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424 cours du 14/03

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......@@ -133,20 +133,17 @@ Ainsi, on obtient :
r(t) = e^{\alpha t} r_0
\end{matrix}\right.\]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
\end{center}
\[
\begin{cases}
\delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
\delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
\delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
\end{cases}
\]
\nopagebreak[1]
\section{Cycle limite}
\begin{defin}
Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
......
......@@ -183,14 +183,18 @@ Dans l'analyse harmonique, la NL est modélisée par $N(X)$. Ainsi, il faut trou
axis lines =middle,
xlabel=$t$,ylabel=$X$,
xtick={1,2,3.1415},xticklabels={$t_1$,$\frac{\pi}{\omega}-t_1$,$\frac{\pi}{\omega}$},
ytick={-1.5,1.5},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
ytick={-2.1,2.1},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
ymin=-3,ymax=3, xmin=0,xmax=7,
domain=0:7,
]
\addplot[no marks,black] {2.5*sin(deg(x))};
\addplot[no marks,black,smooth,dashed] {2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks,domain=0:1]{2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks,domain=2.1415:4.1415]{2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks,domain=5.283:7]{2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks] coordinates {(1,2.1) (2.1415,2.1)};
\addplot[thick, no marks] coordinates {(4.1415,-2.1) (5.283,-2.1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-4.png}
\end{figure}
Calcul de $N(X)$ :
......@@ -219,8 +223,20 @@ N(x) & =
On a donc pour notre exemple de saturation
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.2]{2/424-5.png}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,
xmin=-4,xmax=3,ymin=-2,ymax=3,ticks=none,
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
\addplot[smooth,thick,|-latex] coordinates {(-2.5,0) (-4,0)};
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
\node[below] at (axis cs: -3,0) {$-\frac{1}{N(X)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{INSTABLE}
\end{figure}
\end{exemple}
......@@ -275,7 +291,17 @@ i.e. en notant $\left.\derivp[]{X}\right|_{\zero}=\left.\derivp[]{X}\right|_0$
\noindent Différents types de perturbation
\begin{figure}[h!]
\centering
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,
ticks=none, domain=0:10,
xmin=0,xmax=10,ymin=-2,ymax=2]
\addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))};
\addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(exp(x/10))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-61.png}
\end{figure}
$m > 0$ et $\delta X > 0$ : CL est stable
......@@ -340,8 +366,41 @@ Les tangentes aux courbes $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$ sont colinéaires aux vecte
Ainsi, la condition $-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[Q]{X}>0 \Rightarrow (\vec{v_T},\vec{u_N})$ dans le sens direct.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-7.png}
\centering
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,name=plot1,
at={(0,0)},
xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(0,-4) (-1,-2) (-3,-1)};
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
\node[above] at (axis cs: -1,-2) {$-\frac{1}{N(X)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{STABLE}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,
xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-3,-2) (-2,-1) (-0.5,-0.5)};
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
\node[below] at (axis cs: -1,-1) {$-\frac{1}{N(X)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{INSTABLE}
\end{subfigure}
\caption{Critère géométrique de stabilité}
\end{figure}
\begin{thm}[Critère de Loeb]
......
This diff is collapsed.
......@@ -205,7 +205,7 @@ Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
\end{enumerate}
Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique.
\end{defin}
\begin{figure}[H]
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
......
......@@ -6,12 +6,12 @@
\begin{document}
\section{Introduction (notations maths)}
\begin{defin}[Champ de vecteur]
C'est une application de $\R^n \rightarrow \R^n$.
\begin{defin}
On appelle \emph{champ de vecteur} toute application de $\R^n \rightarrow \R^n$.
\end{defin}
\begin{defin}[Crochet de Lie]
Soit $f : \R^n \rightarrow \R^n$ et $g : \R^n \rightarrow \R^n$, on définit le crochet de Lie :
\begin{defin}
Soit $f : \R^n \rightarrow \R^n$ et $g : \R^n \rightarrow \R^n$, on définit le \emph{crochet de Lie} :
\[ [f,g] :
\begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R^n \\ x & \mapsto J_g(x)f(x) - J_f(x)g(x)
......@@ -30,9 +30,9 @@ Alors
[f,f] = 0 \quad
\end{align*}
\end{prop}
\begin{defin}[Algèbre de Lie]
$G$ est une algèbre de Lie sur $\K$ si $G$ est un espace vectoriel ayant pour loi interne le crochet de Lie.
\newpage
\begin{defin}
$G$ est une \emph{algèbre de Lie} sur $\K$ si $G$ est un espace vectoriel ayant pour loi interne le crochet de Lie.
\end{defin}
\begin{rem}
......@@ -51,8 +51,8 @@ $ad_f^1 g(x) = [f,g](x)$
$ad_f^k g(x) = [f,ad_f^{k-1}g](x)$
\begin{defin}[Dérivée de Lie]
la dérivée de Lie d'une fonction $\alpha : \R^n \rightarrow \R$ dans la direction de $f : \R^n \rightarrow \R^n$, notée $L_f\alpha$, est définie par :
\begin{defin}
la \emph{dérivée de Lie} d'une fonction $\alpha : \R^n \rightarrow \R$ dans la direction de $f : \R^n \rightarrow \R^n$, notée $L_f\alpha$, est définie par :
\[L_f \alpha(x) = \sum_{i=1}^n \derivp[\alpha(x)]{x_i}f_i(x) \]
Ainsi,
......@@ -70,8 +70,8 @@ L_{[f,g]} \alpha(x) & = L_f L_g \alpha(x) - L_gL_f \alpha(x)
\end{itemize}
\end{rem}
\begin{defin}[dimension]
La dimension d'un ensemble de champs de vecteurs $E=\{f_1(x) \dots f_n(x)\}$, où $f_i(x) : \R^n \rightarrow \R^n$, est la dimension de l'espace vectoriel $\Delta(x)$ engendré par l'ensemble $E$.
\begin{defin}
La \emph{dimension} d'un ensemble de champs de vecteurs $E=\{f_1(x) \dots f_n(x)\}$, où $f_i(x) : \R^n \rightarrow \R^n$, est la dimension de l'espace vectoriel $\Delta(x)$ engendré par l'ensemble $E$.
\begin{rem}
On fait la confusion entre rang et dimension.
......@@ -96,7 +96,7 @@ Soit le système non-linéaire (1) (affine en la commande)
\[ \dot{x} = f(x) + g(x)u = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x) u_i, \quad x \in \R^n \text{ et }u \in \R^m \]
\begin{defin}[Commandabilité]
Un système est commandable ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
Un système est\emph{ commandable} ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
\end{defin}
\begin{thm}[Théorème de Commandabilité]
......@@ -123,8 +123,8 @@ Soit le système NL (2) (affine en la commande) :
y & = h(x)
\end{align*}
\begin{defin}[Observabilité]
Un système est observable si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
\begin{defin}
Un système est \emph{observable} si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
\end{defin}
\begin{defin}[Espace d'observabilité]
......@@ -159,3 +159,8 @@ l'action de la commande intervient dans l'observabilité. Cette contrainte est
\end{rem}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End:
......@@ -6,6 +6,8 @@
\teacher{Mohamed Abbas Turkis}
\module{424 \\ Commandes de système non linéaires}
\usepackage{multicol}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{patterns}
\begin{document}
\maketitle
......@@ -20,7 +22,6 @@
\subfile{chap3.tex}
\chapter{Stabilité des systèmes non linéaires}
\subfile{chap4.tex}
\chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
\subfile{chap5.tex}
\end{document}
......
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