Commit 618f6bcc authored by Pierre-antoine Comby's avatar Pierre-antoine Comby

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...@@ -187,7 +187,6 @@ Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel ...@@ -187,7 +187,6 @@ Pour toutes les CI n'appartenant pas au cycle limite, $ \exists t > 0 \text{ tel
\] \]
Point d'équilibre $x^* =(0,0)$ Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
\begin{rem} \begin{rem}
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable. Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
\end{rem} \end{rem}
...@@ -236,7 +235,8 @@ Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle li ...@@ -236,7 +235,8 @@ Par l'absurde, soit $\Gamma = \{x\in D, x(t), 0 \leq t \leq T\}$ est un cycle li
$\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$$n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$. $\forall x \in \Gamma$, $f(x)$ est tangent à $\Gamma$ tel que $f(x).n(x)=0$$n(x)$ est le vecteur normal de $\Gamma$ en $x$.
Suivant le théorème de Green, Suivant le théorème de Green,
\[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS \text{ donc } \iint_S \div f(x)dS = 0\] \[ \oint_{\Gamma} f(x)n(x)dx = \iint_S \divv f(x)dS \text{ donc } \iint_S \divv f(x)dS = 0
\]
Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire. Si $\exists x \in D$ tel que $\divv f(x) \neq 0$ et que $\div f$ ne change pas de signe dans $D$ (donc a fortiori dans $S\subset D$), on déduit de la continuité de l'opérateur $\divv f$ dans $D$ que $\iint_S \div f(x)dS \neq 0$ : contradictoire.
...@@ -245,9 +245,7 @@ Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite. ...@@ -245,9 +245,7 @@ Ainsi, $D$ ne contient pas de cycle limite.
\begin{example} \begin{example}
Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$$\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\ Soit le système NL du 2nd ordre $\ddot{x}(t) + \alpha \dot{x}(t) + g(x(t)) = 0$, avec $x(0) = x_0$ et $\dot{x}(0) = \dot{x}_0$$\alpha \neq 0$ et $g:\R \rightarrow \R$ continue avec $g(0)=0$. \\
Représentation d'état : Représentation d'état :
\[ \[
\begin{cases} \begin{cases}
\dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\ \dot{x}_1(t) & = x_2(t) = f_1(x)\\
...@@ -259,10 +257,34 @@ Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$. ...@@ -259,10 +257,34 @@ Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
$\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$. $\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
\end{example} \end{example}
\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Un ensemble $\mathcal{M}\subset \mathcal{D}$ est dit \emph{positivement
invariant} du système $\Sigma$ si
\[\chi_t(\mathcal{M}) \subseteq \mathcal{M} , \forall t \ge 0\]
\item Si la propriété est vraie $\forall t\le 0 $ l'ensembles est \emph{négativement invariant}.
\item Si la propriété est vraie $\forall t\in \R$ . l'ensembles est \emph{invariant}
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{rem}
Un ensemble invariant est un fermé de $\R^n$.
\end{rem}
\begin{rem}
Un cycle limite stable ou semi-stable est un cas particulier d'un ensemble invariant. Cet ensemble est un \emph{attracteur} et ne peut avoir qu'un comportement périodique.
\end{rem}
\section{Théorème de Poincaré-Bendixon} \begin{defin}
Un attracteur est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
\[
\forall x\in \mathcal{N}, \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 et \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
\]
\end{defin}
\begin{rem}
Physiquement\footnote{\emph{sic.}} un attracteur est un fermé borné (compact)
\end{rem}
\begin{thm} \begin{thm}
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$$S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\ Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$$S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
...@@ -275,7 +297,21 @@ Interprétation : ...@@ -275,7 +297,21 @@ Interprétation :
Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\ Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\ \paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\
Example 1 :
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $\omega_0$ définit un ensemble positivement invariant.
\item Dans $\R^2$ le seul attracteur possible est un cycle limite.
\item Si la trajectoire converge vers un ensemble alors on a les cas possibles:
\begin{itemize}
\item C'est un ensemble de points d'équilibres.
\item C'est un cycle limite.
\item La trajectoire est un cycle limite.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{prop}
Exemple 1 :
\begin{align*} \begin{align*}
\dot{x} & = \dot{x} & =
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
...@@ -290,8 +326,6 @@ Example 1 : ...@@ -290,8 +326,6 @@ Example 1 :
Les deux systèmes sont stables Les deux systèmes sont stables
Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\ Stabilité locale mais le système est instable globalement.\\
Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\ Important : l'analyse faite par linéarisation donne uniquement une information sur la stabilité locale et non globale.\\
......
...@@ -8,7 +8,12 @@ ...@@ -8,7 +8,12 @@
\end{itemize} \end{itemize}
\section{Schéma-blocs} \section{Schéma-blocs}
\[ x \longrightarrow \boxed{\text{Non-linéarité}} \longrightarrow y \longrightarrow \boxed{H(p)} \longrightarrow z \] \[ x \longrightarrow \boxed{
\begin{array}{c}
\text{Non} \\
\text{Linéarité}
\end{array}
} \longrightarrow y \longrightarrow \boxed{H(p)} \longrightarrow z \]
La fonction de transfert $H(p)$ (fraction rationnelle) correspond à un filtre passe-bas de degré relatif $\geq 2$.\\ La fonction de transfert $H(p)$ (fraction rationnelle) correspond à un filtre passe-bas de degré relatif $\geq 2$.\\
On prend $x=X\sin \omega t$. Dans le cas linéaire, seule la valeur de $\omega$ influe sur le tracé de la diagramme de Bode du système. Dans le cas non-linéaire, on a plusieurs tracés de réponses fréquentielles. Par exemple, avec une saturation, on obtient des réponses fréquentielles qui dépendent de l'amplitude d'entrée de $X$ dès qu'elle devient trop élevée. On prend $x=X\sin \omega t$. Dans le cas linéaire, seule la valeur de $\omega$ influe sur le tracé de la diagramme de Bode du système. Dans le cas non-linéaire, on a plusieurs tracés de réponses fréquentielles. Par exemple, avec une saturation, on obtient des réponses fréquentielles qui dépendent de l'amplitude d'entrée de $X$ dès qu'elle devient trop élevée.
...@@ -293,3 +298,8 @@ Le cycle limite est stable si l'intersection de $T_{BO}(j\omega)$ et de $-\frac{ ...@@ -293,3 +298,8 @@ Le cycle limite est stable si l'intersection de $T_{BO}(j\omega)$ et de $-\frac{
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-7.png} \includegraphics[scale=0.4]{2/424-7.png}
\end{figure} \end{figure}
\end{document} \end{document}
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