cours du 18/03 455

455-Codage_Sources/Cours/chap3.tex

@@ -4,7 +4,7 @@
 
 L'idée du codage prédictif est d'utiliser les corrélations (ressemblances) temporelles ou spatiales du signal à compresser.
 
-\section{Rappels sur la corrélation}
+\paragraph{Rappels sur la corrélation}
 
 On considère une source $X$ qui émet un signal constitué de $x_1,\dots,x_N$ considérés comme une réalisation d'une suite de variables aléatoires $X_1,\dots,X_N$ de moyenne nulle.
 
@@ -17,17 +17,28 @@ Pour un signal stationnaire (dont les caractéristiques statistiques n'évoluent
 \[ \gamma_x(n,k) = \gamma_x(k) = E(X_nX_{n+k}), \forall n\]
 
 En pratique, on estime la corrélation à partir des échantillons du signal à compresser.
+\begin{itemize}
+\item Estimateur biaisé :
+\[ \hat{\gamma_x^{B}}(k) =
+  \begin{cases}
+\displaystyle\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N-k} x_i x_{i+k}, \forall k \geq 0 \\[2em]
+\displaystyle\frac{1}{N} \sum_{i=-k}^N x_i x_{i+k}, \forall k \leq 0
+\end{cases}
+\]
+\item Estimateur non biaisé
+\[
+  \hat{\gamma_x^{NB}}(k) =\frac{1}{N-|k|} \sum_{i=1}^{N-k} x_i x_{i+k} \forall k \geq 0
+\]
 
-Estimateur biaisé :
-\[ \hat{\gamma_x}(k) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N-k} x_i x_{i+k}, \forall k \geq 0 \]
-
-\[ \gamma_x(k) = \frac{1}{N} \sum_{i=-k}^N x_i x_{i+k}, \forall k \leq 0 \]
-
+\end{itemize}
+\begin{rem}
+  On préfère l'estimateur biaisé car il est plus stable numériquement.
+\end{rem}
 Avec Matlab, on l'obtient avec :
-% \begin{lstlisting}
-% [c,k] = xcorr(x,'biased');
-% plot(k,c); grid;
-% \end{lstlisting}
+\begin{minted}{matlab}
+[c,k] = xcorr(x,'biased');
+plot(k,c); grid;
+\end{minted}
 
 $\gamma_x(k)$ est maximale en 0 et est égale à l'énergie $\sigma^2$ du signal.
 \section{Codage prédictif en boucle ouverte}
@@ -37,7 +48,8 @@ Schéma en boucle ouverte:
   \centering
   \begin{tikzpicture}
     \sbEntree{E}
-    \node[above] at (E) {$x_n$};
+    \node[above left] (X) at (E) {$x_n$};
+    \draw (E.east) -- ++(-2em,0) (E.south) -- ++(0,4pt) ;
     \sbDecaleNoeudy[5]{E}{mem}
     \sbBloc{mem2}{Mémoire}{mem}
     \sbBlocL{pred}{Prédiction}{mem2}
@@ -109,9 +121,7 @@ $\hat{e}$ est l'énergie de la partie qui n'a pas pu être prédite de $x_1,\dot
 Lorsque le signal est fortement corrélé, $\gamma_x(1)\simeq \gamma_x(0)$ et  $\hat{a_1}\simeq 1$.
 
 Le résidu de prédiction a une variance plus faible. Si on le quantifie, il permettra de reconstituer le signal initial avec une distorsion plus faible.
-
-\newpage
-\section{Prédiction à $p$ pas}
+\subsection{Prédiction à $p$ pas}
 
 
 On cherche à prédire $\vec{X_n}$ à partir des échantillons précédents $X_{n-1},\dots,X_{n-p}$.
@@ -161,63 +171,64 @@ Pour cette valeur de $\hat{\ap}$, on a
 
 Ce prédicteur à $p$ pas est en général plus efficace que le prédicteur à 1 pas mais il est plus complexe.
 
-\newpage
-\section{Mise en oeuvre du prédicteur}
-
-On considère le codeur prédictif de structure suivante à l'émetteur :
-%\img{0.4}{3/2/1}
-
-et de structure suivante au décodeur de récepteur:
-%\img{0.4}{3/2/2}
-
-On met en œuvre un dispositif de prédiction exploitant les échantillons disponibles au récepteur, de manière à éviter l'accumulation des erreurs de quantification. Il n'y a pas d'accumulation d'erreur de prédiction car le prédicteur est le même à l'émetteur et au récepteur.\\
-
-Pour le réglage du prédicteur, on distingue plusieurs méthodes :
-
-\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{5mm}
-\item On calcule $\hat{\gamma_x}$ sur tout le signal et on transmet $\vec{\hat{a}}_{opt}$.
-
-Avantage :
-\begin{itemize}
-\item sa simplicité de mise ne œuvre
-\end{itemize}
-Inconvénients :
-\begin{itemize}
-\item il ne permet pas de tenir compte des non stationnarités
-\item on règle le prédicteur à partir de $x_n$ et non de $\hat{x_n}$.
-\end{itemize}
-
-\item On découpe le signal en blocs et on recalcule le prédicteur sur chaque bloc.
+\subsection{Mise en oeuvre du prédicteur}
 
