Commit 710c1753 authored by Pierre-antoine Comby's avatar Pierre-antoine Comby

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\documentclass[main.tex]{subfiles}
\newcommand{\snzi}{\sum_{n=0}^{+\infty}}
\newcommand{\snii}{\sum_{n=0}^{+\infty}}
\begin{document}
\subsection{Principes}
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{A}
\sbBlocL{E}{Échantilloneur}{A}
\sbSortie{S}{E}
\sbRelier{E}{S}
\node[left=-1em] at (A) {
\begin{tabular}{c}
Signal\\ analogique \\
à temps\\ continu
\end{tabular}};
\node[right=-1em] at (S) {
\begin{tabular}{c}
Signal\\ analogique \\
à temps\\ continu
\end{tabular}};
\end{tikzpicture}
\end{subfigure}~~%
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines = middle, width=8cm,
xmin=0,xmax = 10,ymin=-2,ymax=3,
ytick =\empty, ylabel={{\color{blue}$x_c(t)$}, {\color{red}$x_E(t)$}},
xtick = {3,6,9},xticklabels={$T_e$,$2T_e$,$3T_e$},
x tick label style={yshift={mod(\ticknum,2)*2em}}]
\addplot+[smooth,no marks] plot coordinates{(0,2) (2,1.5) (3,2) (4,1) (5,-1.5)(6,-1.5)(7,0)(9,1)};
\draw[dashed,red] (axis cs:3,0)-- (axis cs:3,2)node{$\bullet$}
(axis cs:6,0)-- (axis cs:6,-1.5)node{$\bullet$}
(axis cs:9,0) -- (axis cs:9,1)node{$\bullet$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{subfigure}
\end{figure}
On prélève la valeur de $x_c(t)$ à un instant de l'ensemble discret $nT_e, n\in\N$.
\[x_E(t) = \snzi x_c(nT_e) \delta(t-nT_e) \]
\begin{rem}
$\snzi$ traduit la causalité, la distribution $\delta$ traduit la durée infiniment courte de l'échantillonnage (échantillonnage idéal)
\end{rem}
Dans le domaine fréquentiel, on a donc
\begin{align*}
X_E(f) & = (X_c * TF [ \snzi \delta(t-nT_e) ])(f) \\
& = (X_c * TF [ \snii \delta(t-nT_e) ])(f) \quad \text{ avec } x_c(t) = 0 , t <0 \\
\text{Or, } TF [ \snzi \delta(t-nT_e) ] & = \snzi e^{-j2\pi f T_e} \\
& = \frac{1}{T_e} \snzi \delta(f-\frac{n}{T_e}) \text{ d'après la formule de Poisson} \\
\text{ donc } X_E(f) & = F_e \snii X_c(f-nF_e)
\end{align*}
On répète donc le spectre de $x_c$ à tous les multiples de la fréquence d'échantillonnage.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[axis lines = middle,
height = 5cm,
xlabel = {$f$},
ylabel = {$|X(f)|$},
xmin = -7 ,xmax = 7, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
xtick = {-5.5,5.5},
xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
ytick=\empty]
\addplot+[no marks] plot coordinates {(-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Spectre du signal continu}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[axis lines = middle,
height = 5cm, width=10cm,
xlabel = {$f$},
ylabel = {$|X(f)|$},
xmin = -20 ,xmax = 20, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
xtick = {-5.5,5.5},
xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
ytick=\empty]
\addplot+[no marks, red] plot coordinates {
(-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)
};
\addplot+[no marks,blue] plot coordinates {
(-18.5,0) (-16,1) (-13.5,0) (-12.5,0) (-10,1) (-7.5,0)
};
\addplot+[no marks,blue] plot coordinates {
(7.5,0) (10,1) (12.5,0) (13.5,0) (16,1) (18.5,0)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Spectre du signal échantilloné}
\end{subfigure}\\
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[axis lines = middle,
height = 5cm, width=10cm,
xlabel = {$f$},
ylabel = {$|X_E(f)|$},
xmin = -20 ,xmax = 20, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
xtick = {-5.5,5.5},
xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
ytick=\empty]
\addplot+[no marks, red] plot coordinates {
(-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)
};
\addplot[no marks, dashed ,blue] plot coordinates {
(-15.5,0) (-13,1) (-10.5,0) (-9.5,0) (-7,1) (-4.5,0)};
\addplot[no marks, dashed ,blue] plot coordinates {
(4.5,0) (7,1) (9.5,0) (10.5,0) (13,1) (15.5,0)
};
\addplot[no marks, dashed ,blue] plot coordinates {
(14.5,0) (17,1)};
\addplot[no marks, dashed ,blue] plot coordinates {
(-14.5,0) (-17,1)};
\addplot[no marks,green] plot coordinates {
(-17,1) (-15.5,0.5) (-14.5,0.5)
(-13,1) (-10.5,0) (-9.5,0) (-7,1)
(-5.5,0.5) (-4.5,0.5) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1)
(4.5,0.5)(5.5,0.5) (7,1) (9.5,0) (10.5,0) (13,1)
(14.5,0.5) (15.5,0.5) (17,1)};
\coordinate (R) at (axis cs: -5,0.25);
\end{axis}
\draw[latex-] (R) to[bend left] ++(-2,2) node[above]{\textit{Repliement}};
\end{tikzpicture}
\caption{Repliement de spectre}
\end{subfigure}
\end{figure}
\begin{thm}[Théorème de Shannon]
La fréquence d'échantillonnage doit être au moins 2 fois supérieure à la fréquence maximale du spectre du signal échantillonné.
