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424 cours 21/03

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......@@ -95,7 +95,7 @@ Si $x_2 \neq 0$, alors $\Delta(x) = vect\{(\vect{x_1 \\ x_2 \\ 2},\vect{1 \\ 1 \
Soit le système non-linéaire (1) (affine en la commande)
\[ \dot{x} = f(x) + g(x)u = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x) u_i, \quad x \in \R^n \text{ et }u \in \R^m \]
\begin{defin}[Commandabilité]
\begin{defin}
Un système est\emph{ commandable} ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
\end{defin}
......@@ -137,25 +137,32 @@ Soit $\nabla \mathcal{V}$ l'ensemble des différentielles (gradient) des éléme
\end{defin}
\begin{thm}[Théorème d'observabilité]
Le système (2) est localement observable en $x_0$ si $dim \nabla \mathcal{V}(x_0) = n$ et il est observable si $\forall x \in \R^n, dim \nabla \mathcal{V}(c) = n$
Le système (2) est localement observable en $x_0$ si $\dim \nabla \mathcal{V}(x_0) = n$ et il est observable si $\forall x \in \R^n, \dim \nabla \mathcal{V}(c) = n$
\end{thm}
\begin{example}[linéaire]
\begin{exemple}[Cas linéaire]
\begin{align*}
\dot{x} & = Ax + Bu = f(x) + g(x)u\\
y & = Cx = h(x)
\end{align*}
\begin{align*}
\mathcal{V} & = \{ h(x), L_fh(x), L_gh, L^2_fh ,L_g^2h , L_fL_gh , L_gL_fh \dots \} \\
\mathcal{V} & = \{ Cx, C.Ax (=L_fh(x)), C.B (=L_gh), CA^2x (=L^2_fh) ,0 (=L_g^2h) , 0 (=L_fL_gh) , CAB (=L_gL_fh) \dots \} \\
\nabla \mathcal{V} & = \{ C , CA , 0 CA^2 , 0 , 0 , 0 \dots \} \\
dim \nabla \mathcal{V} & = rang \vect{ C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1}} \quad \text{Critère de Kalman}
\begin{align*}
\mathcal{O} = &\{ h(x), L_fh(x), L_gh,
L^2_fh ,L_g^2h , L_fL_gh ,
L_gL_fh \dots \} \\
\mathcal{O} = &\{ Cx, C.Ax (=L_fh(x)), \\
& C.B (=L_gh), CA^2x (=L^2_fh), \\
& 0 (=L_g^2h) , 0 (=L_fL_gh) , \\
& CAB (=L_gL_fh) \dots \} \\
\nabla \mathcal{O} = &\{ C , CA , 0 ,CA^2 , 0 , 0 , 0 \dots \} \\
\end{align*}
\end{example}
\[
\dim \nabla \mathcal{O} = {\rm rg} \vect{ C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1}} \quad \text{Critère de Kalman}
\]
\end{exemple}
\begin{rem}
l'action de la commande intervient dans l'observabilité. Cette contrainte est écartée dnas le cas linéaire.
l'action de la commande intervient dans l'observabilité. Cette contrainte est écartée dans le cas linéaire.
\end{rem}
\end{document}
......
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