Commit bf950bcc authored by Pierre-antoine Comby's avatar Pierre-antoine Comby

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\input{../../preambule/preambule}
\newcommand{\nom}{TD1 : Espace de phase et stabilité}
\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
\begin{document} \begin{document}
\subsection*{Exercice 1}
\titre{\nom}
\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Pour trouver les points d'équilibres, on annuler les dérivées des positions: \item Pour trouver les points d'équilibres, on annuler les dérivées des positions:
\[ \[
...@@ -75,7 +66,7 @@ Il n'existe pas de point d'équilibre en linéaire ce qui contredit le résultat ...@@ -75,7 +66,7 @@ Il n'existe pas de point d'équilibre en linéaire ce qui contredit le résultat
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice 2 : Asservissement à relais} \subsection*{Exercice 2 : Asservissement à relais}
On considère le système constitué d'un moteur a courant continu asservie en position avec une correction tachymétrique, donné par la figure ci-dessous. R(.) représente la caractéristique d'un relais symétrique avec seuil $\Delta$ et hystérésis $h$. On considère le système constitué d'un moteur a courant continu asservie en position avec une correction tachymétrique, donné par la figure ci-dessous. R(.) représente la caractéristique d'un relais symétrique avec seuil $\Delta$ et hystérésis $h$.
...@@ -208,4 +199,4 @@ Ainsi, pour imposer le comportement du système, on fixe un cycle limite et l'on ...@@ -208,4 +199,4 @@ Ainsi, pour imposer le comportement du système, on fixe un cycle limite et l'on
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{document} \end{document}
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\input{../../preambule/preambule}
\newcommand{\nom}{TD2 : Méthode du premier harmonique}
\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
\begin{document} \begin{document}
\subsection*{Exercice I : Gain complexe équivalent}
\titre{\nom}
\section*{Exercice I : Gain complexe équivalent}
\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1cm} \begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1cm}
\item Pour la fonction de seuil: \item Pour la fonction de seuil:
%\img{0.5}{1.png} %\img{0.5}{1.png}
...@@ -24,7 +15,7 @@ x+\frac{\Delta}{2} & \si X < -\frac{\Delta}{2} ...@@ -24,7 +15,7 @@ x+\frac{\Delta}{2} & \si X < -\frac{\Delta}{2}
\] \]
\img{0.5}{2.png} %\img{0.5}{2.png}
On pose \[ N(X) = \frac{P+jQ}{X} \avec Q=0 \] On pose \[ N(X) = \frac{P+jQ}{X} \avec Q=0 \]
\begin{align*} \begin{align*}
...@@ -40,7 +31,7 @@ On a alors $N(X) = \frac{P}{X}$. ...@@ -40,7 +31,7 @@ On a alors $N(X) = \frac{P}{X}$.
\item Pour le relais avec hystérésis \item Pour le relais avec hystérésis
\img{0.5}{3} %\img{0.5}{3}
On pose $X\sin(\omega t_1) = \frac{h}{2} \donc t_1 = \frac{1}{\omega} arcsin(\frac{h}{2X})$ On pose $X\sin(\omega t_1) = \frac{h}{2} \donc t_1 = \frac{1}{\omega} arcsin(\frac{h}{2X})$
\begin{figure}[h!] \begin{figure}[h!]
...@@ -85,7 +76,7 @@ x(t) + \alpha & \text{ sur } BC \\ ...@@ -85,7 +76,7 @@ x(t) + \alpha & \text{ sur } BC \\
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice II : Asservissement avec boucle secondaire} \subsection*{Exercice II : Asservissement avec boucle secondaire}
\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1cm} \begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1cm}
...@@ -164,7 +155,7 @@ Même condition que celle d'existence du cycle limite. ...@@ -164,7 +155,7 @@ Même condition que celle d'existence du cycle limite.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice III : Contre-exemple} \subsection*{Exercice III : Contre-exemple}
\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1cm} \begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1cm}
......