\[ F_e > 2 F_M \]
\end{thm}
Comme le signal $x_c(t)$ est a priori aléatoire, on ne peut pas forcément garantir de connaître la valeur de sa fréquence maximale $F_M$. On ajoute donc un filtre anti-repliement (\emph{anti-aliasing}) avant l'échantillonnage pour garantir le critère de Shannon.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw (0,0) node[left]{$x_c(t)$} to[lowpass] ++ (2,0) to[spst,l=$T_e$] ++(2,0) node[inputarrow]{} node[right]{$x_E(t)$};
\end{circuitikz}
\caption{Utilisation d'un filtre antirepliement }
\end{figure}
\begin{rem}
Le filtre anti-repliement est un filtre passe-bas de fréquence de coupure (bande passante) $\frac{F_e}{2}$
\end{rem}
Pour retrouver le signal analogique à temps continu, si le théorème de Shannon est respecté, il suffit de faire un filtrage passe-bas sur une bande de fréquence $F_M$ de $x_E(t)$ :
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[axis lines = middle,
height = 5cm, width=10cm,
xlabel = {$f$},
ylabel = {$|X(f)|$},
xmin = -20 ,xmax = 20, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
xtick = {-5.5,5.5},
xticklabels = {$-F_M$, $+F_M$},
ytick=\empty]
\addplot+[no marks, red] plot coordinates {
(-5.5,0) (-3,1) (-0.5,0) (0.5,0) (3,1) (5.5,0)
};
\addplot+[no marks,blue] plot coordinates {
(-18.5,0) (-16,1) (-13.5,0) (-12.5,0) (-10,1) (-7.5,0)
};
\addplot+[no marks,blue] plot coordinates {
(7.5,0) (10,1) (12.5,0) (13.5,0) (16,1) (18.5,0)
};
\addplot[no marks, dashed, black] plot coordinates {
(-6.5,0) (-6.5,1.1) (6.5,1.1) (6.5,0)
};
\coordinate (A) at (axis cs:-6,1);
\end{axis}
\draw[latex-] (A) to[bend left] ++(-1,1) node[above=-0.7em]{
\begin{tabular}{c}
Filtre\\ passe-bande
\end{tabular}
};
\end{tikzpicture}
\caption{Reconstitution du signal continu}
\end{figure}
Formellement, on peut considérer la transformée de Laplace :
\[ TL[x_E(t)] = X_E(p) = X_c(p) * TL[\snii \delta(t-nT_e)] \]
Or, \[TL[\snii \delta(t-nT_e)] = \snii e^{-npT_e} = \snii z^{-n} \]
donc finalement
\[X_c(z) = \snii x_c(nT_e)z^{-n}\]
\subsection{Échantillonneur bloqueur}
Dans la réalité, la valeur échantillonnée est conservée sur un temps de blocage $\tau \leq T_e$. En pratique, $\tau = T_e$.\\
%\img{0.5}{1/9.png}
On écrit donc \[ x_E(t) = \snzi x_c(nT_e)P_{\tau}(t-nT_e), \quad P_{\tau} \text{ fonction porte } P_{\tau} (t) =
\begin{cases}
1 & \text{ si } 0 \leq t \leq \tau\\
0 & \text{ sinon}
\end{cases}
\]
On peut également écrire
\[x_E(t) = (\snii x_c(nT_e)\delta(t-nt_e)) * P_{\tau}(t) \]
d'où
\[X_E(f) = (F_E \snii X_c(f-nF_e)) TF [P_{\tau}(t)]\]
Comme $TF [P_{\tau}(t)] = \tau e^{-j2\pi f \tau} \sinc(\pi f \tau)$,
\[X_E(f) = \tau F_E \snii X_c(f-nF_e) e^{-j2\pi f \tau} \sinc(\pi f \tau) \]
%\img{0.5}{1/10.png}
Autour de $f=0$, le spectre est peu modifié. Autour des autres multiples de $F_e$, le spectre sera atténué par le sinus cardinal.