-Avantages :
+Il faut que le récepteur disposent également des coefficients de prédiction optimal. Il peuvent :
 \begin{itemize}
-\item sa simplicité de mise ne œuvre
-\item permet de s'adapter aux non-stationnarités
+\item être transmis mais cela coute du débit
+\item Etre réestimés au récepteur mais cela rend le récepteur plus complexe.
 \end{itemize}
-Inconvénient :
-\begin{itemize}
-\item débit nécessaire à la transmission des $\vec{\hat{a}}_{opt}$.
-\end{itemize}
-
-\item Mettre en place un prédicteur adaptatif. On travaille sur une fenêtre glissante contenant les N échantillons décalés : $\vec{\hat{X}}_n = (\hat{x}_{n-1}, ..., \hat{x}_{n-N})^T$.
-
-On calcule $\vec{\hat{a}}_{opt}$ à partir de $\vec{\hat{X}}_n$ (au codeur et au décodeur). On applique $\vec{\hat{a}}_{opt}$ pour coder et décoder $x_n$ en $\hat{x}_n$. À l'itération suivante, on calcule $\vec{\hat{a}}_{opt}$ à partir de $\vec{\hat{X}}_{n+1} = (\hat{x}_{n}, ..., \hat{x}_{n-N+1})^T$.
+Pour le réglage du prédicteur, on distingue plusieurs méthodes :
 
-Avantages :
+\subsubsection{Fenêtres fixes}
+
+  On découpe le signal en blocs de $M$ échantillons et on recalcule le prédicteur sur chaque bloc.
+
+  Les échantillons de la $m$-ième fenêtres (pour$(m-1)M+1$ à $mM$):
+  \begin{itemize}
+  \item servent à extimer $\hat{\gamma}_x(k)$ et les coefficients de prédiction utilisé pour la $m+1$-ème fenêtre.
+  \item sont comprimés en utilisant le prédicteur optimal calculé das la fenêtre $m-1$.
+  \item Le recepteur fait les mêmes opérations.
+  \end{itemize}
+  \begin{rem}
+    Pour la première fenêtre  on utilise le prédicteur à 1 pas.
+
+    Cette méthode ne fonctionne que pour des compressions sans pertes ou  a débit élevé.
+  \end{rem}
+  Avantages :
+  \begin{itemize}
+  \item sa simplicité de mise ne œuvre
+  \item permet de s'adapter aux non-stationnarités
+  \end{itemize}
+  Inconvénient :
+  \begin{itemize}
+  \item débit nécessaire à la transmission des $\vec{\hat{a}}_{opt}$.
+  \end{itemize}
+
+\subsubsection{Fenêtres glissantes}
+
+On travaille sur une fenêtre glissante contenant les N échantillons décalés : $\vec{\hat{X}}_n = (\hat{x}_{n-1}, ..., \hat{x}_{n-N})^T$.
 \begin{itemize}
-\item Il est très adaptatif.
-\item On ne transmet plus $\vec{\hat{a}}_{opt}$
-\end{itemize}
+\item On estime $\gamma_x(k)$ à partir des échantillons.
+\item On en déduit le prédicteur à $p$ pas.
+\item On prédi $x_n$ et on compresse le résidu.
+\item Au récepteur dans le cas c'un codage sans pertes on dispose également de $x_{n-N} ... x_{n-1}$. et on va pouvoir faire les mêmes opérations pour obtenir $\hat{x_n}$ auquel il rajoutera le résidu du codeur.
 
-Inconvénient :
-\begin{itemize}
-\item et bien... c'est pas simple.
 \end{itemize}
+  \begin{rem}
+    Pour les $N$ premiers échantillons on peux utiliser un prédicteur à 1 pas avec $a=0$ ou $a=0$
+  \end{rem}
 
-
-\end{enumerate}
-
-
+Avantages :
+  \begin{itemize}
+  \item Il est très adaptatif.
+  \item On ne transmet plus $\vec{\hat{a}}_{opt}$
+  \end{itemize}
+
+  Inconvénient :
+  \begin{itemize}
+  \item et bien... c'est pas simple.
+  \end{itemize}
 \end{document}
 
 %%% Local Variables: