p = N=M$ Alors $H$ bijectif, $\vec{\hat{x}} = H^{-1}\vec{y}$.
\item $ p <M$ pas d'unicité mais on a :
\[
\vec{\hat{x}} =(\vec{H}^t(\vec{HH}^t)^{-1})\vec{y}
\]
\item $ p>M$ pas d'existance mais on peux trouver l'inverse généralisé
\[
\vec{\hat{x}} = (\vec{H}^t\vec{H})^{-1}\vec{H}^t\vec{y}
\]
\end{itemize}
\end{prop}
\newcommand{\vertiii}[1]{{\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert #1
\right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert}}
\paragraph{Conditionnement de la matrice}
En ajoutant une erreur $\delta\vec{x}$ a$\hat{\vec{x}}$ on peux calculer comment la matrice $H$ ``amplifie le bruit''
\begin{defin}
À partir de l'inverse généralisé on a :
\[
\|\delta x \| \leq \vertiii{(\vec{H}^t\vec{H})^{-1}} \vertiii{\vec{H}^t}
\]
avec $\vertiii{\vec{H}} = \sqrt{\max\{Sp(\vec{H})\}}$
Alors on défini le nombre de condition:
\[
\delta x \le c \delta y
\]
Avec :
\[
c =\sqrt{\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}}
\]
\end{defin}
Si il y a un mauvais conditionnement, le bruit (qui est presente sur toutes les composantes de la base modale) est amplifié de manière disproportionnées sur certaine composantes.
\paragraph{Décomposition en valeur singulière tronquées} On réduit la matrice à ces plus grandes valeurs propres pour réduire le conditionnement
\[
\tilde{\vec{H}}= \vec{U_t\Lambda_tV_t}
\]
L'estimateur devient :
\[
\hat{\vec{x}} = (\tilde{\vec{H}^t}\tilde{\vec{H}})^{-1}\tilde{\vec{H}^t}\vec{y}
\]
\section{Quelques méthode d'inversion classique}
\section{Caractérisation statistique des estimateurs}
\section{Interprétation bayésienne}
\section{Application à un cas simple d'observation multiple}
\section{Application à la déconvolution problème d'optimisation}
\section{Appliation de ma méthodologie bayésienne}
\end{document}
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\author{Pierre-Antoine Comby} \author{Pierre-Antoine Comby}
\teacher{Emmanuel Aldea \& Thomas Rodet} \teacher{Emmanuel Aldea \& Thomas Rodet}
\module{453 - Traitement d'Image} \module{453 - Traitement d'Image}
\renewcommand{\vec}{\mathbf}
\usepackage{multicol} \usepackage{multicol}
\begin{document} \begin{document}
...@@ -21,7 +22,8 @@ ...@@ -21,7 +22,8 @@
\tableofcontents \tableofcontents
\chapter{Introduction au traitement d'image} \chapter{Introduction au traitement d'image}
\subfile{chap1.tex} \subfile{chap1.tex}
\chapter{Inversion de donnée en imagerie}
\subfile{chap2.tex}
\end{document} \end{document}
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