\begin{rem}
Si $\tau = T_e$, on a une atténuation par le sinus cardinal en $f=\frac{F_e}{2}$ (limite de Shannon) de 3.9dB (non négligeable)
\end{rem}
\subsection{Techniques de mise en oeuvre}
\subsubsection{L'échantillonneur}
Il faut un interrupteur électronique commandable. Typiquement, cette fonction est réalisée par un transistor à effet de champ de type MOSFET (\emph{Metal Oxyde Semi-conductor Field Effect Transistor})
MOSFET à canal N (charges négatives qui constituent le canal) de type \emph{Normally Off} (le canal n'existe pas si on n'applique pas le bon type de tension) de symbole suivant :
\begin{center}
\begin{circuitikz}
\draw (0,0) node[nmos,rotate=-90](N){}
(N.G)node[anchor=south]{G : grille}
(N.S)node[anchor=north east]{S :source}
(N.D)node[anchor=north west]{D : drain};
\end{circuitikz}
\end{center}
\paragraph{Principe de fonctionnement :}
former (ou faire disparaître) un canal de transmission en électrons entre les électrodes de drain et de source grâce au champ électrique induit dans l'oxyde par la tension grille-souce $V_{GS}$.
La conductivité (donc résistivité) du canal est contrôlée par $V_{GS}$. L'accélération des électrons est contrôlée par $V_{DS}$ : $V_{DS}$ contrôle le courant de drain $I_D$ par déplacement d'électrons de la source au drain, d'où $I_D(V_{DS},V_{GS})$.\\
\paragraph{Caractéristiques électriques}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines = middle,
xmin=-0.1,xmax =10,ymin=-0.1,ymax=10,
domain=0:9,ticks=none,samples=51,
xlabel=$V_{DS}$,ylabel=$I_{DS}$]
\addplot[no marks,red,]{1*(1-exp(-x/0.5))};
\addplot[no marks,red,]{5*(1-exp(-x/0.5))};
\addplot[no marks,red,]{7*(1-exp(-x/0.5))};
\node at (axis cs:10,1) {$V_{GS1}$};
\node at (axis cs:10,5) {$V_{GS5}$};
\node at (axis cs:10,7) {$V_{GS3}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Caractéristique d'un transistor NMOS}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item Si $V_{GS}=0$ transistor bloqué tant que $0<V_{GS}<V_T$, $V_T$ tension de seuil (pour l'apparition d'un canal en électrons entre source et drain, $V_T$ pour \emph{threshold}). On est à l'état État off.
On est alors en régime ohmique (si $V_{GS}$ augmente, la densité des électrons augmente donc la résistance du canal diminue).\\
\item si $V_{DS}\gg V_{GS}-V_T$ est assez grand on se place dans la \emph{zone de saturation} et on a une source de courant idéale.
\[
I_{D} = \frac{\beta}{2}\left( V_{GS}-V_T\right)^2
\]
\item si $V_{DS}< V_{GS}-V_{T}$ on est dans la \emph{zone ohmique}.
\[
I_{D} = \beta \left( V_{GS}-V_T-\frac{1}{2}V_{DS}\right)V_{DS}
\overset{V_{DS}\ll V_{GS}-V_{T} }{\simeq}
\beta (V_{GS}-V_T)V_{DS}
\]
\end{itemize}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{1/12.png}
\paragraph{Structure physique}
Les 2 zones de Si dopées N sont des réservoirs à électrons, séparées par la longueur de la grille $L_G$, par une zone de Si dopée P où les porteurs de courant sont des trous (charges positives).
À l'interface P/N il y a une barrière d'énergie potentielle qui empêche les électrons de passer dans la zone P et les trous dans la zone N.
Si on applique $V_{GS}>0$, on crée un champ électrique dans l'oxyde dans le sens de la grille vers S, qui repousse les trous vers le fond de la plaquette et attire les électrons des réservoirs de source et de drain.
