...
 
Commits (3)
......@@ -133,20 +133,17 @@ Ainsi, on obtient :
r(t) = e^{\alpha t} r_0
\end{matrix}\right.\]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{1/graph7.png}
\end{center}
\[
\begin{cases}
\delta z_1(t) & = e^{\lambda t} \\
\delta z_{10} + te^{\lambda t} \delta z_{20}\\
\delta z_2(t) & = e^{\lambda t} \delta z_{20}
\end{cases}
\]
\nopagebreak[1]
\section{Cycle limite}
\begin{defin}
Un système $\dot{x}=f(x)$ possède un \emph{cycle limite} $\mathcal{C}$ si il existe un intervalle de temps $[t_0,t_0+T]$ et $\forall x_0 \in \mathcal{C}$ tel que la trajectoire $\chi(t,x_0)$ soit solution de $\dot{x}=f(x)$ et avec $\chi(t_0,x_0)=x_0$et vérifie :
......
......@@ -183,14 +183,18 @@ Dans l'analyse harmonique, la NL est modélisée par $N(X)$. Ainsi, il faut trou
axis lines =middle,
xlabel=$t$,ylabel=$X$,
xtick={1,2,3.1415},xticklabels={$t_1$,$\frac{\pi}{\omega}-t_1$,$\frac{\pi}{\omega}$},
ytick={-1.5,1.5},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
ytick={-2.1,2.1},yticklabels={$-X_m$,$X_m$},
ymin=-3,ymax=3, xmin=0,xmax=7,
domain=0:7,
]
\addplot[no marks,black] {2.5*sin(deg(x))};
\addplot[no marks,black,smooth,dashed] {2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks,domain=0:1]{2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks,domain=2.1415:4.1415]{2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks,domain=5.283:7]{2.5*sin(deg(x))};
\addplot[thick, no marks] coordinates {(1,2.1) (2.1415,2.1)};
\addplot[thick, no marks] coordinates {(4.1415,-2.1) (5.283,-2.1)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-4.png}
\end{figure}
Calcul de $N(X)$ :
......@@ -219,8 +223,20 @@ N(x) & =
On a donc pour notre exemple de saturation
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.2]{2/424-5.png}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,
xmin=-4,xmax=3,ymin=-2,ymax=3,ticks=none,
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
\addplot[smooth,thick,|-latex] coordinates {(-2.5,0) (-4,0)};
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
\node[below] at (axis cs: -3,0) {$-\frac{1}{N(X)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{INSTABLE}
\end{figure}
\end{exemple}
......@@ -275,7 +291,17 @@ i.e. en notant $\left.\derivp[]{X}\right|_{\zero}=\left.\derivp[]{X}\right|_0$
\noindent Différents types de perturbation
\begin{figure}[h!]
\centering
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,
ticks=none, domain=0:10,
xmin=0,xmax=10,ymin=-2,ymax=2]
\addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))};
\addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(exp(x/10))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-61.png}
\end{figure}
$m > 0$ et $\delta X > 0$ : CL est stable
......@@ -340,8 +366,41 @@ Les tangentes aux courbes $T_{BO}$ et $-\frac{1}{N}$ sont colinéaires aux vecte
Ainsi, la condition $-\derivp[P]{X}.\derivp[V]{\omega} + \derivp[U]{\omega}.\derivp[Q]{X}>0 \Rightarrow (\vec{v_T},\vec{u_N})$ dans le sens direct.
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{2/424-7.png}
\centering
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,name=plot1,
at={(0,0)},
xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(0,-4) (-1,-2) (-3,-1)};
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
\node[above] at (axis cs: -1,-2) {$-\frac{1}{N(X)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{STABLE}
\end{subfigure}%
\begin{subfigure}{.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}
[axis lines= middle,
xmin=-3,xmax=3,ymin=-3,ymax=3,ticks=none,
xlabel=$Re$,ylabel=$Im$]
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-2.5,-3) (-2,0) (-1,1.5)};
\addplot[smooth,tension=1]coordinates{ (-1,1.5) (-0.3,1.2) (0,0)};
\addplot[smooth,tension=1,-latex] coordinates {(-3,-2) (-2,-1) (-0.5,-0.5)};
\node[above] at (axis cs:-1,1.5) {$T_{BO}(j\omega)$};
\node[below] at (axis cs: -1,-1) {$-\frac{1}{N(X)}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{INSTABLE}
\end{subfigure}
\caption{Critère géométrique de stabilité}
\end{figure}
\begin{thm}[Critère de Loeb]
......
......@@ -4,30 +4,39 @@
\newcommand{\Lc}{\mathcal{L}}
\begin{document}
\section{Stabilité de Lagrange}
Le premier a avoir intreoduit la notion de stabilité est Lagrange.
