Commit 432b9129 authored by Pierre-antoine Comby's avatar Pierre-antoine Comby

cours du 07/02

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......@@ -220,7 +220,7 @@ ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
\section{Théorème de Bendixon}
\begin{thm}
Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
Soit le système du second ordre $\dot{x}=f(x)$ avec $f$ le champ de vecteurs tel que $f:D\rightarrow\R^2$ avec $D$ un ensemble simplement connexe (d'un seul tenant, non formé de la réunion d'ensemble disjoint, sans trous) de $\R^2$ ne contenant pas de point d'équilibre.
Si:
\begin{itemize}
\item $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$
......
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\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
\begin{document}
\section{Trajectoire}
\begin{rem}
Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ avec $x(0)=x_0$. Cette solution est unique. Qu'en est-il en non-linéaire?
\end{rem}
\begin{defin}
Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$$\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ tel que les axiomes suivants sont vérifiés :
\begin{enumerate}
\item Continuité : $\chi(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $s(.,x)$ est dérivable.
\item Consistance : $\chi(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
\item Propriété de groupe : $\chi(\tau, \chi(t,x_0)) = \chi(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{rem}
\begin{itemize}
\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(.,.)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
\item On dénote la trajectoire $\chi(t,.) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
\item Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
\[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \]
Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$$\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).
En effet, montrons que $\chi_t$ est injective.
Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$.
On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi(0,y)=y$
$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y \in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue.
\end{itemize}
\end{rem}
\begin{exemple}
Système linéaire causal de dimension $n$ ($n$ variables d'état)
$s:[0,+\infty[ \times \R^n \rightarrow \R^n$$\chi(t,x)=e^{At}x$$A\in\R^n$ matrice d'évolution
Ainsi $\chi_t(x) = e^{At}x$$\chi_t :
\begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R\\x & \mapsto e^{At}x
\end{cases}
$
On a $(\chi_{\tau} \circ \chi_t) (x) = \chi_{\tau}(\chi_t(x)) = e^{A\tau}e^{At}x = \chi_{t+\tau}(x)$
\end{exemple}
\begin{prop}
Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D \rightarrow \R^n$ définie par $f(x) = \dd{\chi(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$.
\end{prop}
\begin{exemple}
Système linéaire $f(x)=\dd{e^{At}x}{t}|_{t=0}=Ax$
\end{exemple}
\begin{rem}
Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle unique ?
\end{rem}
\section{Théorème du point fixe}
\begin{thm}
Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $X$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,
\[ \text{ alors } \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $.
\end{thm}
\begin{defin}
Une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$ est lipschitzienne si $\exists \alpha > 0$ tel que \[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y)) \leq \alpha d_x(x,y)\]
\end{defin}
\begin{rem}
Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
\end{rem}
\begin{thm}[Cauchy-Lipschitz]
Soient le système dynamique défini par
\[
\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{$\ast$}
\]
Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors \\ {\centering$\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$}
\end{thm}
\begin{proof}
Soient $T(x) = x_0 + \int_t^{t_0}f(s)ds$, $t\in[t_0,\tau] = x(t)$
et on définit $S = \{ x(t) \text{ tel que } t\in [t_0,\tau], ||x-x_0|| \leq r \}$
Ainsi, $\forall x \in S$
\begin{align*}
||T(x) - x_0|| & = ||\int_{t_0}^t f(s)ds || \\
& = || \int_{t_0}^t (f(s)-f(t_0)+f(t_0))ds || \\
& \leq \int_{t_0}^t ||f(s)-f(t_0)||s + \int_{t_0}^t ||f(x_0)||ds \\
& \leq (\alpha r + C) ds \quad (f \text{ lipsch. et } ||s-x_0|| \leq r) \\
& \leq (\alpha r + C)(t-t_0) \leq r
\end{align*}
$\exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\tau - t_0) \leq \frac{r}{\alpha r + C}$ donc $T:S\rightarrow S$.
\begin{align*}
\forall x,y \in S, \quad ||T(x)-T(y)|| & \leq \int_{t_0}^t || f(x(s))-f(y(s)) || ds \\
& \leq \alpha \int_{t_0}^t || x(s) - y(s) || ds \\
& \leq \alpha \max_{s\in [t_0,\tau]} ||x(s)-y(s)|| \int_{t_0}^t ds \\
& \leq \alpha |||x(s)-y(s)||| (t-t_0) \quad \text{ avec } \|.\|=\max_{s\in [t_0,\tau]}(.)
\end{align*}
On veut $\alpha (t-t_0) \leq \alpha (\tau - t_0) \leq \rho$ avec $\rho<1$ donc $|||T(x)-T(y)|| \leq \rho |||x-y|||$.
Il suffit de choisir $\tau$ tel que $\tau - t_0 \leq \frac{\rho}{\alpha}$
$T:S \rightarrow S$ est contractante pour $\tau - t_0 \leq \min \{ \frac{r}{\alpha r + C}, \frac{\rho}{\alpha} \}$
(*) a une unique trajectoire.
\end{proof}
\paragraph{Rappel : point d'équilibre}
le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses valeurs propres sont à partie réelle négative, il existe un unique point d'équilibre $\overline{x}$ stable tq $\dot{x} =0$ (si $\det(A) \neq 0$n $\overline{x}=0$).
Dans le cas non linéaire on peux avoir plusieurs points d'équilibre, isolés, voire une infinité, ou aucun. Ainsi la stabilité en non linéaire n'est pas une caractéristique du système mais d'un point (ou un ensemble de point) qui sont généralement les points d'équilibre.
\begin{example}[Pendule simple]
\begin{enumerate}
\item
% schema pendule
On a la représentation d'état ($x_1=\theta$,$x_2=\dot{\theta}$):
\[
\begin{cases}
\dot{ x_1} = x_2\\
\dot{x_2} = \frac{-g}{l}sin(x_1)-\frac{k}{m}x_2
\end{cases}
\]
Les points d'équilibre vérifient $\dot{x_1}=\dot{x_2} = 0 $soit $x_1= k\pi$,$k\in\Z$. physiquement on a deux points : $0$ et $\pi$.
\item soit le système NL:
\[
\begin{cases}
\dot{x_1}= \alpha + \sin(x_1(t)+x_2(t))+x_1(t)\\
\dot{x_2}=\alpha+ + \sin(x_1(t)+x_2(t))-x_1(t)
\end{cases}
\]
Les point d'équilibre sont solutions de $\dot{x_1}=0$ et $\dot{x_2}=0$: on a pas de solution, en effet $\dot{x_1}+\dot{x_2} = 2\alpha+2\sin(x_1+x_2)$ pour $\alpha>1$
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{rem}
Les points d'équilibre peuvent aussi être déterminer dans le cas du régime forcé : $\dot{x}(t) = f(\overline{x},\overline{u}) = 0$
\end{rem}
\section{Critère Qualitatif}
\paragraph{But}: Tracer les trajectoires $\chi(t,x_0),\forall x_0\in \D$ dans l'espace de phase $\R^n$$n$ est la dimension du système.
......
......@@ -12,14 +12,15 @@
\tableofcontents
\chapter{Classification}
\subfile{chap1.tex}
\chapter{Stabilité des systèmes linéaires} %premier cours en 2019
\subfile{chap4.tex}
\chapter{Caractérisation de la stabilité}
\subfile{chap4b.tex}
\chapter{Linéarisation}
\subfile{chap2.tex}
\chapter{Methode du premier harmonique}
\subfile{chap3.tex}
\chapter{Stabilité des systèmes non linéaires}
\subfile{chap4.tex}
\chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
\subfile{chap5.tex}
\end{document}
......
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