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......@@ -3,16 +3,11 @@
% Corrigé jusqu'au 4.3 inclus, A 28/02/2015.
\begin{document}
\paragraph{Objectifs } Donner les connaissances fondamentales sur l'analyse et la commande des systèmes non linéaires en abordant les techniques classiques. Le but est d'avoir une compréhension plus profonde des hypothèses sous-jacentes à la commande non linéaire, des outils disponibles pour l'analyse, la synthèse et les limites des résultats obtenues.
\begin{center}
\begin{itemize}
\item Analyse de la stabilité
\item Outils pour la commande non linéaire
\item Synthèse de lois de commande non linéaire
\end{itemize}
\end{center}
\paragraph{Objectifs du Module}: Donner les connaissances fondamentales sur l'analyse et la commande des systèmes non linéaires en abordant les techniques classiques. Le but est d'avoir une compréhension plus profonde des hypothèses sous-jacentes à la commande non linéaire, des outils disponibles pour l'analyse, la synthèse et les limites des résultats obtenues.
\newpage
Dans la première partie on s'interessera àl'analyse de la stabilité d'un système via différentes méthodes notamment la méthode du premier harmonique (dans le chapitre 4) et l'étude de la fonction de lyapunov (dans le chapitre 5).
Dans la seconde partie on s'interessera à l'élaboration de commande du système non-linéaire, qui seront appliquée en TP.
\section{Définition}
\begin{defin}
......@@ -55,10 +50,11 @@ On peut donc représenter les systèmes selon le graphe suivant:
\end{center}
\section{Passage des EDP vers EDO }
Le passage s'effectue par approximation, car le modèle obtenu est de dimension infinie.
Très souvent les systèmes étudiés sont régit par des équations aux dérivées partielles, pour faciliter leur étude on simplifie ces équations par approximation, car le modèle obtenu est de dimension infinie.
\[\vec{\omega}(x,y,z,t) \approx \sum_{i=1}^Nq_i(t)\vec{\eta}(x,y,z)\]
La stabilité sera analysée sur l'aspect temporel car on ne peut pas avoir une dimension spatiale instable.
De plus La stabilité sera analysée sur l'aspect temporel car on ne peut pas avoir une dimension spatiale instable.
\begin{example}[Poutre flexible]
On regarde les différent modes d'excitations, obtenus par la méthode des éléments finis.\\
......@@ -72,24 +68,24 @@ Dans le cas général, les systèmes sont décrits par la représentation d'éta
y = g(x,t,u)& \text{ avec, } & x\in \mathbb{R}^n\text{, }u\in \mathbb{R}^m\text{, }y\in \mathbb{R}^l
\end{matrix} \right.\]
\noindent \underline{Exemple}: Système LTV
\begin{exemple} Système LTV
\begin{align*}
f(x,t,u) = A(t)x + B(t) u\\
g(x,t,u) = C(t)x +D(t)u
\end{align*}
\end{exemple}
Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'intsant t pour une condirtion initiale $x_0$
\begin{defin}
La \emph{trajectoire} $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$$n$ est la dimension de $G$ , est une application :
La \emph{trajectoire} $\chi$ d'un système dynamique $\Sigma$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$$n$ est la dimension de $\Sigma$ , est une application :
\[
\chi: \R \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}
\]
vérifiant les propriétés:
\begin{enumerate}
\item Continuité $\chi $ est continue su r$\R \times \mathcal{D}$ et $\forall x \in \mathcal{D}, \chi (\cdot,x) $ est dérivable sur $\R$
\item Continuité $\chi $ est continue sur $\R \times \mathcal{D}$ et $\forall x \in \mathcal{D}, \chi (\cdot,x) $ est dérivable sur $\R$
\item Consistance $\chi(0,x) = x$
\item Propriété de Groupe $ \chi(t,\chi(\tau,x))=\chi(t+\tau,x)$
\end{enumerate}
......
......@@ -20,10 +20,14 @@ Un système dynamique sur $\D \subset \R^n$, où $n$ est la dimension du systèm
\begin{itemize}
\item On dénote le système $(\D,\R,s)$ par $G$, où $\chi(\cdot,\cdot)$ est la trajectoire et $\D$ est l'espace de phase.
\item On dénote la trajectoire $\chi(t,\cdot) : \D \rightarrow\D$ par $\chi_t(x_0)$ ou $\chi_t$.