Si $V_{GS}>V_T$ tous les trous ont disparu de la zone sous l'oxyde et on y a créé un canal riche en électrons de S à D.
Mais $R_{on} = \frac{K}{V_{GS}-V_T}$ pour $V_{GS} \geq V_T$ la résistance du canal pour $V_{DS} \approx 0$.
On vise l'état On : $V_G = V_{DD}$ mais $V_{GS}=V_{DD}-x_c$.
MOSFET passant équivaut à $V_{GS} \geq V_T$ soit $x_c \leq V_{DD}-V_T$.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines = middle,
xmin=-0.1,xmax =10,ymin=-0.1,ymax=10,
domain=0:2.99,samples=51, height=5cm,
xlabel=$x_c$,ylabel=$R_{OM}$,
ytick=\empty,
xtick = {3}, xticklabels={$V_{DD}-V_{T}$}]
\addplot[no marks,red,]{-2/(x-3)};
\addplot[no marks, dashed, black] plot coordinates{(3,0) (3,9.9)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Caractéristique d'un transistor NMOS}
\end{figure}
\textbf{Comment améliorer la gamme de variation possible de $x_c$ ?} \\
Le MOSFET à canal P a une zone sous sa grille dopé N et 2 réservoirs dopés P. On le choisit conducteur pour $V_{GS} < -V_T < 0$. On a alors un interrupteur CMOS (C pour complementary)
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw (0,1) node[nmos,rotate=-90](N){} (0,-1) node[pmos,rotate=90](P){}
(N.S) -- (P.S) node[midway](A){} (P.D)--(N.D)node[midway](B){}
(A) to[short,-o] ++(-1,0)node[left]{$x_c$} (B) to[short,-o] ++(1,0) node[right]{$x_e(t)$}
;\end{circuitikz}
\caption{Interrupteur CMOS}
\end{figure}
À l'état passant de l'interrupteur CMOS :
\begin{itemize}
\item $R_{ON_N} = \frac{K}{V_{GS_N}-V_T} = \frac{K}{V_{DD}-x_C-V_T}$ pour $x_c \leq V_{DD}-V_T$
\item $R_{ON_P} = \frac{K}{V_{GS_P}+V_T} = \frac{K}{-x_c+V_T}$ pour $x_c > V_T$
\end{itemize}
Avec $R_{ON_N} // R_{ON_P}$ la résistance globale est quasiment constante quand l'interrupteur CMOS est passant.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines = middle,
xmin=-0.1,xmax =10,ymin=-0.1,ymax=10,
samples=51, height=5cm, domain = 1.01:6.99,
xlabel=$x_c$,ylabel=$R_{OM}$,
ytick=\empty,
xtick = {9}, xticklabels={$V_{DD}-V_{T}$}]
\addplot[no marks,black,dashed]{-1/(x-7)+1};
\addplot[no marks,blue,dashed]{1/(x-1)+1};
\addplot[no marks,red,smooth] plot coordinates {(1,1) (4,1.3) (7,1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Résistance d'un interrupteur CMOS}
\end{figure}
\subsubsection{Le bloqueur}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw (0,0) node[op amp](oa){}
(oa.-) -- ++(0,1) -| (oa.out) to[short,-o] ++(1,0)node[right]{$x_e(t)$}
(oa.+) -- ++(-1,0) coordinate(A) to[C] ++(0,-2) node[ground]{}
(A) ++ (-2,0)node[left]{$x_c(t)$} to[spst,o-] (A)
;\end{circuitikz}
\caption{Schéma électrique d'un échantilloneur bloqueur}
\end{figure}
L’échantillonneur est un interrupteur électronique contrôlé par une horloge de période $T_e = \frac{1}{F_e}$\\
La capacité est utilisée pour le "blocage".\\
Le suiveur est optionnel et permet d'avoir une tension $x_e(t)$ non perturbée par ce qui suit.\\
Que peut-on utiliser comme interrupteur?\\
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw (0,1) node[nmos,rotate=-90](N){} (0,-1) node[pmos,rotate=90](P){}
(N.S) -- (P.S) node[midway](A){} (P.D)--(N.D)node[midway](B){}
(A) to[short,-o] ++(-1,0)node[left]{$x_c$} (B) to[short,-o] ++(1,0) node[right]{$x_e(t)$}
(N.G) node[above]{$horloge$}
(P.G) node[below]{$\overline{horloge}$}
;\end{circuitikz}
\caption{Interrupteur CMOS}
\end{figure}
Les MOSFET sont passants quand l'horloge est à l'état logique haut, c'est à dire que la tension $V_{DD}$ est positive par rapport à la masse.
