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\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
\begin{document}
\section{Trajectoire}
Dans le cas linéaire, la trajectoire est la solution au système $\dot{x}=Ax$ avec $x(0)=x_0$. Cette solution est unique. Qu'en est-il en non-linéaire?
\begin{defin}
Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du système, est un triplet $(\D,\R,\chi)$$\chi:\R \times \D \rightarrow \D$ est une trajectoire, tel que les axiomes suivants sont vérifiés:
\begin{enumerate}
\item Continuité : $\chi(.,.)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $\chi(.,x)$ est dérivable.
\item Continuité : $\chi(\cdot,\cdot)$ est continue sur $\R \times \D$ et $\forall t \in \R$, $\chi(\cdot,x)$ est dérivable.
\item Consistance : $\chi(0,x_0)=x_0$, $\forall x_0\in \D$.
\item Propriété de groupe : $\chi(\tau, \chi(t,x_0)) = \chi(t+\tau,x_0)$, $\forall x_0\in \D$.
\end{enumerate}
......@@ -19,8 +18,8 @@ Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du systèm
\begin{rem}
\begin{itemize}
\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(.,.)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
\item On dénote la trajectoire $\chi(t,.) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(\cdot,\cdot)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
\item On dénote la trajectoire $\chi(t,\cdot) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
\item Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
\[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \]
Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$$\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).
......@@ -30,7 +29,7 @@ En effet, montrons que $\chi_t$ est injective.
Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$.
On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi(0,y)=y$
$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y \in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y z\in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue.
\end{itemize}
......@@ -68,7 +67,7 @@ De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge v
\end{thm}
\begin{defin}
Soit deux espaces métriques $(X,d_x)$ et $(Y,d_y)$ et une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$.
Soit deux espaces munis de leur normes $(X,d_x)$ et $(Y,d_y)$ et une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$.
On dit que $f$ est \emph{lipschitzienne} si $\exists \alpha > 0$ tel que
\[\forall x,y \in X, \quad d_y(f(x),f(y)) \leq \alpha d_x(x,y)\]
\end{defin}
......@@ -123,7 +122,7 @@ Dans le cas linéaire, le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses vale
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Les points d'équilibre d'un système vérifient $\dot{x_{eq}} = 0$
\item Les \emph{points d'équilibre} d'un système vérifient $\dot{x_{eq}} = 0$
\item Dans le cas non linéaire on peux avoir plusieurs points d'équilibre, isolés, voire une infinité, ou aucun.
......
......@@ -3,9 +3,8 @@
Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre,...\\
On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\
\begin{rem}
On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
\end{rem}
Pour étudier la stabilité, on se place dans le plan de phase. Celui-ci permet de situer les points d'équilibres et de vérifier la stabilité. Sa dimension est égale au nombre de variables d'état.
......@@ -30,9 +29,7 @@ On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant so
\begin{rem}
En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
\end{rem}
\begin{rem}
Cette approximation peux être réalisé dna sle cas d'un régime forcé:
Cette approximation peux être réalisé dans le cas d'un régime forcé:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = f(x,u)\\
......@@ -56,8 +53,9 @@ En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même sys
\end{rem}
\emph{L'analyse qualitative de la stabilité est faite par linéarisation.} \\
\begin{prop}
La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
La trajectoire pour une condition initiale $\delta x_0$ est solution de l'équation différentielle précédente, ie \[\delta x(t) = M exp(Jt)M^{-1}\delta x_0\] où J est la matrice diagonale ou de Jordan\footnotemark de A, la matrice d'évolution, et M la matrice de vecteurs propres tel que : $M^{-1}AM = J$.\\
\end{prop}
\footnote{cf UE421}
\subsection{Cas $\mathbb{R}$}
$J = \begin{pmatrix}
\lambda_1 &0 \\0&\lambda_2
......@@ -148,7 +146,7 @@ r(t) = e^{\alpha t} r_0
\begin{defin}
Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
\begin{itemize}
\item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C} \forall t\in[t_0,t_0+T[$
\item $\chi(t,x_0) \in \mathcal{C}\quad \forall t\in[t_0,t_0+T[$
\item $\chi(t_0+T,x_0) =x_0$
\end{itemize}
\end{defin}
......@@ -163,7 +161,7 @@ On considère un système oscillant, c'est à dire qu'il existe $T>0$ tel que $\
\begin{prop}
\begin{description}
\item[Cycle limite stable]~\\
Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite.
Pour toutes les conditions initiales appartenant au voisinage du cycle limite:
\[\exists t_0 > 0 \text{ et }T > 0 \text{ tel que } \forall t>t_0, \quad x(t+T) = x(t)\]
i.e. toute trajectoire dans un voisinage du cycle limite converge dans un temps fini vers le cycle limite.
