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\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\Kc}{\mathcal{K}}
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
\begin{document}
\section{Critère Qualitatif}
\paragraph{But}: Tracer les trajectoires $\chi(t,x_0),\forall x_0\in \D$ dans l'espace de phase $\R^n$$n$ est la dimension du système.
Cette méthode est réalisée pour les systèmes du second ordre ,plan de phase dans $\R^2$, voire dans $\R^3$. Les systèmes mécaniques sont des exemples typiques, notamment via les équation de Lagrange $\ddot{q} =l(q,\dot{q})$ avec $q$ coordonnées généralisées. même si le modèle est d'ordre $2n$$n = dim(q)$ on peux tracer les coordonnées deux à deux $x_1= q_i ,x_2 = \dot{q_i}$, dans le plan de phase.
\subsection{Méthode pour tracer les trajectoires}
\begin{enumerate}
\item Méthodes informatique :
\begin{itemize}
\item On utlise une intégration numérique pour différentes conditions initiale
\item Graphe des pentes générés numériquement en étudiant $\deriv[x_1]{x_2} = \frac{f_1(x_1,x_2)}{f_2(x_1,x_2)}$
\end{itemize}
\item Méthode papier-crayon
\begin{itemize}
\item Méthode isocline : peut être manuelle et/ou numérique.
\item Solution explicite des équations\\
On élimine le temps de manière explicite ou non.
\end{itemize}
\end{enumerate}
Dans l'analyse de la stabilité on s'interresse au comportement dans un voisinage du point d'équilibre.
\begin{defin}
Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
\begin{enumerate}
\item Une courbe autour du point d'équilibre choisie d'une manière arbitraire et supposée de taille infinitésimale
\item Avec une paramétrisation dans le sens trigonométrique
\item On considère une suite arbitraire de point $(x_n)$ dans le sens de la paramétrisation
\item Pour chaque point $x_n$ on évalue $f(x_n$) où $f$ vérifie $\dot{x} =f(x)$.
\item Tous les vecteurs $f(x_n)_{n=1...N}$ sont ramenés aux point d'équilibre.
\end{enumerate}
Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique.
\end{defin}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
\draw (x) circle (1.5) (20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\a*45:0.5);
\node at (\a*45:2.4){$f(x_\a)$}; }
\node at (5,0){$\bullet$};
\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8);
\draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_\a$}; }
\node at (5,0){$\bullet$};
\node[draw,rectangle] at (10,0){index = +1};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
\draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
\foreach \a/\r in {0/1.2,1/1,2/1,3/1,4/1.2,5/1,6/1,7/1}
{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(-\a*45:0.5);
\node at (\a*45:\r*2){$f(x_\a)$}; }
\foreach \a in {0,1,2,3,4,5,6,7}
{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(-\a*45:0.8);
\draw (5,0)++(-\a*45:1.2)node{$f_\a$}; }
\node at (5,0){$\bullet$};
\node[draw,rectangle] at (10,0){index = -1};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
\draw (x) circle (1.5)(20:1.5) node[inputarrow,rotate=110]{};
\foreach \a/\t/\r in {0/0/2.5,1/45/2.5,2/0/1.8,3/90/2,4/-45/2,5/45/1.8,6/0/1.8,7/90/2}
{\draw[red,-latex] (\a*45:1.5) -- ++(\t:0.7);
\node at (\a*45:\r){$f(x_\a)$}; }
\foreach \a/\l in {0/137,1/26,2/4,7/5}
{\draw[red,-latex] (5,0) -- ++(\a*45:0.8);
\draw (5,0)++(\a*45:1.2)node{$f_{\l}$}; }
\node at (5,0){$\bullet$};
\node[draw,rectangle] at (10,0){index = 0};
\end{tikzpicture}
\caption{Détermination de l'index topologique}
\end{figure}
Il reste maintenat à chercher les trajectoires autour des points d'équilibres.
\subsection{Méthode isocline}
Pour cette méthode, il s'agit de poser :
\begin{align*}
\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{f_2(x)}{f_1(x)} = Cst \\
\end{align*}
C'est-à-dire de rechercher les points tel que la pente en $x$ est égale à une constante donnée.\\
\begin{example}[Pendule inversé]
Cas sans frottement : \[
\begin{cases}
x_1 &= \theta \\
x_2 &= \dot{\theta}
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x_1 & =x_2\\
x_2 & = -\frac{g}{l}sin(x_1)
\end{cases}
\]
\smallbreak
Les iso-clines vérifient donc :
\begin{align*}
\frac{dx_2}{dx_1}&= \frac{-\frac{g}{l}sin(x_1)}{x_2}\\
&=C
\intertext{donc les points décrivant la courbe ont pour équation:}
x_2 &= -\frac{g}{lC}sin(x_1)
\end{align*}
On trace alors alors ces courbes pour différentes valeurs de constante et l'on obtient:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{1/graph2.png}
\end{center}
L'iso-cline donne la pente de la trajectoire, ainsi, en suivant les pentes données d'iso-cline en iso-cline, on peut remonter à la trajectoire.\\
A noter que pour $C$ infini on est sur l'axe de $x_1$ et pour $C$ nul sur celui de $x_2$.\\
\begin{rem}
sans frottement on atteint un cycle limite tandis qu'avec frottement on tend bien vers l'origine.
\end{rem}
\end{example}
\subsection{Méthode par suppression temporelle}
\subsubsection{Méthode explicite}
À partir des solutions des équations différentielles on se débarasse de la paramétrisation temporelle pour obtenir la trajectoire:
\begin{exemple}
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} = x_0 \cos(t) + \dot{x_0} \sin(t)\\
\dot{x_2} = -x_0 \sin(t) + \dot{x_0} \cos(t)\\
\end{cases}
\]
On a $\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2 = x_0^2+\dot{x_0}^2$ soit un cercle de rayon $\sqrt{x_0^2+\dot{x_0}^2}$
\end{exemple}
\subsubsection{Méthode implicite}
Le temps est élimié à partir de l'équation différentielle puis l'orbite est obtenue par intégration
\begin{exemple}
\[
\begin{cases}
\dot{x_1}=x_2\\
\dot{x_2} = -x_1
\end{cases}
\implies \frac{\d x_2}{x_2} =\d t = \frac{\d x_1}{x_1}
\]
Donc : \[
\int_{x_20}^{x_2}x_2\d x_2 = - \int_{x_10}^{x_1}x_1\d x_1
\]
Ainsi on a : $ x_1^2+x_2^2 = x_{10}^2+x_{20}^2$.
\end{exemple}
\begin{rem}
Les méthodes par élimination du temps ne s'appliquent que pour les systèmes avec des dynamiques relativement simple.
\end{rem}
\end{document}
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