Commit 7527cc07 authored by Pierre-antoine Comby's avatar Pierre-antoine Comby

trajectoire notée chi

parent ebefbc80
......@@ -11,49 +11,49 @@ Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ a
\end{rem}
\begin{defin}
Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,s)$$s:\R \times \D \rightarrow \D$ tel que les axiomes suivants sont vérifiés :
Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$$\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ tel que les axiomes suivants sont vérifiés :
\begin{enumerate}
\item Continuité : $s(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $s(.,x)$ est dérivable.
\item Consistance : $s(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
\item Propriété de groupe : $s(\tau, s(t,x_0)) = s(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
\item Continuité : $\chi(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $s(.,x)$ est dérivable.
\item Consistance : $\chi(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
\item Propriété de groupe : $\chi(\tau, \chi(t,x_0)) = \chi(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{rem}
\begin{itemize}
\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $s(.,.)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
\item On dénote la trajectoire $s(t,.) : \D \rightarrow\D$ par $s_t(x_0)$ ou $s_t$.
\item Suivant l'axiome de consistance, $s_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
\[ (s_{\tau} \circ s_t)(x_0) = (s_t \circ s_{\tau})(x_0) = s_{t+\tau}(x_0) \]
Ainsi l'application inverse de $s_t$ est $s_{-t}$$s_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).
\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(.,.)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
\item On dénote la trajectoire $\chi(t,.) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
\item Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
\[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \]
Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$$\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).
En effet, montrons que $s_t$ est injective.
En effet, montrons que $\chi_t$ est injective.
Soit $y,z\in \D$ tels que $s_t(z)=s_t(y)$.
On a $z=s_0(z)=s(0,z)=s(t-t,z)=s(-t,s(t,z))=s(-t,s(t,y))=s(0,y)=y$
Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$.
On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi(0,y)=y$
$s_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y \in \D$ tel que $y=s(-t,z)$.
$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y \in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
Enfin, $s_t$ est continue sur $\R$ donc $s_{-t}$ est continue.
Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue.
\end{itemize}
\end{rem}
\begin{exemple}
Système linéaire causal de dimension $n$ ($n$ variables d'état)
$s:[0,+\infty[ \times \R^n \rightarrow \R^n$$s(t,x)=e^{At}x$$A\in\R^n$ matrice d'évolution
$s:[0,+\infty[ \times \R^n \rightarrow \R^n$$\chi(t,x)=e^{At}x$$A\in\R^n$ matrice d'évolution
Ainsi $s_t(x) = e^{At}x$$s_t :
Ainsi $\chi_t(x) = e^{At}x$$\chi_t :
\begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R\\x & \mapsto e^{At}x
\end{cases}
$
On a $(s_{\tau} \circ s_t) (x) = s_{\tau}(s_t(x)) = e^{A\tau}e^{At}x = s_{t+\tau}(x)$
On a $(\chi_{\tau} \circ \chi_t) (x) = \chi_{\tau}(\chi_t(x)) = e^{A\tau}e^{At}x = \chi_{t+\tau}(x)$
\end{exemple}
\begin{prop}
Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D \rightarrow \R^n$ définie par $f(x) = \dd{s(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$.
Suivant l'axiome 1, le système $G$ peut être décrit par une équation différentielle sur $\D$. En particulier, la fonction $f:\D \rightarrow \R^n$ définie par $f(x) = \dd{\chi(t,x)}{t}|_{t=0}$. Ainsi, $f(x)$ est un champ de vecteur sur $\D$ où pour $x\in\D,f(x)\in\R^n$ correspond au vecteur tangent à la trajectoire en $t=0$.
\end{prop}
\begin{exemple}
......@@ -81,8 +81,10 @@ Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
\end{rem}
\begin{thm}[Cauchy-Lipschitz]
Soient le système dynamique défini par \[\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{\ast}\]
Soient le système dynamique défini par
\[
\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{$\ast$}
\]
Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$
\end{thm}
......@@ -140,27 +142,27 @@ Ainsi, si $x$ et $y$ sont proches de 0, on peut rendre la partie à gauche de l'
\begin{defin}
Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système
\[G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad (*) \]
\[G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad \tag{$\ast$}\label{eq:sys} \]
si $s_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$$s_t(M) = \{ s_t(x), x\in M \}$.\\
si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$$\chi_t(M) = \{ \chi_t(x), x\in M \}$.\\
Il est négativement invariant suivant la dynamique (*) si $s_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant (*) si $s_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$
Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$
\end{defin}
\begin{prop}
Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant (*), alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant.
Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys}, alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant.
