Commit 618f6bcc authored by Pierre-antoine Comby's avatar Pierre-antoine Comby

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......@@ -187,7 +187,6 @@ Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel
\]
Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
\begin{rem}
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
\end{rem}
......@@ -236,7 +235,8 @@ Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle li
$\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$$n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
Suivant le théorème de Green,
\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\]
\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS \text{ donc } \iint_S \divv f(x)dS = 0
\]
Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
......@@ -245,9 +245,7 @@ Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
\begin{example}
Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$$\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\
Représentation d'état :
\[
\begin{cases}
\dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\
......@@ -259,10 +257,34 @@ Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
$\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
\end{example}
\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Un ensemble $\mathcal{M}\subset \mathcal{D}$ est dit \emph{positivement
invariant} du système $\Sigma$ si
\[\chi_t(\mathcal{M}) \subseteq \mathcal{M} , \forall t \ge 0\]
\item Si la propriété est vraie $\forall t\le 0 $ l'ensembles est \emph{négativement invariant}.
\item Si la propriété est vraie $\forall t\in \R$ . l'ensembles est \emph{invariant}
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{rem}
Un ensemble invariant est un fermé de $\R^n$.
\end{rem}
\begin{rem}
Un cycle limite stable ou semi-stable est un cas particulier d'un ensemble invariant. Cet ensemble est un \emph{attracteur} et ne peut avoir qu'un comportement périodique.
\end{rem}
\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
\begin{defin}
Un attracteur est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
\[
\forall x\in \mathcal{N}, \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 et \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
\]
\end{defin}
\begin{rem}
Physiquement\footnote{\emph{sic.}} un attracteur est un fermé borné (compact)
\end{rem}
\begin{thm}
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$$S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
......@@ -275,7 +297,21 @@ Interprétation :
Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\
Example 1 :
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $\omega_0$ définit un ensemble positivement invariant.
\item Dans $\R^2$ le seul attracteur possible est un cycle limite.
\item Si la trajectoire converge vers un ensemble alors on a les cas possibles:
\begin{itemize}
\item C'est un ensemble de points d'équilibres.
\item C'est un cycle limite.
\item La trajectoire est un cycle limite.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{prop}
Exemple 1 :
\begin{align*}
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
......@@ -290,8 +326,6 @@ Example 1 :
Les deux systèmes sont stables
Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\
Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\
......
......@@ -8,7 +8,12 @@
\end{itemize}
\section{Schéma-blocs}
\[ x \longrightarrow \boxed{\text{Non-linéarité}} \longrightarrow y \longrightarrow \boxed{H(p)} \longrightarrow z \]
\[ x \longrightarrow \boxed{
\begin{array}{c}
\text{Non} \\
\text{Linéarité}
\end{array}
} \longrightarrow y \longrightarrow \boxed{H(p)} \longrightarrow z \]
La fonction de transfert $H(p)$ (fraction rationnelle) correspond à un filtre passe-bas de degré relatif $\geq 2$.\\
On prend $x=X\sin \omega t$. Dans le cas linéaire, seule la valeur de $\omega$ influe sur le tracé de la diagramme de Bode du système. Dans le cas non-linéaire, on a plusieurs tracés de réponses fréquentielles. Par exemple, avec une saturation, on obtient des réponses fréquentielles qui dépendent de l'amplitude d'entrée de $X$ dès qu'elle devient trop élevée.
......@@ -293,3 +298,8 @@ Le cycle limite est stable si l'intersection de $T_{BO}(j\omega)$ et de $-\frac{
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-7.png}
\end{figure}
\end{document}
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