\item Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
\end{itemize}
\end{rem}
\begin{prop}
Suivant l'axiome de consistance, $\chi_0(x_0)=x_0$ et suivant la propriété de groupe :
\[ (\chi_{\tau} \circ \chi_t)(x_0) = (\chi_t \circ \chi_{\tau})(x_0) = \chi_{t+\tau}(x_0) \]
Ainsi l'application inverse de $\chi_t$ est $\chi_{-t}$$\chi_t$ est un homéomorphisme (bijective, continue, inverse continue).
\end{prop}
\begin{proof}
En effet, montrons que $\chi_t$ est injective.
Soit $y,z\in \D$ tels que $\chi_t(z)=\chi_t(y)$.
......@@ -32,9 +36,7 @@ On a $z=s_0(z)=\chi(0,z)=\chi(t-t,z)=\chi(-t,\chi(t,z))=\chi(-t,\chi(t,y))=\chi(
$\chi_t$ est surjective : $\forall z \in D, \exists y z\in \D$ tel que $y=\chi(-t,z)$.
Enfin, $\chi_t$ est continue sur $\R$ donc $\chi_{-t}$ est continue.
\end{itemize}
\end{rem}
\end{proof}
\begin{exemple}
Système linéaire causal de dimension $n$ ($n$ variables d'état)
......@@ -58,8 +60,8 @@ Système linéaire $f(x)=\dd{e^{At}x}{t}|_{t=0}=Ax$
\end{exemple}
\emph{Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle unique ?}
\section{Théorème du point fixe}
\section{Trajectoire et point d'équilibre}
\subsection{Théorème du point fixe}
\begin{thm}[Point fixe]
Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $X$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,alors
\[ \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
......@@ -120,6 +122,8 @@ $T:S \rightarrow S$ est contractante pour $\tau - t_0 \leq \min \{ \frac{r}{\alp
\paragraph{Rappel:}
Dans le cas linéaire, le système $\dot{x} =A x $ est stable si toutes ses valeurs propres sont à partie réelle négative, il existe un unique point d'équilibre $\overline{x}$ stable tq $\dot{x} =0$ (si $\det(A) \neq 0$n $\overline{x}=0$).
\subsection{Points d'équilibres}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Les \emph{points d'équilibre} d'un système vérifient $\dot{x_{eq}} = 0$
......@@ -191,7 +195,7 @@ Cette méthode est réalisée pour les systèmes du second ordre ,plan de phase
On élimine le temps de manière explicite ou non.
\end{itemize}
\end{enumerate}
Dans l'analyse de la stabilité on s'interresse au comportement dans un voisinage du point d'équilibre.
Dans l'analyse de la stabilité on s'intéresse au comportement dans un voisinage du point d'équilibre.
\begin{defin}
Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
......@@ -202,9 +206,9 @@ Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
\item Pour chaque point $x_n$ on évalue $f(x_n$) où $f$ vérifie $\dot{x} =f(x)$.
\item Tous les vecteurs $f(x_n)_{n=1...N}$ sont ramenés aux point d'équilibre.
\end{enumerate}
Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique.
Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrémité des vecteurs $(f(x_i))$ parcours dans le sens trigonométrique.
\end{defin}
\begin{figure}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
......@@ -247,7 +251,7 @@ Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
\caption{Détermination de l'index topologique}
\end{figure}
Il reste maintenat à chercher les trajectoires autour des points d'équilibres.
Il reste maintenant à chercher les trajectoires autour des points d'équilibres.
\subsection{Méthode isocline}
Pour cette méthode, il s'agit de poser :
......
\documentclass[main.tex]{subfiles}
\begin{document}
Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre,...\\
On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\
Il s'agit de regarder la stabilité, la convergence vers un point d'équilibre. On se place dans le cas présent en régime libre pour un système invariant, c'est à dire que $\dot{x} = f(x,u=0)$ et $y = g(x,u=0)$.\\
On pose $u=0$, car la stabilité et la dynamique du système sont des caractéristiques intrinsèques d'un système, donc indépendantes de l'entrée.\\
......@@ -28,8 +27,8 @@ On étudie donc le système autour de son point d'équilibre, en linéarisant so
\end{align*}
\begin{rem}
En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibre. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibre stables et instable.
Cette approximation peux être réalisé dans le cas d'un régime forcé:
En N.L, la stabilité est associée aux points d'équilibres. Ainsi, un même système N.L peut avoir des points d'équilibres stables et instables.
Cette approximation peux être également réalisée dans le cas d'un régime forcé:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = f(x,u)\\
......@@ -192,8 +191,8 @@ $\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et d
\end{example}
\begin{thm}[Index de Poincaré]
Dans le plan de phase( pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
\begin{thm}[Index de Poincaré]~\\
Dans le plan de phase (pour un système d'ordre 2) avec $N$ le nombre de noeuds, centre et foyer et $S$ le nombre de points selles.\\
Si un cycle limite existe, les points d'équilibre que le cycle limite encercle sont tel que
\[
\boxed{N =S +1}
......
......@@ -78,7 +78,7 @@ On fait la confusion entre rang et dimension.
\end{rem}
\end{defin}
\begin{example}
\begin{exemple}
\[ f_1(x) = \vect{x_1 \\ x_2 \\ 2}, f_2(x) =
\begin{bmatrix}
x_1 & x_3 \\ x_2 & x_3 \\2 & x_3
......@@ -88,7 +88,7 @@ x_1 & x_3 \\ x_2 & x_3 \\2 & x_3
Si $x_2 = 0$, alors $\Delta(x) = vect\{( \vect{x_1 \\ 0 \\ 2} ) \} \text{ et }dim=1$.
Si $x_2 \neq 0$, alors $\Delta(x) = vect\{(\vect{x_1 \\ x_2 \\ 2},\vect{1 \\ 1 \\ 0})\} \text{ et }dim=2$.
\end{example}
\end{exemple}
\section{Commandabilité (atteignabilité, contrôlabilité)}
......@@ -103,7 +103,7 @@ Un système est\emph{ commandable} ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $
Le système (1) est commandable ssi la sous-algèbre de Lie $\D = \{g_1 \dots g_m, \Lc(E)\}$ avec $E=\{g_1 \dots g_m,f\}$ est de dimension $n$.
\end{thm}
\begin{example}[linéaire]
\begin{exemple}[cas linéaire]
\[ \dot{x} = Ax + Bu \]
\[ E = \{Ax,B\}, [B,Ax] = AB \]
......@@ -114,7 +114,7 @@ suivant Cayley Hamilton:
\[ \D = \{B,vect \{AB,AB^2,\dots,A^{n-1}B\}\}\]
$dim \D = rang (B AB \dots A^{n-1}B)$ théorème de Kalman
\end{example}
\end{exemple}
\section{Observabilité (distingabilité)}
Soit le système NL (2) (affine en la commande) :
......@@ -127,11 +127,11 @@ y & = h(x)
Un système est \emph{observable} si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
\end{defin}
\begin{defin}[Espace d'observabilité]
$\mathcal{V}$ est l'espace d'observabilité constitué de toutes les combinaisons linéaires obtenues à partir des dérivées de Lie $L_f$ et $L_g$ des fonctions $h_j(x),j=1 \dots p$ telles que $y\in\R^p$
\begin{defin}
$\mathcal{V}$ est \emph{l'espace d'observabilité} constitué de toutes les combinaisons linéaires obtenues à partir des dérivées de Lie $L_f$ et $L_g$ des fonctions $h_j(x),j=1 \dots p$ telles que $y\in\R^p$
\[ \mathcal{V} = \{h_j,L_fh_j, L_g h_j, L^2_f h_j,\dots L_g L_f h_j, L_f L_g h_j,\dots \}\]
Soit $\nabla \mathcal{V}$ l'ensemble des différentielles (gradient) des éléments de $\mathcal{V}$ :
On note $\nabla \mathcal{V}$ l'ensemble des différentielles (gradient) des éléments de $\mathcal{V}$ :
\[ \nabla \mathcal{V} = \{ \nabla h_j, \nabla L_f h_j ... \} \]
\end{defin}
......
......@@ -78,28 +78,29 @@ La nouvelle entrée de commande est $v$ telle que
$u = \alpha(x) + \beta(x)v$ est le bouclage linéarisant statique car à un instant fixé, la linéarisation ne dépend que de $x$ à cet instant.\\
\subsubsection{Cas $r=n$}
\begin{tabular}{c|c}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
Choix de la base :
\begin{align*}
\[\begin{array}{ll}
z_1 & = y = h(x) \\
z_2 & = \dot{y} = L_fh(x) \Rightarrow \dot{z_1} = z_2 \\
z_3 & = \ddot{y} = L_g^2h(x) \Rightarrow \dot{z_2} = z_3 \\
\vdots \\
y^{(n)} & = \dot{z_n} = L_f^nh(x) + L_gL_f^{n-1}h(x)u = v
\end{align*}
\end{minipage}
\end{array}\]
\end{minipage}&
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
Nouveau modèle :
\begin{align*}
\[\begin{array}{ll}
y & = z_1 \\
\dot{z_1} & = z_2 \\
&\vdots \\
&\vdots\\
\dot{z_{n-1}} & = z_n \\
\dot{z_n} & = a(z) + b(z)u = v
\end{align*}
\end{array}\]
\end{minipage}
\end{tabular}
On a donc la commande suivante :\[ u = \frac{v-a(z)}{b(z)} \text{ avec } b(z) \neq 0 \]
Qui nécessite le changement de base des variables d'états :
\[ z = \phi(x) = \vect{\phi_1(x) \\ \vdots \\ \phi_n(x)} = \vect{ h(x) \\ L_fh(x) \\ \vdots \\ L_f^{n-1}h(x)} \]
......@@ -134,7 +135,7 @@ Qui nécessite le changement de base des variables d'états :
\end{figure}
\subsubsection{Cas $r<n$}
Dans le cas ou $r < n$ il faut ``compléter'' le système pour le rendre commandable.
\begin{align*}
z_1 &= y\\
z_2 &= \dot{z_1} \\
......@@ -182,26 +183,24 @@ La dynamique restante
\end{defin}
\begin{rem}
Si $r<n$, le système comporte une dynamique des zéros. Dans le cas ou la dynamique des zéros est instable, on peux chercher à trouver une transformation pour linéariser le modèle entrée-états.
Si $r<n$, le système comporte une dynamique des zéros. Dans le cas ou la dynamique des zéros est instable, on peux chercher à trouver une transformation pour linéariser le modèle entrée-états, ce que l'on va étudier tout de suite.
\end{rem}
\subsection{Linéarisation entrée-états}
Dans le cas où l'on ne dispose pas d'une sortie $y=h(x)$, on essaye de trouver une sortie "fictive" grâce à un changement de variable.\\
On ne dispose pas d'une sortie $y=h(x)$ donc on essaye de trouver une sortie "fictive".\\
Problème : trouver le bon changement de base $z_1 = \phi_1(x)$ qui remplace $z_1=y=h(x)$ :
\paragraph{Problème} : trouver le bon changement de base $z_1 = \phi_1(x)$ qui remplace $z_1=y=h(x)$ :
\[ z = \vect{z_1 \\ \vdots \\ z_n} = \vect{\phi_1(x) \\ \vdots \\ \phi_n(x)} = \phi(x) \]
$\phi$ est un difféomorphisme, i.e. bijectif et différentiable, de même pour la réciproque.\\
\begin{thm}
Le système $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ (1) est \emph{linéarisable entrée-états} si
Le système $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ est \emph{linéarisable entrée-états} si
\begin{itemize}
\item il existe une région $\Omega \in \R^n$, un difféomorphisme $\phi:\Omega\rightarrow\R^n$
\item et un retour d'état $u=\alpha(x) + \beta(x)v$ tels que le nouveau vecteur
d'état est $z=\phi(x)$
\item et la nouvelle entrée est $v$ avec $\dot{z} = Az+Bv$,
\item il existe une région $\Omega \in \R^n$,où il existe un difféomorphisme $\phi:\Omega\rightarrow\R^n$
\item il existe un retour d'état $u=\alpha(x) + \beta(x)v$ tels que le nouveau vecteur d'état est $z=\phi(x)$
\item la nouvelle entrée est $v$ avec $\dot{z} = Az+Bv$,
$A$ est la matrice d'évolution $\in \R^{m \times n}$.
\end{itemize}
\end{thm}
......@@ -214,7 +213,7 @@ z_2 & = \phi_2(x) \\
& = \derivp[\phi_1(x)]{x}f(x) + \derivp[\phi_1(x)]{x}g(x)u \\
& = L_f\phi_1(x) + L_g\phi_1(x)u \text{ avec } L_g\phi_1(x) = 0 \\
z_3 & = L_f^2 \phi_1(x) \text{ avec } L_gL_f\phi_1(x) = 0 \\
\phi(x) & = \vect{\phi_1(x) \\ L_f\phi_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{n-1} \phi_1(x)} \text{ avec } L_gL_f^j \phi_1(x) = 0, j = 0,\dots n-2
\phi(x) & = \vect{\phi_1(x) \\ L_f\phi_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{n-1} \phi_1(x)} \text{ avec } L_gL_f^j \phi_1(x) = 0,\text{ et } j = 0,\dots n-2
\end{align*}
Or, $ L_gL_f^j \phi_1(x) = 0, j = 0,\dots n-2 \Leftrightarrow L_{ad_f^j g} \phi_1(x) = 0 $ car
......@@ -353,9 +352,10 @@ z_2 & = L_f \phi_1 = CAx \\
\subsection{Système à déphasage minimal}
\begin{defin}
\paragraph{Rappel}:
Dans le \emph{cas linéaire} le système est a déphasage minimal si les zéros sont à partie $Re<0$.
\end{defin}
\begin{defin}
......@@ -366,10 +366,13 @@ z_2 & = L_f \phi_1 = CAx \\
\vdots \\
\dot{\eta_{n-r}} & = q(0,\eta)
\end{array} \right. \text{ est stable} \]
Ainsi, quand le le système est à déphasage non minimal, on applique la linéarisation $e-s$.
\end{defin}
Ainsi, quand le le système est à déphasage non minimal, on applique la linéarisation $e-s$.
\subsection{Cas MIMO du bouclage linéarisant}
\paragraph{Rappel:}
Le linéarisation revient à trouver la commande qui réalise la réciproque de la non-linéarité : problème inverse. Dans le cas où le problème est non inversible d'une manière statique (i.e. algébrique), la solution est alors de réaliser une inversion dynamique, à la manière de l'observateur dans le cas linéaire.
Soit le système non-linéaire :
......@@ -385,7 +388,7 @@ Le degré relatif $r$ dans le cas MIMO est défini comme $r=r_1+\dots+r_p$ si $r
\end{defin}
\subsubsection{Procédure de linéarisation}
Sans perte de généralité, on pose $m=p$. Calculons les dérivées successives des sorties :
Sans perte de généralité, on pose $m=p$ (le nb de paramètre de commande est identique au nombre de sortie). Calculons les dérivées successives des sorties :
\[
\vect{ y_1^{(r_1)} \\ \vdots \\ y_p^{(r_p)}} =
\vect{ L_f^{r_1} h_1(x) \\ \vdots \\ L_f^{r_p}h_p(x) } +
......@@ -422,7 +425,7 @@ Le système MIMO est linéarisable si $r=\sum_{i=1}^p r_i = n$ avec $D(x)$ inver
On a un bouclage ``statique''.
\item si $D(x)$ n'edst pas inversible alors on introduit une dynamique pour la rendre inversible. Une méthode simple pour trouver cette dynamique est de continuer à dériver après apparition de la commande ($u_j,\dot{u}_j$).
\item si $D(x)$ n'est pas inversible alors on introduit une dynamique pour la rendre inversible. Une méthode simple pour trouver cette dynamique est de continuer à dériver après apparition de la commande ($u_j,\dot{u}_j$).
\end{itemize}
......@@ -474,7 +477,7 @@ Objectif : trouver $u$ tel que $y \to y_c$ suivant une dynamique imposée.
\begin{itemize}
\item On pose $\epsilon(t) = y_c(t) - y(t)$ : erreur de poursuite
\item Imposer la dynamique de poursuite : \[\epsilon^{(m)} + \beta_{m-1} \epsilon^{(m-1)} + \dots + \beta_1 \epsilon^{[1)} + \beta_0 \epsilon = 0 \] tels que $\beta_i,i=0\dots m$ sont choisis pour que le polynôme
\[ \lambda^n + \beta_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + \beta_1 \lambda + \beta_0 = 0 \] est Hurwitz, i.e. racines sont à parties réelles strictement négatives.
\[ \lambda^n + \beta_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + \beta_1 \lambda + \beta_0 = 0 \] soit un polynone d'Hurwitz\footnote{les racines sont à parties réelles strictement négatives}.
Pour $n=m$ on a
\[ y^{(m)} (t) = y_c^{(m)}(t) + \sum
_{i=1}^m \beta_{i-1}(y_c^{(i-1)}(t) - y^{(i-1)}(t)) \]
......@@ -492,7 +495,8 @@ La poursuite asymptotique revient à trouver $u$ tel que
Dans le cas où le modèle est sous forme normale (forme obtenue pour le bouclage linéarisant) :
\begin{align*}
\dot{z_1} & = z_2, z_1 = y \\
y &= z_1\\
\dot{z_1} & = z_2 \\
\vdots \\
\dot{z_{r-1}} & = z_r \\
\dot{z_r} & = b(z) + a(z)u \text{ avec } a(z) \neq 0 \\
......@@ -538,7 +542,8 @@ Même démarche pour les degrés supérieurs de la poursuite asymptotique.
\label{fig:label}
\end{figure}
La difficulté de la poursuite asymptotique est la résolution de l'équation dynamique NL
\[c(z_1 \dots z_n , u \dots u^{(k)} ) y_c^{(n)} - \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} (y_c^{(i-1)} - z_i) \]
\[c(z_1 \dots z_n , u \dots u^{(k)} ) y_c^{(n)} - \sum_{i=1}^m \beta_{i-1} (y_c^{(i-1)} - z_i) = 0 \]
\subsection{Système plats}
Dans le cas des systèmes plats, la solution est obtenue via les sorties plates.
......
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