\documentclass{article} \documentclass[../../td]{subfiles}
\input{../../preambule/preambule}
\newcommand{\nom}{TD3 : Stabilité en non linéaire}
\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
\begin{document} \begin{document}
\subsection*{Exercice I : Stabilité au sens de Lagrange et de Lyapunov}
\titre{\nom}
\section*{Exercice I : Stabilité au sens de Lagrange et de Lyapunov}
\begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1cm} \begin{enumerate}\setlength{\itemsep}{1cm}
...@@ -87,4 +77,4 @@ Soit $\epsilon>0$. On pose $\delta=\epsilon$ ...@@ -87,4 +77,4 @@ Soit $\epsilon>0$. On pose $\delta=\epsilon$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{document} \end{document}
\ No newline at end of file
\documentclass{article} \documentclass[../../td]{subfiles}
\input{../../preambule/preambule}
\newcommand{\nom}{TD3 : Stabilité et non linéarité}
\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
\begin{document} \begin{document}
\subsection*{Exercice 1: Stabilité en non linéaire}
\titre{\nom}
\section*{Exercice 1: Stabilité en non linéaire}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item \item
...@@ -28,7 +19,7 @@ contraposée ...@@ -28,7 +19,7 @@ contraposée
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice 2: Pendule simple} \subsection*{Exercice 2: Pendule simple}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item \item
...@@ -130,7 +121,7 @@ L'origine est localement asymptotiquement stable. ...@@ -130,7 +121,7 @@ L'origine est localement asymptotiquement stable.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice 3: Exemple de systèmes} \subsection*{Exercice 3: Exemple de systèmes}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item \begin{enumerate}
...@@ -176,4 +167,4 @@ La stabilité suivant le critère de Routh donne que c'est stable si $k>0$ ...@@ -176,4 +167,4 @@ La stabilité suivant le critère de Routh donne que c'est stable si $k>0$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{document} \end{document}
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\documentclass{article} \documentclass[../../td]{subfiles}
\input{../../preambule/preambule}
\newcommand{\nom}{TD4 : Choix de la fonction de Lyapunov candidate, Commandabilité et Observabilité}
\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
\begin{document} \begin{document}
\subsection*{Exercice 1: Forme quadratique de la fonction de Lyapunov}
\titre{\nom}
\cacededi{J'étais en train de chier j'ai pas vu le temps passer.}{Xavier de Tinguy de la Giroullière}
\section*{Exercice 1: Forme quadratique de la fonction de Lyapunov}
Soit le système donné par: Soit le système donné par:
\[\acc{\dot{x_1} = f_1(x_1,x_2,...,x_n)}{\dot{x_2} = f_2(x_1,x_2,...,x_n)}{\dot{x_n} = f_n(x_1,x_2,...,x_n)}\] \[\acc{\dot{x_1} = f_1(x_1,x_2,...,x_n)}{\dot{x_2} = f_2(x_1,x_2,...,x_n)}{\dot{x_n} = f_n(x_1,x_2,...,x_n)}\]
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
...@@ -75,7 +63,7 @@ Comme $V = \sum_{k=1}^2 z_k z_k^*$ alors, ...@@ -75,7 +63,7 @@ Comme $V = \sum_{k=1}^2 z_k z_k^*$ alors,
Au voisinage de l'origine, ($\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 >1$), c'est instable, mais en dehors de la trajectoire converge. On a un cycle limite pour $\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 =1$ Au voisinage de l'origine, ($\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 >1$), c'est instable, mais en dehors de la trajectoire converge. On a un cycle limite pour $\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 =1$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice II : Système du 2nd ordre} \subsection*{Exercice II : Système du 2nd ordre}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Suivant Routh, $a>0 \et b>0$ \item Suivant Routh, $a>0 \et b>0$