\end{prop}
\begin{proof}
Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow x$ avec $x\in \overline{M}$.
Puisque $M$ est invariant, alors $(s_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $s_t(x_n) \rightarrow s_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.
Puisque $M$ est invariant, alors $(\chi_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $\chi_t(x_n) \rightarrow \chi_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.
Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant (*).
Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant \eqref{eq:sys}.
\end{proof}
\begin{defin}[Attracteur]
Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un attracteur du système (*), s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $s_t(x) \in M$
\begin{defin}
Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un \emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $\chi_t(x) \in M$
\end{defin}
\begin{rem}
......@@ -194,7 +196,9 @@ $r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 / \{(0,
\section{Types de stabilité en non linéaire}
\paragraph{Stabilité suivant Lagrange} Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque lesp oints d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
\subsection{Stabilité suivant Lagrange}
Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque lesp oints d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
%\img{0.3}{3/1.png} %HALLELUJAH !
......@@ -207,21 +211,21 @@ La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non
\begin{defin}
Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si
\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || s(t_0,x_0)-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))-x^* || \leq \epsilon\]
\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || \chi(t_0,x_0)-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq \epsilon\]
\end{defin}
Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$ implique un petit changement borné après
\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]
\[\forall \delta > 0, \exists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \epsilon \]
Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.
%\img{0.5}{4/lag}
\paragraph{Stabilité au sens de Lyapunov}
\subsection{Stabilité au sens de Lyapunov}
\begin{defin}
\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || s(t,s(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
\end{defin}
Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
......@@ -250,17 +254,17 @@ Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numé
$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange.\\
Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
$ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||s(t,s(t_0,x_0))|| < \epsilon $
$ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon $
\end{example}
\begin{example}[Pendule sans frottement]
L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.
Elle n'est pas stable suivant Lagrange $x_0=(x_1= \pi, x_2=0)$ : $\nexists \epsilon >0 \text{ tel que } ||s(t,s(0,s_0))|| < \epsilon$
Elle n'est pas stable suivant Lagrange $x_0=(x_1= \pi, x_2=0)$ : $\nexists \epsilon >0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(0,s_0))|| < \epsilon$
\end{example}
\paragraph{Stabilité uniforme}
\subsubsection{Stabilité uniforme}
\begin{defin}
Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
\end{defin}
......@@ -284,11 +288,11 @@ Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \
\begin{example}
$\beta(||x_0||,|t|)=||x_0||e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$
Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ ||s(t,x_0)|| \leq \beta(||x_0||,t),t \geq 0$ (enveloppe)
Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ ||\chi(t,x_0)|| \leq \beta(||x_0||,t),t \geq 0$ (enveloppe)
\end{example}
\begin{prop}
L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq c \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \alpha (||s(t_0,x_0)||)\]
L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq c \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha (||\chi(t_0,x_0)||)\]
\end{prop}
\begin{proof}
......@@ -298,7 +302,7 @@ Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ ex
Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.
Si $||s(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
Si $||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
Condition nécessaire.
......@@ -317,41 +321,42 @@ Si on définit $\alpha(||.||)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \de
Suivant Lyapunov, cela implique $||s|| \leq \epsilon \leq \alpha (||s_0||)$
\end{proof}
\paragraph{Attractivité (convergence)}
\subsection{Attractivité (convergence)}
\begin{defin}
$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } ||s(t_0,x_0)|| \leq r \Rightarrow ||s(t,s(t_0,x_0))|| \leq \sigma, \forall t \geq T$
$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq r \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| \leq \sigma, \forall t \geq T$
%\img{0.5}{4/1.png}
Autrement dit : $||s_0|| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} ||s_t|| = 0$.
Autrement dit : $||s_0|| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} ||\chi_t|| = 0$.
On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
\end{defin}
\paragraph{Stabilité asymptotique}
\begin{prop}[Stabilité asymptotique]
L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \beta (||s_0||,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
\end{itemize}
\end{prop}
\paragraph{Stabilité exponentielle}
\begin{prop}[Stabilité exponentielle]
L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } ||s_0|| \leq r \Rightarrow ||s|| \leq \alpha ||s_0|| e^{-\lambda t}$
\end{itemize}
\paragraph{Stabilité locale et globale}
\end{prop}
\begin{prop}[Stabilité locale et globale]
\begin{itemize}
\item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
\item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable.
\end{itemize}
\end{prop}
\paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire.
\begin{defin}[Fonction de Lyapunov]
$V$ est une fonction de Lyapunov si :
\begin{defin}
$V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si :
\begin{enumerate}
\item $V :
\begin{cases}
......@@ -742,3 +747,8 @@ SEE
\end{document}
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