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...@@ -67,10 +67,8 @@ Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle u ...@@ -67,10 +67,8 @@ Nous avons défini une trajectoire, mais à partir de $\dot{x}=f(x)$, est-elle u
\section{Théorème du point fixe} \section{Théorème du point fixe}
\begin{thm} \begin{thm}
Soient $X$ un espace de Banach de norme $||.||$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $S$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$, Soient $X$ un espace de Banach de norme $\|.\|$, $S$ un fermé de $X$ et $T:S\rightarrow S$ une application contractante sur $S$, i.e. $\exists \rho \in [0,1[$ tel que $\forall (x,y) \in S^2, ||T(x)-T(y)|| \leq \rho ||x-y||$,
\[ \text{ alors } \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\] \[ \text{ alors } \exists ! x^* \in S \text{ tel que } T(x^*)=x^*\]
De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $. De plus, quelque soit la suite sur $S$ tel que $x_{n+1}=T(x_n)$, elle converge vers $ x^* $.
\end{thm} \end{thm}
...@@ -82,10 +80,10 @@ Une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$ est lipschitzienne si $\exists \ ...@@ -82,10 +80,10 @@ Une application $f:(X,d_x) \rightarrow (Y,d_y)$ est lipschitzienne si $\exists \
Une fonction lipschitzienne est uniformément continue. Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
\end{rem} \end{rem}
\begin{thm} \begin{thm}[Cauchy-Lipschitz]
Soient le système dynamique défini par :$\dot{x}(t)=f(x(t))$ et $x(t_0)=x_0, t \in \R (*)$. Soient le système dynamique défini par \[\dot{x}(t)=f(x(t)) \text{ et } x(t_0)=x_0, t \in \R \tag{\ast}\]
Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que (*) a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$ Si $f:D \rightarrow \R^n$ est lipschitzienne sur $D$ alors $\forall x_0 \in \D, \exists \tau \in ]t_0,t_1[$ tel que $(\ast)$ a une unique solution $x:[t_0,\tau] \rightarrow \R^n$
\end{thm} \end{thm}
\begin{proof} \begin{proof}
......
...@@ -3,6 +3,7 @@ ...@@ -3,6 +3,7 @@
\lstset{language=Matlab} \lstset{language=Matlab}
\begin{document} \begin{document}
\newcommand{\X}{\mathcal{X}}
\section{Rappels mathématiques pour le codage de source} \section{Rappels mathématiques pour le codage de source}
\paragraph{Signaux et variables aléatoires} \paragraph{Signaux et variables aléatoires}
...@@ -26,30 +27,30 @@ Les $p_i$ sont tels que : ...@@ -26,30 +27,30 @@ Les $p_i$ sont tels que :
\paragraph{Moyenne de $X$} (ou espérance) : $E(X)=\sum_{i \in \X} i p_i$ \paragraph{Moyenne de $X$} (ou espérance) : $E(X)=\sum_{i \in \X} i p_i$
\begin{exemple} \begin{example}
$\X=\{1,2,3\}$ avec $p=1 = 0.5, p_2=0.25, p_3=0.25$. $\X=\{1,2,3\}$ avec $p=1 = 0.5, p_2=0.25, p_3=0.25$.
On a $E(X) = 1\times0.5 + 2\times0.25 + 3\times0.25 = 1.75$ On a $E(X) = 1\times0.5 + 2\times0.25 + 3\times0.25 = 1.75$
\end{exemple} \end{example}
\paragraph{Variance de X} : $V(x)=E[(X-E(X))^2] = \sum_{i\in\X} (i-E(x))^2p_i$ \paragraph{Variance de X} : $V(x)=E[(X-E(X))^2] = \sum_{i\in\X} (i-E(x))^2p_i$
\begin{exemple}[(suite)] \begin{example}[(suite)]
$\X=\{1,2,3\}$ avec $p=1 = 0.5, p_2=0.25, p_3=0.25$. $\X=\{1,2,3\}$ avec $p=1 = 0.5, p_2=0.25, p_3=0.25$.
On a $V(x) = (1-1.75)^2\times0.5 + (2-1.75)^2\times0.25 + (3-1.75)^2\times0.25=0.69$ On a $V(x) = (1-1.75)^2\times0.5 + (2-1.75)^2\times0.25 + (3-1.75)^2\times0.25=0.69$
\end{exemple} \end{example}
\paragraph{Écart-type de X} $ \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ \paragraph{Écart-type de X} $ \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
\medskip \medskip
\begin{exemple}[Générer des réalisations de VA] \begin{example}[Générer des réalisations de VA]
Génération d'une suite de réalisations d'une VA $X$ tel que $\X=\{0,1\}$ avec $p_0=0.9,\quad p_1=0.1$ Génération d'une suite de réalisations d'une VA $X$ tel que $\X=\{0,1\}$ avec $p_0=0.9,\quad p_1=0.1$
\begin{lstlisting} \begin{lstlisting}
x=rand(1,10)>0.9 x=rand(1,10)>0.9
% rand : générateur de loi uniforme % rand : generateur de loi uniforme
% randn : générateur de loi gaussienne % randn : generateur de loi gaussienne
\end{lstlisting} \end{lstlisting}
\noindent Pour générer une suite de réalisations correspondant aux exemples précédents \noindent Pour générer une suite de réalisations correspondant aux exemples précédents
...@@ -58,7 +59,7 @@ x=rand(1,10)>0.9 ...@@ -58,7 +59,7 @@ x=rand(1,10)>0.9
x=rand(1,10) x=rand(1,10)
y= (x<0.5) + 2*(x<0.75 & x>0.5) + 3*(x>0.75) y= (x<0.5) + 2*(x<0.75 & x>0.5) + 3*(x>0.75)
\end{lstlisting} \end{lstlisting}
\end{exemple} \end{example}
\medskip \medskip
On considère deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ d'alphabet $\X$. On considère deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ d'alphabet $\X$.
......
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