À l'état passant, un MOSFET est équivalent à une résistance $R_{on}$.\\
$V_t$ est la tension seuil du MOSFET à canal N au niveau de $V_{GS}$ pour le mettre à l'état passant. On utilise donc deux MOSFET pour limiter la résistance $R_{on}$.\\
Les interrupteur CMOS sont intégrables sur silicium en même temps que la capacité MOS réalisant la fonction de blocage, de même que le suiveur.
\[x_E(t) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} x_c(nT_e)\delta(t-nT_e)\right)*P_{\tau}(t)\]
En effectuant la transformée de Fourier de ce signal on a:
\[X_E(f) = TF(x_E(t)) = (F_e \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_C(f-nF_e)).\tau exp(-j\pi f \tau)sinc(\pi f \tau)\]
On fait attention à ce que $F_e$ vérifie la condition de Shannon. $F_e$ doit être supérieure au double de la fréquence maximale du spectre de $x_C(t)$.\\
\end{document}
\documentclass[main.tex]{subfiles}
\newcommand{\snzi}{\sum_{n=0}^{+\infty}}
\newcommand{\snii}{\sum_{n=0}^{+\infty}}
\begin{document}
\subsection{Cellule de base}
La structure d'une cellule de base donnée ci-dessous, fait appel à deux \emph{switches}, chacun commandé par une horloge.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw (0,0)node[left]{$x_c(t)$} to[spst,l=horloge1] (2,0) to[spst,l=horloge2] (4,0)
(2,0) to[C,v<=$x_e(t)$] (2,-2) node[ground]{}
;
\end{circuitikz}
\label{fig:commut}
\caption{Cellule de commutation}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}%
[axis lines = middle,
at = {(0,0)},
height = 5cm,width =8cm,
xlabel = {$t$},
ylabel = {$|S(f)|$},
ytick=\empty,
xmin = 0,xmax = 10, ymin = -0.1, ymax = 1.5,
xtick = {3,6,8.5},
xticklabels = {$\frac{T_e}{2}$,$T_e$,$T_e+\tau_1$},
]
\addplot[no marks, black] plot coordinates {(0,1)(2.5,1)(2.5,0)(6,0)(6,1)(8.5,1)(8.5,0)};
\addplot[no marks, black, dotted] plot coordinates
{(3.5,0) (3.5,1) (5.5,1)(5.5,0)};
\node at (axis cs:1.25,0.5){$h1$} ;
\node at (axis cs:4.5,0.5){$h2$} ;
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Signaux horloges utilisés}
\end{figure}
La première horloge présente une période de $T_e + \tau$ et est dissymétrique (haut sur $\tau$ et bas sur $T_e$). La deuxième horloge est presque complémentaire. Elles ont la même durée de passage à l'état haut, mais on s'arrange pour qu'il y ait un intervalle de garde entre les moments ou le switch 1 est passant et le moment où le second est passant, sans jamais avoir les deux passants en même temps.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw (0,0) node[op amp](oa){}
(oa.-) -- ++(0,1) to[C,l=$C_2$] ++(2,0) -| (oa.out) to[short,-o] ++(1,0)node[right]{$x_e(t)$}
(oa.+) to[spst,mirror] ++(-2,0) coordinate(A) to[C,l=$C_1$] ++(0,-2) node[ground]{}
(A) ++ (-2,0)node[left]{$x_c(t)$} to[spst,o-] (A)
;\end{circuitikz}
\caption{Schéma électrique d'un échantilloneur bloqueur}
\end{figure}
On suppose $R_{on}C << T_e,\tau_1,\tau_2$. En effet, $R_{on}$ peut être minimisé en diminuant la longueur de la grille $L_G$ de façon à ce que la charge/décharge de C soit considérée comme instantanée par rapport aux autres temps caractéristiques des signaux. On suppose également pour commencer que $x_c(t)$ évolue très lentement par rapport à la période d'échantillonnage $T_e$.\\
De $t=nT_e$ à $t=nT_e + \tau$, $\left\{ \begin{matrix}\text{switch1 passant}\\\text{switch2 bloqué}\end{matrix}\right.\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_E = x_c(nT_e)\\+Q = Cx_c(nT_e) = +Q_1\end{matrix} \right.$\\
De $t=nT_e + \tau$ à $t=nT_e + \tau2 - \frac{\tau_1}{2}$, les deux switchs sont bloqués, la charge +Q n'évolue pas et reste égale à $+Q_1$.\\