Le concept est basé sur l'énergie potentielle $V$. Puisque les points d'équilibre du système correspondent aux points tels que $\derivp[V]{q}=0$ avec $q$ les coordonnées généralisées du mouvement, alors un point d'équilibre est stable suivant Lagrange si $\derivpp[V]{q} > 0$
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{3/1.png} %HALLELUJAH !
\end{center}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw[-latex] (-0.5,0) -- (5,0) node[right]{$q$};
\draw[-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node[above]{$R$};
\draw (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
\draw[decorate, decoration={border,amplitude=-0.2cm,angle=90,segment length=0.2cm}] (0.5,3) to[out=40,in=180] (4,0.5);
\node(I) at (1,3.26) {$\bullet$};
\node(S) at (4,0.56) {$\bullet$};
\draw[latex-] (I) to[bend left] ++ (1,0.5) node[right]{instable};
\draw[latex-] (S) to[bend right] ++ (1,0.5) node[above]{stable};
\end{tikzpicture}
\caption{Stabilité au sens de Lagrange}
\end{figure}
Suivant Lagrange, un point d'équilibre est stable si pour toute condition initiales ,la trajectoire reste bornée.
\begin{itemize}
\item On controle la variation sur la trajectoire par celle sur la condition initiale.
\item des petites variation sur la condition initiale implique de petite variation sur la trajectoire.
\item On controle la variation sur la trajectoire par celle sur la condition initiale.
\item des petites variation sur la condition initiale implique de petite variation sur la trajectoire.
\end{itemize}
\begin{rem}
La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Mathématiquement, Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
La notion de stabilité en non linéaire concerne les points d'équilibre et non le système. Mathématiquement, Dirichlet a formalisé la stabilité au sens de Lagrange avec les trajectoires.
\end{rem}
\newpage
\begin{defin}
Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si
Un point d'équilibre $x^*$ est stable au sens de Lagrange si et seulement si
\[\forall \delta > 0, \exists \varepsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || x_0-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq \varepsilon\]
\[\forall \delta > 0, \exists \varepsilon > 0 \text{ tel que } \forall t \in \R, || x_0-x^* || \leq \delta \Rightarrow ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))-x^* || \leq \varepsilon\]
\end{defin}
Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$ implique un petit changement borné sur la trajectoire.
......@@ -36,11 +45,11 @@ Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$
Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.
%\img{0.5}{4/lag}
% \img{0.5}{4/lag}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{4/lag.png} %HALLELUJAH !
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{4/lag.png} %HALLELUJAH !
\end{center}
\begin{rem}
......@@ -50,7 +59,7 @@ Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.
\section{Stabilité au sens de Lyapunov}
\begin{defin}
\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
\[\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } ||\chi(t_0,x_0)|| \leq \delta \Rightarrow || \chi(t,\chi(t_0,x_0)) || \leq \epsilon\]
\end{defin}
Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
......@@ -59,178 +68,178 @@ Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
C'est $\varepsilon$ qui controle $\delta$.
\end{rem}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{4/lya.png}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{4/lya.png}
\end{center}
\begin{rem}
La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
\end{rem}
\begin{exemple}[Oscillateur de Van der Pol]
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} & = x_2\\ \dot{x_2} & = -x_1 + (1-x_ 1^2)x_2
\end{cases}
\]
Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
Point d'équilibre $x^* =(0,0)$
\begin{rem}
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
\end{rem}
\begin{rem}
Il n'existe pas de solution analytique aux équations de Van der Pol, mais numériquement on trouve un cycle limite stable.
\end{rem}
%\img{0.3}{3/2.png}
% \img{0.3}{3/2.png}
$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange. Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
\[ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon \]
$\exists \epsilon$ tel que le cycle limite $\subset$ cercle de centre (0,0) et de rayon $\epsilon$ : stable au sens de Lagrange. Par contre, pas stable au sens de Lyapunov car on a
\[ \forall \delta > 0, \nexists \epsilon > 0 \text{ tel que } ||\chi(t,\chi(t_0,x_0))|| < \epsilon \]
\end{exemple}
\begin{exemple}[Pendule sans frottement]
L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.
L'origine est stable suivant Lyapunov avec $\delta = \epsilon$.
Elle n'est pas stable suivant Lagrange \[x_0=(x_1= \pi, x_2=0) : \nexists \epsilon >0 \text{ tel que } \|\chi(t,\chi(0,s_0))\| < \epsilon
\]
Elle n'est pas stable suivant Lagrange \[x_0=(x_1= \pi, x_2=0) : \nexists \epsilon >0 \text{ tel que } \|\chi(t,\chi(0,s_0))\| < \epsilon
\]
\end{exemple}
\subsection{Stabilité uniforme}
\begin{defin}
Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
Le point d'équilibre $x^* (x^* =0)$ est dit point d'équilibre uniformément stable si, pour la condition de Lyapunov, $\delta$ peut être choisi indépendamment des conditions initiales $t_0,x_0$
\end{defin}
\begin{defin}
On définit les \emph{fonctions de caractérisations} suivantes :
\begin{enumerate}
\item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.
