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\newpage
\section{Définition}
\paragraph{Définition }:\\
Un système est dit Non Linéaire (N.L) si on n'a pas le principe de superposition, i.e. pour une entrée $\sum \lambda_i u_i$ on a en sortie $y \neq \sum \lambda_iy_i$.\\
\begin{defin}
Un système est dit Non Linéaire (N.L) si on n'a pas le principe de superposition, i.e. pour une entrée $\sum \lambda_i u_i$ on a en sortie $y \neq \sum \lambda_iy_i$.
\end{defin}
\paragraph{Définition - Commande}:\\
Pour la commande, les systèmes N.L englobent les systèmes Linéaires (L), i.e. les systèmes L forment un sous-ensemble identifié au principe de superposition. \\
Pour la \emph{commande}, les systèmes N.L englobent les systèmes Linéaires (L), i.e. les systèmes L forment un sous-ensemble identifié au principe de superposition.
Exemple de systèmes N.L :
\begin{itemize}
\item Equation de Navier-Stokes (Mécanique des fluides)
\item Equation de Boltzmann (Cinétique d'un gaz peu dense)
\end{itemize}
\bigbreak
\begin{example}
Système N.L décrit par des EDO (Équations Différentielles Ordinaires): le pendule simple\\
......@@ -82,8 +82,8 @@ y = g(x,t,u)& \text{ avec, } & x\in \mathbb{R}^n\text{, }u\in \mathbb{R}^m\text{
Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'intsant t pour une condirtion initiale $x_0$
\begin{defin}[Trajectoire]
La trajectoire $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$$n$ est la dimension de $G$ , est une application :
\begin{defin}
La \emph{trajectoire} $\chi$ d'un système dynamique $G$ sur $\mathcal{D}\subset \R^n$$n$ est la dimension de $G$ , est une application :
\[
\chi: \R \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}
\]
......@@ -93,6 +93,8 @@ Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'ints
\item Consistance $\chi(0,x) = x$
\item Propriété de Groupe $ \chi(t,\chi(\tau,x))=\chi(t+\tau,x)$
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{rem}
suivant la propriété 1. on a :
\[
......@@ -105,18 +107,27 @@ Ainsi la solution est noté $\chi (t,x_0)$, qui donne la valeur de $x$ à l'ints
\end{rem}
L'ensemble $\mathcal{D}$ dans lequel évolue la trajectoire est nommée \emph{espace de phase}
\end{defin}
Dans le cas causal, on se limite à $ \chi: \R_+ \times \mathcal{D} \to \mathcal{D}$.
Pour $t$ fixé on note $\chi_t :=\chi(t,x) \mathcal{D}\to \mathcal{D}$
\begin{prop}
L'application inverse de $\chi_t$ et$\chi_{-t}$ est un homéomorphisme ie bijectif continu et inverse continu
L'application inverse de $\chi_t$ et$\chi_{-t}$ est un homéomorphisme:
\begin{itemize}
\item continu
\item bijectif
\item inverse continu
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{proof}
on montre l'injectivité et la surjectivité de $\chi$.
La propriété 1. permet de montrer la continuité.
\end{proof}
\end{document}
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