...@@ -87,7 +75,7 @@ Au voisinage de l'origine, ($\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 >1$), c'est instable, ma ...@@ -87,7 +75,7 @@ Au voisinage de l'origine, ($\alpha x_1^2 + \beta x_2^2 >1$), c'est instable, ma
\end{align*} \end{align*}
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice III : Commandabilité et observabilité} \subsection*{Exercice III : Commandabilité et observabilité}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item On considère le système : \item On considère le système :
...@@ -134,4 +122,4 @@ L_gL_fh(x) = 2x_2 \quad & \quad \nabla L_gL_gh(x) = \vect{0 \\ 2} \text{ COOL!} ...@@ -134,4 +122,4 @@ L_gL_fh(x) = 2x_2 \quad & \quad \nabla L_gL_gh(x) = \vect{0 \\ 2} \text{ COOL!}
Le système est donc observable. Le système est donc observable.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{document} \end{document}
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\documentclass{article} \documentclass[../../td]{subfiles}
\input{../../preambule/preambule}
\newcommand{\nom}{TD5 : Bouclage linéarisant par retour d'état statique}
\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
\begin{document} \begin{document}
\titre{\nom} \subsection*{Exercice I}
\cacededi{Un petit coup de bite de temps en temps, ça calme.\\ Mais dans l'ensemble je suis un gentleman.}{Tom Colinot}
\section*{Exercice I}
On considère le système On considère le système
\[ \accc{\dot{x_1} & = x_1 +x_2}{\dot{x_2} & = x_2^2 + u}{y & = x_1} \donc f(x) = \vect{x_1+x_2\\x_2^2}, g(x) = \vect{0 \\ 1} \et h(x) = x_1 \] \[ \accc{\dot{x_1} & = x_1 +x_2}{\dot{x_2} & = x_2^2 + u}{y & = x_1} \donc f(x) = \vect{x_1+x_2\\x_2^2}, g(x) = \vect{0 \\ 1} \et h(x) = x_1 \]
...@@ -82,7 +71,7 @@ Pour imposer une consigne on a alors: ...@@ -82,7 +71,7 @@ Pour imposer une consigne on a alors:
\end{align*} \end{align*}
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice 2:} \subsection*{Exercice 2:}
On considère le système suivant: On considère le système suivant:
\[\left\{\begin{matrix} \[\left\{\begin{matrix}
...@@ -109,7 +98,7 @@ ad_fg &= [f,g] = \begin{pmatrix}-x_1x_3 \\x_1 \\ 1\end{pmatrix}\\ ...@@ -109,7 +98,7 @@ ad_fg &= [f,g] = \begin{pmatrix}-x_1x_3 \\x_1 \\ 1\end{pmatrix}\\
Ainsi, on a $E = \{g, ad_fg, ad_f^2g\}$. Or pour $x=0$ le dernier vecteur est nul donc la dimension de E est inférieur à 3. Cela implique que le système n'est pas commandable. Ainsi, on a $E = \{g, ad_fg, ad_f^2g\}$. Or pour $x=0$ le dernier vecteur est nul donc la dimension de E est inférieur à 3. Cela implique que le système n'est pas commandable.
\section*{Exercice 3:} \subsection*{Exercice 3:}
On considère ici le système suivant: On considère ici le système suivant:
\[\left\{\begin{matrix} \[\left\{\begin{matrix}
\dot{x_1} = x_2 + u\\ \dot{x_1} = x_2 + u\\
...@@ -130,4 +119,4 @@ y = 0 &\Rightarrow x_1 = 0\\ ...@@ -130,4 +119,4 @@ y = 0 &\Rightarrow x_1 = 0\\
On a donc la dynamique du système donnée par les valeurs propres de $ A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Les valeurs propres étant $\pm 1$, la dynamique des zéros est instable (CF début du cours de 424). On a donc la dynamique du système donnée par les valeurs propres de $ A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Les valeurs propres étant $\pm 1$, la dynamique des zéros est instable (CF début du cours de 424).
