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451 ajout sur les SA

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......@@ -104,8 +104,64 @@ On considère les signaux aléatoire à des instants particuliers, fixé.
\end{itemize}
\end{defin}
\subsection{Stationnarité et ergodicité}
\begin{prop}
Si un SA est à la fois stationnaire et ergodique les moyennes temporelles et statistiques sont égales.
L'ensemple des processus stochastique,stationnaire, ergodique peux être obtenu à partir d'une seule trajectoire allant de $-\infty$ à $+\infty$.
\end{prop}
\begin{prop}
Un SASE au second ordre est tel que:
\[
m_x = E[X(t)]=\overline{x(t)}=m_x
\]
et
\[
\gamma_{xx}(\tau) = E[X(t)X^{*}(t-\tau)]=\overline{x(t)x^{*}(t-\tau)} = C_{xx}^p(\tau)
\]
\end{prop}
\section{Corrélation et densité spectrale de puissance}
Ici on s'interesse la répartition de la puissance d'un SA en fonction de la fréquence (idem que la DSE pour des signaux à énergie finie). On se restreint à des SAS du 2nd ordre.
\paragraph{Notation} :
$x(t,\omega)$ représente le SA ou une des ses réalisation \\
$X(f)$ représente la TF d'un signal $x$ sous réserve d'existence.
\begin{thm}[Wiener-Kintchine]
\[
TF[\gamma_{xx}]=\Gamma_{XX}(f) = \text{ dsp de x(t)}
\]
\end{thm}
\begin{prop}[Cas du TC]
\begin{align*}
\Gamma_{xy}(f) &= \int_\R \gamma_{xy}(\tau) e^{-j2\pi ft} \d t\\
\gamma_{xy}(\tau) & =\int_\R \Gamma_{xy}(f) e^{j 2\pi f\tau} \d f\\
\gamma_{xy}(0) & = \int_\R \Gamma_{xy}(f) \d f = \text{ puissance (statistique)}\\
\end{align*}
\end{prop}
\begin{prop}[Cas du TD]
\begin{align*}
\Gamma_{xy}(f) &=\sum \gamma_{xy}[k] e^{-j 2 \pi fk}\\
\gamma_{xy}[\tau] & = \int_{-1/2}^{1/2} \Gamma_{xy}(f)e^{j 2\pi f k} \d f\\
P_x = \gamma_{xx}[0] &= \int_{-1}^{1} \Gamma_{xx}(f)df
\end{align*}
\end{prop}
\begin{exemple} cf TP1
\end{exemple}
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $|\gamma_{xy}(\tau)| \le \gamma_{xx}(0) =P_x$
\item $\gamma_{xx}(-\tau)= \gamma_{xx}(\tau)^* \implies \Gamma_{xx}(f) \in \R$
\item $\Gamma_{xx}(f)>0$
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{rem}
très souvent on a $\gamma_{xx}(\tau) \xrightarrow[+\infty] |m_x|^2$ , ce qui signifie qu'on a aps d'effet ``mémoire'' àl'infini. Si $m_x \neq 0$ la DSP comporte une raie à l'origine de valeur $m_x$.
\end{rem}
\section{Periodogramme}
\section{Signaux aléatoire particulier}
\subsection{SA indépendants}
\subsection{SA décorrélés}
......
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