\item[Cycle limite instable]~\\
......@@ -196,9 +194,9 @@ $\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et d
\begin{thm}[Index de Poincaré]
Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encrecle sont tel que
Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encercle sont tel que
\[
N =S +1
\boxed{N =S +1}
\]
\end{thm}
ce théorème s'utilise souvent sous sa forme contraposée:
......@@ -250,12 +248,11 @@ Représentation d'état :
\end{cases}
\text{ avec } x_1(t) = x(t) \text{ et }x_2(t) = \dot{x}(t) \]
Calculons $\div f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
Calculons $\divv f = \derivp[f_1]{x_1} + \derivp[f_2]{x_2} = -\alpha$.
$\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
$\divv f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cycle limite $(D=\R^2)$.
\end{example}
\section{Théorème de Poincaré-Bendixon}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Un ensemble $\mathcal{M}\subset \mathcal{D}$ est dit \emph{positivement
......@@ -274,9 +271,9 @@ $\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cy
\end{rem}
\begin{defin}
Un attracteur est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
Un \emph{attracteur} est un ensemble invariant fermé $\mathcal{M} \subset \mathcal{D}$ du système $\Sigma$, si il existe un voisinage $\mathcal{N}$ de $\mathcal{M}$ tel que
\[
\forall x\in \mathcal{N}, \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 et \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
\forall x\in \mathcal{N}, \text{ et } \chi_t(x) \in \mathcal{N}, \forall t \ge 0 , \chi_t(x) \xrightarrow[t\to\infty]{} \mathcal{M}^t
\]
\end{defin}
\begin{rem}
......@@ -284,16 +281,15 @@ $\div f \neq 0$ et ne change pas de signe donc ce système ne comporte pas de cy
\end{rem}
\begin{thm}
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$$S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}\\
Soient le système du 2nd ordre $\dot{x}=f(x)$ et $O_{x_0}^+$ une trajectoire positive, i.e $O_{x_0}^+ = \{ x \in D, x = S(t,x_0), t \geq 0\}$$S(.,x) : \R \rightarrow D$ définit une solution de $\dot{x}=f(x)$ pour une trajectoire passant par $x$, avec un ensemble limite $\omega(x_0)$ i.e. \footnotemark $\omega(x_0) = \bigcap_{t \geq 0} \overline{O_{x_0}^+}$ \\
Si $\omega(x_0)$ est compact et ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\end{thm}
\footnote{adhérence = plus petit fermé contenant l'ensemble}
Interprétation :
Dans le cas du 2nd ordre, si on a une convergence des trajectoires vers un compact (fermé borné de $\R^2$) qui ne contient pas de point d'équilibre, alors la limite ne peut être qu'un cycle limite.\\
\paragraph{Examples du poly page 4} Système hybride = commutation entre 2 systèmes linéaires\\
\begin{prop}
\begin{itemize}
......@@ -312,12 +308,12 @@ Exemple 1 :
\begin{align*}
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
-1 & 10 \\-100 & -1 x = A_1x
\end{bmatrix}\\
-1 & 10 \\-100 & -1
\end{bmatrix} x = A_1x\\
\dot{x} & =
\begin{bmatrix}
-1 & 100 \\ -10 & -1 x = A_2x
\end{bmatrix}
-1 & 100 \\ -10 & -1
\end{bmatrix}x = A_2x
\quad \text{v.p. } \lambda_{1,2} = -1 \pm j31,62
\end{align*}
......@@ -351,8 +347,7 @@ En choisissant bien la permutation, on rend le système global stable.
Il existe d'autres méthodes pour tracer les trajectoires dans le plan de phase.
\end{rem}
\begin{example}[Élimination du temps]
\begin{multicols}{2}
\begin{exemple}[Élimination du temps]
\noindent Méthode explicite :
\[
\begin{cases}
......@@ -375,8 +370,7 @@ x \text{ donc }
\]
\[dt = \frac{dx_1}{x_2} = -\frac{dx_2}{x_1}\]
\[x_1dx_1 = -x_2dx_2 \text{ donc } x_1^2 + x_2^2 = x_{20}^2 + x_{10}^2\]
\end{multicols}
\end{example}
\end{exemple}
\end{document}
%%% Local Variables:
......
......@@ -612,9 +612,13 @@ Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on an
$\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$ , on a bien un SEE
\end{exemple}
\begin{thm}[Condition suffisante de SEE]
Le système $\dot{x}= f(x,u)$ est SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine (pour $\dot{x}=f(x,0)$) est globalement exponentionellement stable.
~\\ Le système $\dot{x}= f(x,u)$
est SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine
(pour $\dot{x}=f(x,0)$) est globalement exponentionellement stable.
\end{thm}
\begin{exemple}
Pour le système $\dot{x} = -x+(1+x^2)u$ :
\begin{itemize}
......@@ -626,8 +630,6 @@ Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on an
\section{Attracteur}
\emph{vu après}
\begin{defin}
Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système
......
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