De $t=nT_e + \tau_2 - \frac{\tau_1}{2}$ à $t=nT_e + \tau_2 + \frac{\tau_1}{2}$, $\left\{ \begin{matrix}\text{switch1 bloqué}\\\text{switch2 passant}\end{matrix}\right.\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_E = v(nT_e)\\+Q = Cv(nT_e) = +Q_2\end{matrix} \right.$\\
Puis de $t=nT_e + \tau_2 + \frac{\tau_1}{2}$ à $t = (n+1)T_e$, les deux switchs sont bloqués, +Q reste égale à $+Q_2$.\\
Globalement sur une période $T_e$, on effectue un transfert de charges $\Delta Q$ à travers les deux interrupteurs, imposé par les tensions $x_c(nT_e)$ et $v(nT_e)$.\\
On a alors $\Delta Q = C(v(nT_e) - x_c(nT_e))$ sur le temps $T_e$, ce qui correspond au courant échangé via la cellule de base :
\[I = \frac{\Delta Q}{T_e} = \frac{C}{T_e}((v(nT_e) - x_c(nT_e))\]
On a une équivalence avec une résistance $R_e = \frac{1}{CF_e}$ à condition que $x_c$ et$v$ évoluent suffisamment lentement par rapport à $T_e$.\\
%\img{0.5}{2/10.png}
La valeur de $R_e$ est contrôlée par la fréquence d'échantillonnage de $F_e$. A la base de "filtres programmables" c'est à dire dont es caractéristiques peuvent être modifiées par $F_e$.\\
\subsection{Exemple de l'intégrateur}
Si $u$ et $v$ sont assez lents par rapport à $T_e$ et de type sinusoïdal, que l'on a un amplificateur opérationnel parfait, on a $\frac{U(j\omega)}{R_e} = -j\omega C_2V(j\omega)$, donc la fonction de transfert est:
\[\frac{V(j\omega)}{U(j\omega)} = -\frac{1}{j\omega C_2R_e} = -\frac{1}{j\omega}\frac{C_1F_e}{C_2}\]
L'intérêt par rapport à un circuit avec une "vraie" résistance $R_e$, est que la fonction de transfert dépend d'un rapport de capacités $\frac{C_1}{C_2}$ et non plus de la valeur de $C_2$ seule.\\
Remarque: $C_1$ et $C_2$ sont des capacités MOS.
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Ce sont des condensateurs planaires de capacité $C=\frac{\epsilon_0 \epsilon_{ox} }{e_{ox}}WL$$\epsilon_0$ est la permittivité du vide et vaut $8.85\times 10^{-12}$F/m et $\epsilon_{ox}$ la permittivité relative de l'oxyde (3.8 pour du $SiO_2$).\\
Mais pour le $SiO_2$ le matériau est amorphe quand il est obtenu par oxydation thermique de Si, tandis que pour le Si, le matériau est cristallin c'est à dire que les atomes de Si sont répartis périodiquement dans l'espace.\\
Cependant, l'interface est mal définie, "rugueuse" entre les deux et donc l'épaisseur d'oxyde fluctue sur la surface WL.\\
La valeur de $C_2=\frac{\epsilon_0 \epsilon_{ox} }{e_{ox}}(WL)_2$ et de $C_1=\frac{\epsilon_0 \epsilon_{ox} }{e_{ox}}(WL)_1$ ne sont pas garantie. Mais le rapport $\frac{C_2}{C_1} = \frac{(WL)_2}{(WL)_1}$ est beaucoup mieux contrôlé.\\
Voir TP1 pour traitement plus précis de cet intégrateur...\\
Attention, le système est instable, il intègre son entrée mais aussi les défauts de l'amplificateur opérationnel dont des tensions continues de décalage, ce qui conduit à la saturation rapide de l'AO.\\
La solution est de mettre une résistance $R_2$ de grande valeur en parallèle de $C_2$, on a un gain fini pour $f<< \frac{1}{2\pi R_2C_2}$. Cette solution est difficilement intégrable.\\
On peut aussi mettre une contre réaction par un AO câblé en soustracteur.\\
Ce sont les structures avec soustracteur qui sont à la base de "filtres universels programmables", c'est à dire d'un type de filtrage différent suivant la sortie considérée, et de fréquences caractéristiques modifiable par $F_e$.\\
\subsection{Exemple de filtre passe bas}
On reprend la cellule de commutation de la figure \ref{fig:commut}