\end{document} \end{document}
\ No newline at end of file
\documentclass{article} \documentclass{../../td}
\input{../../preambule/preambule}
\newcommand{\nom}{TD6 : Bouclage linéarisant par retour d'état dynamique}
\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
\begin{document} \begin{document}
\subsection*{Exercice}
\titre{\nom}
\cacededi{Je vais aller chier dans ta voiture, on verra qui c'est qui se sent violé.}{Tom Colinot}
\section*{Exercice}
On considère le système suivant: On considère le système suivant:
\[\left\{\begin{matrix} \[\left\{\begin{matrix}
\dot{x_1} = x_3^2 + u_1 + u_2\\ \dot{x_1} = x_3^2 + u_1 + u_2\\
...@@ -70,4 +58,4 @@ Si cette condition est réalisable alors le modèle est linéarisable. ...@@ -70,4 +58,4 @@ Si cette condition est réalisable alors le modèle est linéarisable.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{document} \end{document}
\ No newline at end of file
\documentclass{article} \documentclass{../../td}
\input{../../preambule/preambule}
\newcommand{\nom}{TD7 : Bouclage linéarisant - Poursuite asymptotique}
\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
\begin{document} \begin{document}
\titre{\nom}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item La dynamique que l'on veut imposer est $\dot{\epsilon} + a_0\epsilon = 0$ avec $a_0 > 0$, sachant que $\epsilon = \omega_{opt} - \omega_t$, il s'agit donc de remplacer $\epsilon$ dans un premier temps, on trouve : \item La dynamique que l'on veut imposer est $\dot{\epsilon} + a_0\epsilon = 0$ avec $a_0 > 0$, sachant que $\epsilon = \omega_{opt} - \omega_t$, il s'agit donc de remplacer $\epsilon$ dans un premier temps, on trouve :
\[\dot{\omega}_{opt} - \dot{\omega_t} + a_0(\omega_{opt} - \omega_t)\] \[\dot{\omega}_{opt} - \dot{\omega_t} + a_0(\omega_{opt} - \omega_t)\]
...@@ -39,4 +30,4 @@ Pour une perturbation constante d, on a bien toujours la dynamique sur $\epsilon ...@@ -39,4 +30,4 @@ Pour une perturbation constante d, on a bien toujours la dynamique sur $\epsilon
\item La partie que l'on souhaite linéariser dans la commande de $T_g$ (respectivement $\dot{T_g}$ pour la question 3) est celle contenant les termes dépendant de $\omega_{opt}$. Il suffit donc d'égaler ces termes à une commande $v$ puis d'exprimer cette commande en fonction de $T_g$ comme vu dans les TDs précédents. \item La partie que l'on souhaite linéariser dans la commande de $T_g$ (respectivement $\dot{T_g}$ pour la question 3) est celle contenant les termes dépendant de $\omega_{opt}$. Il suffit donc d'égaler ces termes à une commande $v$ puis d'exprimer cette commande en fonction de $T_g$ comme vu dans les TDs précédents.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{document} \end{document}
\ No newline at end of file
\documentclass{article} \documentclass{../../td}
\input{../../preambule/preambule}
\newcommand{\nom}{TD8 : Commande hiérarchisée et Robustesse}
\renewcommand{\nomentete}{UE424 - \nom}
\begin{document} \begin{document}
\subsection*{Exercice I: Platitude}
\titre{\nom}
\section*{Exercice I: Platitude}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item On considère le système suivant: \item On considère le système suivant:
\[\acc{\dot{x_1} &= x_2 - x_1 cos x_1}{\dot{x_2} &= (x_2^2 + u)(5 + sinx_1)} \] \[\acc{\dot{x_1} &= x_2 - x_1 cos x_1}{\dot{x_2} &= (x_2^2 + u)(5 + sinx_1)} \]
...@@ -39,7 +30,7 @@ On a bien les commandes en fonctions de $x_1$,$x_3$ et leurs dérivées uniqueme ...@@ -39,7 +30,7 @@ On a bien les commandes en fonctions de $x_1$,$x_3$ et leurs dérivées uniqueme
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice II: Planification} \subsection*{Exercice II: Planification}
On considère le système suivant: On considère le système suivant:
\[\acc{\dot{x_1} &= x_2}{\dot{x_2} &= \alpha\dot{x_1} + u} \] \[\acc{\dot{x_1} &= x_2}{\dot{x_2} &= \alpha\dot{x_1} + u} \]
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
...@@ -67,7 +58,7 @@ La planification de la trajectoire permet de trouver un modèle linéaire autour ...@@ -67,7 +58,7 @@ La planification de la trajectoire permet de trouver un modèle linéaire autour
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Exercice III: Suspension magnétique} \subsection*{Exercice III: Suspension magnétique}
On peut appliquer le backstepping car le système est de forme triangulaire : On peut appliquer le backstepping car le système est de forme triangulaire :
\[ \left\{ \begin{matrix} \[ \left\{ \begin{matrix}
\dot{x_1} &= x_2\\ \dot{x_1} &= x_2\\
...@@ -103,7 +94,7 @@ u = \frac{2x_3 + \alpha_3 \tau (x_3 - \hat{x_3}^*/x_3) + \tau \dot{\hat{x_3}}^*} ...@@ -103,7 +94,7 @@ u = \frac{2x_3 + \alpha_3 \tau (x_3 - \hat{x_3}^*/x_3) + \tau \dot{\hat{x_3}}^*}
Il faut éviter que $x_3 = 0$ pour avoir i non nul? Il faut éviter que $x_3 = 0$ pour avoir i non nul?
\section*{Exercice IV: Commande par modes glissants} \subsection*{Exercice IV: Commande par modes glissants}
$\alpha_0 = 1.5, \alpha(t) = \alpha_0 + \Delta \alpha avec |\Delta\alpha| \leq 0.5$ $\alpha_0 = 1.5, \alpha(t) = \alpha_0 + \Delta \alpha avec |\Delta\alpha| \leq 0.5$
$S = \dot{\epsilon} + \beta_0 \epsilon$ $S = \dot{\epsilon} + \beta_0 \epsilon$
...@@ -113,4 +104,4 @@ Premier terme: mode linéarisant ...@@ -113,4 +104,4 @@ Premier terme: mode linéarisant
Terme 3 et 4: mode glissant Terme 3 et 4: mode glissant
$\alpha >1 K tel que |\Delta \alpha x_2^2| < K$ $\alpha >1 K tel que |\Delta \alpha x_2^2| < K$
\end{document} \end{document}
\ No newline at end of file
\documentclass{../../cours} \documentclass{../../td}
\usepackage{../../raccourcis} \usepackage{../../raccourcis}
\usepackage{multicol} \usepackage{multicol}
% Mise en page % Mise en page
\title{Correction de TD} \title{Correction de TD}
\author{Pierre-Antoine Comby (basé sur le travail de ?)} \author{Pierre-Antoine Comby (basé sur le travail de ?)}
\teacher{Samy Tliba} \teacher{Mohamed Abbas Turki}
\module{421} \module{424}
\renewcommand{\thesection}{TD\arabic{section}} \renewcommand{\thesection}{TD\arabic{section}}
...@@ -28,7 +28,7 @@ ...@@ -28,7 +28,7 @@
\section{Stabilité en non linéaire} \section{Stabilité en non linéaire}
\subfile{TD3/TD3a.tex} \subfile{TD3/TD3a.tex}
\subfile{TD3/TD3b.tex} \subfile{TD3/TD3b.tex}
\section{Choix ce la fonction de Lyapunov Candidate, Commandabilité et Observabilité} \section{Choix de la fonction de Lyapunov candidate, Commandabilité et Observabilité}
\subfile{TD4/TD4.tex} \subfile{TD4/TD4.tex}
\section{Bouclage linéarisant par retour d'état statique} \section{Bouclage linéarisant par retour d'état statique}
\subfile{TD5/TD5.tex} \subfile{TD5/TD5.tex}
......
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