Commit cc9f72ed authored by Pierre-antoine Comby's avatar Pierre-antoine Comby

fin du cours de probabilité

parent a04552cb
Pipeline #1022 passed with stage
in 2 minutes and 44 seconds
...@@ -373,19 +373,252 @@ J = ...@@ -373,19 +373,252 @@ J =
Au quel cas on a : $f_W(w) = f_Z(z)\frac{1}{|K|}$ Au quel cas on a : $f_W(w) = f_Z(z)\frac{1}{|K|}$
\end{rem} \end{rem}
\subsection{Espérance et moments-fonction caractéristique} \subsection{Espérance et moments-fonction caractéristique}
Dans la suite on considère la fonction suivante :
\[
g :
\begin{cases}
\R^2 \to \C^p\\
Z = (X,Y) \mapsto g(Z) = \vect{g_1(X,Y)\\ \vdots \\ g_p(X,Y)}
\end{cases}
\]
\begin{thm}[Théorème de transfert]
On a :
\[
E[g(z)] = \iint_{\R^2} g(X,Y)f_{X,Y}(x,y)\d x\d y
\]
\end{thm}
\begin{prop}
Dans le cas de VA indépendante et pour $g$ séparable on a : $g(X,Y) = g_X(X)g_Y(Y)$ et alors :
\[
E[g(X,Y)]= E[g_X(X)]E[g_Y(Y)]
\]
\end{prop}
\begin{defin}
On peux également définir les moments d'un couple de VA:
\begin{itemize}
\item Moment d'ordre 1
\[
E[Z] = m_Z = \vect{m_X\\m_Y}
\]
\item Moment d'ordre 2 (Matrice de corrélation)
\[
E[ZZ^T] =E \left[\vect{X^2 & XY \\ XY & Y^2}
\right] = \vect{E[X^2] & E[XY] \\ E[XY] & E[Y^2]} = C_{ZZ}
\]
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{rem}
$C_{ZZ}$ est symétrique positive: $ C_{ZZ}\in S_n^+(\R)$
\end{rem}
\begin{defin}
On appelle matrice de covaraince la matrice de corrélation des variables centrées:
\[
\Sigma_{ZZ}= E[(X-m_x)(Y-m_Y)^T] = \vect{\sigma_x^2 & \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y \\ \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2}
\]
$\rho_{XY} = \frac{E[(X-m_X)(Y-m_y)^T]}{\sigma_x\sigma_y} =E[X_rY_r]$ est le \emph{coefficient de corrélation}
\end{defin}
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $\Sigma_{ZZ}\in S_n^+$
\item $ \rho_{XY} < 1$
\item $\rho_{XY}=1$ ssi $\exists a,b,c \neq 0, aX+bY+c =0$. Les variables sont alignées.
\item Si $\rho_{XY}=0$ on dit que les variables sont décoréllées
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{thm}
L'indépendance de 2 variables aléatoires implique leur non corrélation.
La réciproque n'est vraie que dans le cas gaussien.
\end{thm}
\subsection{Espérance de loi conditionnelle}
\begin{defin}
On note
\[
E[X|Y=y] = \int_{\R}^{}xf_{X|Y=y}(x)\d x = m_X(y)
\]
\emph{l'espérance conditionnelle} de la VA $X$ sachant $Y=y$
\end{defin}
\begin{prop}
On a :
\[
E[m_x(y)] = E[X]
\]
\end{prop}
\begin{proof}
Directement :
\begin{align*}
E[m_X(y)]&= \int_{\R}^{}m_X(y)f(y)\d y\\
&=\int_\R\int_\R x f_{XY}(x,y)\d x\d y\\
&=\int_{\R^2}^{}x f_{XY}(x,y)\d x\d y\\
&= E[X]
\end{align*}
\end{proof}
\section{Variable aléatoire vectorielle et réelles} \section{Variable aléatoire vectorielle et réelles}
\subsection{Définition} \subsection{Définition}
\begin{defin}
On généralise la notion de variable aléatoire et de couple de variable aléatoire :
\[
X :
\begin{cases}
\Omega \to \R^n\\
\omega \mapsto X(\omega) =\vect{X_1\\ \vdots\\ X_n}
\end{cases}
\]
\end{defin}
\subsection{Fonction de répartition} \subsection{Fonction de répartition}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Fonction de répartition conjointe:(toutes les composantes jouent le même rôle)
\[
F_{X_1...X_n}(x_1...x_n) = P \left(\bigcap_{i=1}^nX_i<x_i\right)
\]
\item Fonction de répartition marginale de $X_i$:
\[
F_{X_i}=P(X_i<x_i)= P\left(X_i<x_i ; \bigcap_{j\neq i}X_j< +\infty \right)
\]
\end{itemize}
Les propriétés démontrées dans le cas 2 se généralise au cas vectoriel.
\end{defin}
\subsection{Densité de Probabilité} \subsection{Densité de Probabilité}
\begin{defin}
On défini la densité de probabilité conjointe:
\[
f_X(x) = \derivp[^n]{\vec{x}} F_\vec{X}(\vec{x})
\]
Et alors :
\[
P(X\in\mathcal{D}) = \int_{\mathcal{D}}f_X(x)\d x = \iint_{\mathcal{D}} ... \int f_{\vec{X}}(\vec{x}) \d \vec{x}
\]
\end{defin}
\begin{defin}
On généralise de même les notions de ddp margianle et conditionnelle:
\begin{itemize}
\item ddp marginale:
\[
f_{X_i}(x_i)= \frac{\d^n F_{x_i}(x_i)}{\d x_i} = \int_{\R^{n-1}}f_{\vec{X}}(\vec{x})\d x_1 ... \d x_{i-1}\d x_{i+1} ...\d x_n
\]
\item ddp conditionnelles:
On considère $Y$ et $Z$ de VA vectorielles:
\[
f_{\vec{Y}|\vec{Z}=\vec{z}}(\vec{y}) = \frac{f_{\vec{YZ}}(\vec{y},\vec{z})}{f_{\vec{Z}(z)}}
\]
\end{itemize}
\end{defin}
\subsection{Indépendance} \subsection{Indépendance}
\begin{thm}
On donne une CNS d'indépencande dans leur ensemble des VA $X_i$:
\[
F_{\vec{X}}(\vec{x})= \prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(x_i) \iff f_{\vec{X}}(\vec{x}) = \prod_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i)
\]
L'indépendance dans leur ensemble implique l'indépendance 2à2.
\end{thm}
\subsection{Changement de variable aléatoire} \subsection{Changement de variable aléatoire}
\begin{prop}
Pour $g
\begin{cases}
\R^n \to \R^n\\
\vec{X} \mapsto g(\vec{X})=\vec{Y}
\end{cases}$ On peux définir le changement de variable:
\[
f_{\vec{Y}(\vec{y}} =f_{\vec{X}}{\vec{x}}|\vec{J}| = f_{\vec{X}}(\vec{x}) \frac{1}{|\vec{K}|}
\]
où :
$\vec{J} = \derivp[\vec{x}]{\vec{y}^T}=x_{i,j}$ et $K = \derivp[\vec{y}]{\vec{x}^T} =y_{j,i}$
\end{prop}
\subsection{Espérance, moments et fonction caractéristique} \subsection{Espérance, moments et fonction caractéristique}
\begin{thm}[Théorème de transfert]
\[
E[g(\vec{X})] = \int_{\R^n}^{}g(\vec{X})f_{\vec{X}}(\vec{x})\d\vec{x}
\]
\end{thm}
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Moment d'ordre 1:
\[
\vec{m_x}= E[\vec{X}]
\]
\item Moment d'ordre 2: (matrice de corrélation)
\[
\vec{C_{XX}}=E[\vec{X}\vec{X}^T]\ge 0
\]
\item Moment centrée d'ordre 2: (matrice de covariance)
\[
\vec{\Sigma_{XX}} = E[(\vec{X-m_x})(\vec{Y-m_y})^T]
\]
\item Fonction caractèristique:
\[
\phi_{\vec{X}}(\vec{u})= E[e^{j\vec{u}^T\vec{X}}]
\]
\end{itemize}
\end{defin}
\subsection{Va Gaussienne et réelle} \subsection{Va Gaussienne et réelle}
\section{Extension aux VA complexes} \begin{defin}
On dit que $X = \vec{X_1\\ \vdots\\ X_n}$ est une VA gaussienne:
\begin{description}
\item[$\iff$] $X_i$ sont gaussiens et indépendants dans leur ensembles
\item[$\iff$] $\sum_{i=1}^{n} \alpha_iX_i$ est une gaussienne.
\end{description}
\end{defin}
\renewcommand{\N}{\quad\mathcal{N}}
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item $\vec{X} \N \implies X_i \N$. La réciproque n'est pas vraie (cf ex 9/10 p 14 du fascicule)
\item $\vec{X} \N \implies $ loi conditionnelle gaussienne.
\item $X_i \N$ et indépendantes dans leur ensemble $\implies \vec{X} \N$.
\item $\vec{X} \N$ et $X_i$ indépendants 2à2 $\implies$ indépendant dans leur ensemble.
\item $\vec{X} \N \implies \vec{ Y =AX+B } \N$
\end{itemize}
\end{prop}
\section{Extension aux VA complexes}
\begin{defin}
On généralise \emph{encore}:
\[
\vec{Z}
\begin{cases}
\Omega \to \C^p\\
\omega \mapsto \vec{Z}(\omega) = \vec{X}+j\vec{Y}
\end{cases}
\]
\end{defin}
\paragraph{Notation} : $\vec{Z}^\dagger = (\vec{Z}^{*})^T$ transposé conjugué.
\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Fonction de répartition:
\[
f_{\vec{Z}}(\vec{z})= P(\vec{X}<\vec{x} ; \vec{Y}< \vec{y})
\]
\item Matrice de corrélation:
\[
\vec{C_{zz}} = E[\vec{Z}\vec{Z}^\dagger]
\]
\item Matrice de covariance:
\[
\vec{\Sigma_{ZZ}} = E[(\vec{Z-m_z})(\vec{Z-m_z})^\dagger]
\]
\item Fonction caractéristique:
\[
\phi_{\vec{Z}}(\vec{u}) = E[e^{j\vec{u}^\dagger \vec{Z}}]
\]
\item La linéarité de l'espérance donne également:
\[
E[g(\vec{Z})^*]= E[g(\vec{Z})]^*
\]
\end{itemize}
\end{prop}
\end{document} \end{document}
......
...@@ -8,7 +8,7 @@ ...@@ -8,7 +8,7 @@
\teacher{Cécile Durieu} \teacher{Cécile Durieu}
\module{451} \module{451}
\usepackage{multicol} \usepackage{multicol}
\renewcommand{\vec}{\mathbf}
\begin{document} \begin{document}
\maketitle \maketitle
......
Markdown is supported
0% or
You are about to add 0 people to the discussion. Proceed with caution.
Finish editing this message first!
Please register or to comment