On définit les \emph{fonctions de caractérisations} suivantes :
\begin{enumerate}
\item Si $\alpha : \R_+ \rightarrow \R_+$ est continue et strictement croissante, $\alpha$ est dite de classe $\Kc$.
Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$), alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$
Si $\alpha$ croit indéfiniment (i.e. $\alpha (s) \rightarrow \infty$), alors $\alpha\in \Kc_{\infty}$
\item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue, strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$
\item $\phi$ est dite de classe $\Lc$ si $\phi:\R_+\rightarrow\R_+$ continue, strictement décroissante et $\phi(s) \rightarrow 0$
\item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+ \rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$
\item $\beta$ est dite de classe $\Kc\Lc$ si $\beta:\R_+ \times \R_+ \rightarrow \R_+$ si $\beta(.,r)\in \Lc \text{ et } \beta(s,.) \in \Kc$
Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \Lc$.
\end{enumerate}
Typiquement $\beta(s,r)=\alpha(s).\phi(r) \text{ avec } \alpha\in\Kc, \phi \in \Lc$.
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{exemple}
$\beta(\|x_0\|,|t|)=\|x_0\|e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$
$\beta(\|x_0\|,|t|)=\|x_0\|e^{-\lambda |t|} \text{ avec } \lambda >0$
Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ \|\chi(t,x_0)\| \leq \beta(\|x_0\|,t),t \geq 0$ (enveloppe)
Ainsi le but est d'arriver à vérifier pour une trajectoire du système $ \|\chi(t,x_0)\| \leq \beta(\|x_0\|,t),t \geq 0$ (enveloppe)
\end{exemple}
\begin{prop}
L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq c \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha (\|\chi(t_0,x_0)\|)\]
L'origine est uniformément stable si et seulement si \[\exists c>0, \alpha \in \Kc \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq c \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha (\|\chi(t_0,x_0)\|)\]
\end{prop}
\begin{proof}
Condition suffisante.
Condition suffisante.
Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ existe).
Soit $\alpha \in \Kc$ (strictement croissante et continue, donc $\alpha^{-1}$ existe).
Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.
Pour $\epsilon >0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \delta = \alpha^{-1}(\epsilon)$.
Si $\|\chi(t_0,x_0)\| \leq \delta \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
Si $\|\chi(t_0,x_0)\| \leq \delta \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \alpha(\alpha^{-1}(\epsilon)) \leq \epsilon$\\
Condition nécessaire.
Condition nécessaire.
$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$
$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ dépendant de $\epsilon \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$
Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.
Si $\epsilon_2 > \epsilon_1 \Rightarrow \delta_2 \geq \delta_1$ (suivant Lyapunov). On définit $\delta' \in \Kc \text{ tel que } \delta'<\delta$.
Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$
\begin{align*}
\|s_0\| \leq \delta & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon\\
\|s_0\| \leq \delta' & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
\end{align*}
Pour $\epsilon > 9, \exists \delta > 0 \text{ tel que }$
\begin{align*}
\|s_0\| \leq \delta & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon\\
\|s_0\| \leq \delta' & \Rightarrow \|\delta\| \leq \epsilon \text{ car } \delta'<\delta
\end{align*}
Si on définit $\alpha(\|.\|)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$$\|s_0\|=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(\|s_0\|)$
Si on définit $\alpha(\|.\|)=(\delta')^{-1}$, $\forall \epsilon >0, \exists \delta'(\epsilon)$$\|s_0\|=\delta'(\epsilon) \Rightarrow \epsilon = (\delta')^{-1}(\|s_0\|)$
Suivant Lyapunov, cela implique $\|s\| \leq \epsilon \leq \alpha (\|s_0\|)$
Suivant Lyapunov, cela implique $\|s\| \leq \epsilon \leq \alpha (\|s_0\|)$
\end{proof}
\section{Attractivité (convergence)}
\begin{defin}
$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq r \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \sigma, \forall t \geq T$
$\exists r > 0, \forall \sigma > 0, \exists T > 0 \text{ tel que } \|\chi(t_0,x_0)\| \leq r \Rightarrow \|\chi(t,\chi(t_0,x_0))\| \leq \sigma, \forall t \geq T$
%\img{0.5}{4/1.png}
% \img{0.5}{4/1.png}
Autrement dit : $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} \|\chi_t\| = 0$.
Autrement dit : $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} \|\chi_t\| = 0$.
On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
On parle d'attractivité uniforme si $T$ ne dépend pas de $t_0$.
\end{defin}
\begin{prop}[Stabilité asymptotique]
L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \beta (\|s_0\|,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
\end{itemize}
L'origine est asymptotiquement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $\|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \beta (\|s_0\|,t), \quad \beta \in \Kc\Lc$
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{prop}[Stabilité exponentielle]
L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \alpha \|s_0\| e^{-\lambda t}$
\end{itemize}
L'origine est exponentiellement stable si et seulement si
\begin{itemize}
\item stabilité au sens de Lyapunov et attractivité
\item $\exists \alpha, \lambda, r >0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq r \Rightarrow \|s\| \leq \alpha \|s_0\| e^{-\lambda t}$
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{prop}[Stabilité locale et globale]
\begin{itemize}
\item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
\item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item L'origine est globalement stable si la stabilité (asymptotique, exponentielle,...) ne dépend pas de la condition initiale, i.e. $\forall t_0 \in \R \text{ et } x_0 \in \R^n$ et dit localement stable (asymptotiquement, exponentiellement,...)
\item Si la stabilité dépend de la CI, i.e. $\exists V_t \subset \R$ ou $V_x \in \R^n$ tel que $\forall t_0 \in V_t$ et $\forall x_0 \in V_x$, l'origine est stable.
\end{itemize}
\end{prop}
\paragraph{Problème} Généralement, on n'a pas de solution analytique de l'équation différentielle. Ainsi, la stabilité ne peut pas être vérifiée via la trajectoire.
\begin{defin}
$V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si :
\begin{enumerate}
\item $V :
\begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
\end{cases}
$ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
\item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{\|x\| \rightarrow \infty} \infty$
\end{enumerate}
$V$ est une \emph{fonction de Lyapunov} si :
\begin{enumerate}
\item $V :
\begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R_+\\x & \mapsto V(x)
\end{cases}
$ telle que $V(0)=0$ et $V(x) \geq 0$ (définie semi-positive) ou telle que $V(0)=0$ et $V(x) > 0$ si $x\neq 0$ (définie positive)
\item $V$ est radialement non bornée, i.e. $V(x) \rightarrow_{\|x\| \rightarrow \infty} \infty$
\end{enumerate}
\end{defin}
\begin{thm}[Stabilité au sens de Lyapunov]
Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et $f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$ (fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que
\[ \exists D \subset \R^n, 0 \in \D \text{} \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \]
Alors l'origine est stable au sens de Lyapunov sur $\D$.
Soit $\dot{x}(t) = f(x(t))$ et $f(0)=0$ (origine est un point d'équilibre). On suppose qu'il existe $V$ (fonction de Lyapunov) continue et différentiable tel que
\[ \exists D \subset \R^n, 0 \in \D \text{} \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^Tf(x) \leq 0 \]
Alors l'origine est stable au sens de Lyapunov sur $\D$.
Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
Si $\D = \R^n$, 0 est globalement stable au sens de Lyapunov.
\end{thm}
\begin{proof}
Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$.
Si $x=0$ est stable, alors $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \|s_0\| \leq \delta \Rightarrow \|s\| \leq \epsilon$.
Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } \|x\| \leq r \}$
Pour $\epsilon > 0$ on définit $0<r\leq \epsilon$ avec $B_r(0) = \{ x \in \D \text{ tel que } \|x\| \leq r \}$
Soit $\alpha = \min_{\|x\| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.
Soit $\alpha = \min_{\|x\| = r} V(x)$ et on choisit $\beta$ tel que $\beta < \alpha$ et on définit $\Omega_{\beta} = \{ x \in B_r(0) \text{ tel que } V(x) \leq \beta \}$.
$0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.
$0\in \Omega_{\beta}$ car $V(0) = 0$ et $\Omega_{\beta} \subset B_r(0)$.
Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
\begin{align*}
\Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
\Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in \Omega_{\beta}) \\
\Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
\Rightarrow & \|x(t)\| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
\end{align*}
Soit $x_0\in \Omega_{\beta} \subset \D$ : $\dot{V}(x) \leq 0$
\begin{align*}
\Rightarrow & V(x(t)-V(x_0) \leq 0 \quad (\text{ car } \in \D) \\
\Rightarrow & V(x(t)) \leq V(x_0) \leq \beta \quad (\text{ car } x_0 \in \Omega_{\beta}) \\
\Rightarrow & x(t) \in \Omega_{\beta} \subset B_r(0)\\
\Rightarrow & \|x(t)\| \leq \epsilon \quad r \leq \epsilon
\end{align*}
(Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)
(Autrement dit si on part de $\Omega_{\beta}$ on reste dans $\Omega_{\beta}$)
$\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset \Omega_{\beta}$
$\delta(\epsilon)$ est le rayon de la boule de centre O et $\subset \Omega_{\beta}$
\end{proof}
\begin{thm}[Stabilité asymptotique au sens de Lyapounov]
Soient le système $G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
\[ \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{} Q(x) \text{ est définie positive } \]
Soient le système $G:\dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$ et $V:\D \rightarrow\R_+$ une fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
\[ \forall x \in \D, \quad \dot{V}(x) = (\derivp[V]{x})^T f(x) \leq -Q(x), \quad \text{} Q(x) \text{ est définie positive } \]
Alors l'origine est asymptotiquement stable.
Alors l'origine est asymptotiquement stable.
\end{thm}
......@@ -241,55 +250,55 @@ Alors l'origine est asymptotiquement stable.
\begin{exemple}[Cas linéaire]
$\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$
$\dot{x}=Ax$ avec $x\in \R^n$
Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) = 0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)
Soit $P$ une matrice semi définie positive ($P^T = P \text{ et } \lambda(P) = 0 \Leftrightarrow \forall x\in \R^n, x^T P x \geq 0$)
On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov
On définit $V(x) = x^TPx$ fonction de Lyapunov
\begin{align*}
\dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\
& = x^T APx + x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x
\end{align*}
\begin{align*}
\dot{V}(x) & = \dot{x}^T P x + x^T P \dot{x} \\
& = x^T APx + x^T PAx \\&= x^T(A^TP + PA)x
\end{align*}
\emph{Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$}.
\emph{Suivant Lyapunov, A est Hurwitz si et seulement si $Re(\lambda(A)) < 0$}.
$\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.
$\exists P > 0 \text{ tel que } A^TP + PA$ définie négative.
On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive. On a donc $P$ définie positive.
On pose $P = \int_0^{\infty} e^{A^Tt}Qe^{At} dt$ avec $Q$ définie positive. On a donc $P$ définie positive.
\[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = \left[e^{A^Tt}Qe^{At}\right]_0^{\infty}\]
\[ \int_0^{\infty} (A^T e^{A^Tt} Q e^{At} + e^{A^T t} Q e^{At} A)dt = \int_0^{\infty} \dd{e^{A^Tt} Q e^{At}}{t} dt = \left[e^{A^Tt}Qe^{At}\right]_0^{\infty}\]
Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \xrightarrow[t\rightarrow \infty]{} 0$
Si $A$ est Hurwitz : $e^{At} \xrightarrow[t\rightarrow \infty]{} 0$
\[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]
\[A^T P + PA = -Q \text{ définie négative (équation de Lyapunov)} \]
Pour le système linéaire
\[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
$\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité asymptotique
Pour le système linéaire
\[ \dot{V}(x) = x^T (A^T P + PA)x \leq -x^T Q x\]
$\Rightarrow$ Stabilité de Lyapunov $\Leftrightarrow$ Stabilité asymptotique
\end{exemple}
\begin{thm}[Stabilité exponentielle]
Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
\begin{enumerate}
\item $\exists \alpha > 0, \beta > 0$ et $c\geq 1$ tel que
\[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha \|x\|^c \leq V(x) \leq \beta \|x\|^c\]
\item $\exists \gamma > 0$ tel que
\[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma \|x\|^c \]
\end{enumerate}
Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on a aussi la stabilité globale.
Soient le système $G: \dot{x}=f(x)$ et $f(0)=0$, $\exists V : \D \rightarrow \R_+$ fonction de Lyapunov continue et différentiable telle que
\begin{enumerate}
\item $\exists \alpha > 0, \beta > 0$ et $c\geq 1$ tel que
\[ \quad \forall x \in \D, \quad \alpha \|x\|^c \leq V(x) \leq \beta \|x\|^c\]
\item $\exists \gamma > 0$ tel que
\[ \quad \forall x \in \D, \dot{V} \leq - \gamma V \leq - \gamma \|x\|^c \]
\end{enumerate}
Alors l'origine est exponentiellement stable. Si $\D=\R^n$, on a aussi la stabilité globale.
\end{thm}
\begin{proof}
$\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq V(x(0))e^{-\gamma t}$
si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$
\begin{align*}
V(x(0)) & \leq \beta \|x(0)\|^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha \|x(t)\|^c \\
V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\
\beta\|x(0)\|^c e^{-\gamma t} & \geq \qquad \Rightarrow \|x(t)\| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}\|x(0)\|e^{-\frac{\gamma}{c}t}
\end{align*}
$\dot{V} \leq -\gamma V \Rightarrow V(x(t)) \leq V(x(0))e^{-\gamma t}$
si $\dot{\hat{V}}=-\gamma \hat{V}$
\begin{align*}
V(x(0)) & \leq \beta \|x(0)\|^c \\ \text{ et } V(x(t)) & \geq \alpha \|x(t)\|^c \\
V(x(0))e^{-\gamma t} & \geq \\
\beta\|x(0)\|^c e^{-\gamma t} & \geq \qquad \Rightarrow \|x(t)\| \leq (\frac{\beta}{\alpha})^{1/c}\|x(0)\|e^{-\frac{\gamma}{c}t}
\end{align*}
\end{proof}
\begin{corol}
......@@ -307,242 +316,248 @@ si on a la stabilité asymptotique
\]
\begin{exemple}
$\begin{cases}
\dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
\end{cases}$
\dot{x_1} & = -x_1^3 + x_2 ^3 + x_1x_2^2\\\dot{x_2} & = - x_2^2 x_1 - 5x_2^3
\end{cases}$
$(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?
$(x_1,x_2)=(0,0),f(0)=0$ est-il asymptotiquement stable ?
On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x \neq 0$.
On pose $V(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)$. $V(0) = 0$ et $V(x)>0, \forall x \neq 0$.
\[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4 \leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x) \geq 0 \]
\[ \dot{V}(x) = x_1\dot{x_1} + x_2 \dot{x_2} = -x_1^4 + x_1^2 x_2^2 - 5 x_2^4 \leq -\frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq - Q(x) \text{ tel que } Q(x) \geq 0 \]
L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\
L'origine est globalement asymptotiquement stable.\\
Est-il exponentiellement stable ?
Est-il exponentiellement stable ?
\[ \alpha \|x(t)\|^c \leq V(x(t)) \leq \beta \|x(t)\|^c \]
\[ \alpha \|x(t)\|^c \leq V(x(t)) \leq \beta \|x(t)\|^c \]
$\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$
$\beta=1,\alpha=\frac{1}{4}$
\[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4 + x_2^4) \]
\[ \dot{V} \leq - \frac{1}{2}x_1^4 - \frac{9}{2}x_2^4 \leq -\frac{9}{2}(x_1^4 + x_2^4) \]
Pour $\D = \{ \|x\| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.
Pour $\D = \{ \|x\| \leq 1 \}, x_1^2 +x_2^2 \geq x_1^4 + x_2^4$ donc $-(x_1^2 + x_2^2) \leq -(x_1^4+x_2^4)$ : on ne peut pas borner $\dot{V}$ par $V$.
Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
Avec ce $V(x)$ on ne peut décider de la convergence exponentielle.
\end{exemple}
Si on arrive pas a vérifier la stabilité alors le point d'équilibre (ou l'origine) peut-être instable. Dans ce cas, comment vérifier l'instabilité du point d'équilibre (origine)?\\
\begin{thm}[Théorème de Lyapunov d'instabilité]
Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.\\
Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$), tel que
\[\forall x \in \D^*, \quad \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
alors l'origine est instable.
Soit le système G: $x=f(x)$, $f(0)=0$ et $t\geq 0$.
Si $\exists V : \D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_+$ continue, différentiable et définie positive ($0 \in \D$), tel que
\[\forall x \in \D^*, \quad \dot{V}(x) = \left( \frac{\partial V}{\partial x}\right)^T f(x) >0 \]
alors l'origine est instable.
\end{thm}
Le système accumule de l'énergie et deviens instable
\begin{proof}
Instable $\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors $\|x_0\| \leq \delta$ et $\|x\| \geq \epsilon$\\
$\forall \delta > 0$ soit $r \in ]0;\delta[$ tel que:\\
$B_r(0) = \{ x\in \D$ tel que $ \|x\| \leq r \}$ est compact.\\
On pose $\alpha = max_{B_r(0)} V(x)$ et $x_0 \in B_r(0)$\\
$V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
\begin{align*}
\Rightarrow & V(x) > \alpha\\
\Rightarrow & x \notin B_r(0) \\
\Rightarrow & x \in B_r^c(0)\\
\Rightarrow & \|x\|> r
\end{align*}
Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $\|x\| \geq \epsilon > r$
Instable $\Leftrightarrow$ $\exists \epsilon>0$ tel que $\forall \delta >0$, alors $\|x_0\| \leq \delta$ et $\|x\| \geq \epsilon$\\
$\forall \delta > 0$ soit $r \in ]0;\delta[$ tel que:\\
$B_r(0) = \{ x\in \D$ tel que $ \|x\| \leq r \}$ est compact.\\
On pose $\alpha = max_{B_r(0)} V(x)$ et $x_0 \in B_r(0)$\\
$V(x_0) = \alpha$, ainsi $V(x) - V(x_0) >0$ :
\begin{align*}
\Rightarrow & V(x) > \alpha\\
\Rightarrow & x \notin B_r(0) \\
\Rightarrow & x \in B_r^c(0)\\
\Rightarrow & \|x\|> r
\end{align*}
Donc $\exists \epsilon >0$ tel que $\|x\| \geq \epsilon > r$
\end{proof}
\subsection{Théorème simplifiant l'analyse de la stabilité}
\begin{thm}[Théorème de Barbashin-Krasovsky (Stabilité asymptotique)]
Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V} \leq 0\]
Soit $S = \{x \in \D$ tel que $\dot{V(x)} = 0\}$.
Soit $\{0\}$ un point d'équilibre du système $\dot{x} = f(x)$ , où $f:\D \rightarrow \mathbb{R}^n$, localement lipschitzienne. On suppose qu'il existe $V$ continue, différentiable et définie positive telle que \[\dot{V} \leq 0\]
Soit $S = \{x \in \D$ tel que $\dot{V(x)} = 0\}$.
Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement stable.
Si $x=0$ est le seul élément de $S$, alors l'origine est asymptotiquement stable.
\end{thm}
\begin{exemple}
Soit le système :
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} &= -x_1^3 + 2 x_2^3\\\dot{x_2} &= -2x_1x_2^2
\end{cases}
\]
L'origine est un point d'équilibre.\\
\begin{align*}
V(x) &= \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 >0\\
\dot{V(x)} &= x_1\dot{x_1} + x_2\dot{x_2} = -x_1^4 \leq 0
\end{align*}
On ne peut pas conclure sur la stabilité asymptotique car $Q(x) = \frac{1}{2}x_1^4$ ne dépend pas de $x_2$. \\
On utilise le théorème de Barbashin :
\begin{align*}
S = \{x \in \D \text{ tel que }\dot{V(x)} = 0\} \Rightarrow x_1 = 0\\
\Rightarrow & \dot{x_2} = 0\\
\Rightarrow & x_2 = 0\\
\Rightarrow & S = \{0\}\\
\Rightarrow & \text{Stabilité asymptotique}
\end{align*}
Soit le système :
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} &= -x_1^3 + 2 x_2^3\\\dot{x_2} &= -2x_1x_2^2
\end{cases}
\]
L'origine est un point d'équilibre.\\
\begin{align*}
V(x) &= \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 >0\\
\dot{V(x)} &= x_1\dot{x_1} + x_2\dot{x_2} = -x_1^4 \leq 0
\end{align*}
On ne peut pas conclure sur la stabilité asymptotique car $Q(x) = \frac{1}{2}x_1^4$ ne dépend pas de $x_2$. \\
On utilise le théorème de Barbashin :
\begin{align*}
S = \{x \in \D \text{ tel que }\dot{V(x)} = 0\} \Rightarrow x_1 = 0\\
\Rightarrow & \dot{x_2} = 0\\
\Rightarrow & x_2 = 0\\
\Rightarrow & S = \{0\}\\
\Rightarrow & \text{Stabilité asymptotique}
\end{align*}
\end{exemple}
\begin{thm}[Principe d'invariance de LaSalle]
Soient $ \dot{x} = f(x)$ avec $f: \D \rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant tel que $\Omega \subset \D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable tel que $\dot{V} \leq 0 $ dans $\Omega$, $E= \{x \in \Omega$ tel que $ \dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant inclus dans E.
Soient $ \dot{x} = f(x)$ avec $f: \D \rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Omega$ un compact positivement invariant tel que $\Omega \subset \D$, $V:\D\rightarrow\mathbb{R}_+$ continue, différentiable tel que $\dot{V} \leq 0 $ dans $\Omega$, $E= \{x \in \Omega$ tel que $ \dot{V}=0\}$ et M le plus grand ensemble positivement invariant inclus dans E.
Alors toute solution $x$ tel que $x_0 \in \Omega$ converge vers M quand $t \longrightarrow \infty$. Autrement dit $\overline{M}$ est l'attracteur.
Alors toute solution $x$ tel que $x_0 \in \Omega$ converge vers M quand $t \longrightarrow \infty$. Autrement dit $\overline{M}$ est l'attracteur.
\end{thm}
\begin{exemple}[Barbashin]
Soit le système \[
\begin{cases}
\dot{x_1} & =x_2\\ \dot{x_2} & = -h(x_1) - g(x_2)
\end{cases}
\]$h,g:[-a,a] \rightarrow \R$ avec $h(0)=g(0)=0$
Soit le système \[
\begin{cases}
\dot{x_1} & =x_2\\ \dot{x_2} & = -h(x_1) - g(x_2)
\end{cases}
\]$h,g:[-a,a] \rightarrow \R$ avec $h(0)=g(0)=0$
et $\forall x \neq 0, \quad x.h(x) >0 \text{ et } x.g(x) >0$.\\
et $\forall x \neq 0, \quad x.h(x) >0 \text{ et } x.g(x) >0$.\\
L'origine est un point d'équilibre.\\
L'origine est un point d'équilibre.\\
Fonction de Lyapunov candidate :
\[ V(x) = \int_0^{x_1} h(s)ds + \frac{1}{2}x_2^2 \]
Fonction de Lyapunov candidate :
\[ V(x) = \int_0^{x_1} h(s)ds + \frac{1}{2}x_2^2 \]
$x_1 = 0$ et $x_2=0 \Rightarrow V(x)=0$
$x_1 = 0$ et $x_2=0 \Rightarrow V(x)=0$
$x_1 \neq 0$ ou $x_2 \neq 0 \Rightarrow V(x) > 0$
$x_1 \neq 0$ ou $x_2 \neq 0 \Rightarrow V(x) > 0$
donc $V$ est définie positive.\\
donc $V$ est définie positive.\\
\begin{align*}
\dot{V}(x) & = h(x_1) \dot{x_1}+ x_2 \dot{x_2}\\
& = h(x_1)x_1 - x_2h(x_1) - g(x_1)x_2 \\
& = -g(x_2)x_2 \leq -Q(x) \text{ définie positive, dépend de } x_1 \text{ et } x_2
\end{align*}
\begin{align*}
\dot{V}(x) & = h(x_1) \dot{x_1}+ x_2 \dot{x_2}\\
& = h(x_1)x_1 - x_2h(x_1) - g(x_1)x_2 \\
& = -g(x_2)x_2 \leq -Q(x) \text{ définie positive, dépend de } x_1 \text{ et } x_2
\end{align*}
Barbashin :
Barbashin :
$E = \{ x \in \R^2, \dot{V}(x) = 0 \}$
$E = \{ x \in \R^2, \dot{V}(x) = 0 \}$
$\dot{V}(x)=0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x_1}=0$
$\dot{V}(x)=0 \Rightarrow x_2 = 0 \Rightarrow \dot{x_1}=0$
$\dot{x_2} = 0 + x_2 = 0 \Rightarrow h(x_1)=0 \Rightarrow x_1 = 0$
$\dot{x_2} = 0 + x_2 = 0 \Rightarrow h(x_1)=0 \Rightarrow x_1 = 0$
Alors $E=\{0\}$ stabilité asymptotique globale.
Alors $E=\{0\}$ stabilité asymptotique globale.
\end{exemple}
\begin{exemple}[Invariance de La Salle]
Soit le système $\dot{x} = ax + u$, $a$ inconnu mais borné.
Soit le système $\dot{x} = ax + u$, $a$ inconnu mais borné.
$u=-kx$ et $\dot{k}= \gamma x^2, \gamma >0$
$u=-kx$ et $\dot{k}= \gamma x^2, \gamma >0$
On pose $x_1=x$ et $x_2=k$
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} & = ax_1 - x_2x_1 \\\dot{x_2}& = \gamma x_1^2
\end{cases} \]
On pose $x_1=x$ et $x_2=k$
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} & = ax_1 - x_2x_1 \\\dot{x_2}& = \gamma x_1^2
\end{cases} \]
La fonction de Lyapunov candidate
\[ V(x) = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2\gamma} (x_2-b)^2, \quad \text{ avec } b>a \text{ car $a$ est borné} \]
$V(0,b)=0$ et non pas l'origine
La fonction de Lyapunov candidate
\[ V(x) = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2\gamma} (x_2-b)^2, \quad \text{ avec } b>a \text{ car $a$ est borné} \]
$V(0,b)=0$ et non pas l'origine
$V(x) \geq 0, \forall x \in \R^d$
\begin{align*}
\dot{V}(x) & = x_1 \dot{x_1} + \frac{1}{\gamma}(x_2-b)\dot{x_2} \\
& = ax_1^2 - x_1^2 x_2 + (x_2-b)x_1^2 \\
& = x_1^2 (a-b) \leq 0
\end{align*}
$V(x) \geq 0, \forall x \in \R^d$
\begin{align*}
\dot{V}(x) & = x_1 \dot{x_1} + \frac{1}{\gamma}(x_2-b)\dot{x_2} \\
& = ax_1^2 - x_1^2 x_2 + (x_2-b)x_1^2 \\
& = x_1^2 (a-b) \leq 0
\end{align*}
$E = \{ x \in \R^2, \dot{V}=0 \} = \{ x_1 = 0 \}$ : attracteur
$E = \{ x \in \R^2, \dot{V}=0 \} = \{ x_1 = 0 \}$ : attracteur
Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc (attracteur) $x_1 \to 0$
Pour le système de départ, on veut montrer que $x\to0$ ie..e. $x_1 \to 0$ donc (attracteur) $x_1 \to 0$
\end{exemple}
\section{Extension du théorème de Lyapunov aux systèmes non autonomes, i.e. $\dot{x}=f(t,x)$}
\begin{defin}
Un système $G : \dot{x}(t) = f(t,x)$, $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
On considère \emph{un système non autonome}
\[G : \dot{x}(t) = f(t,x)\], $x(t_0=x_0, \forall t\geq t_0$ avec $f(t,0)=0$, $\forall t \geq 0 \Rightarrow x = 0$ est un point d'équilibre.
L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
\[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \| S(t_0,x_0) \| \leq \delta \Rightarrow \| S(t,S(t_0,x_0)) \| \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
L'origine est stable au sens de Lyapunov si et seulement si
\[ \forall \epsilon > 0 \text{ et } t_0 \geq 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } \| S(t_0,x_0) \| \leq \delta \Rightarrow \| S(t,S(t_0,x_0)) \| \leq \epsilon, \forall t \geq t_0 \]
\end{defin}
\begin{thm}[Théorème de Lyapunov]
L'origine du système $G$ est stable au sens de Lyapunov s'il existe une $V:[0,+\infty[ \times \D \rightarrow \R_+$ continue et différentiable telle que :
\begin{itemize}
\item $V(t,0) = 0, \forall t\geq 0$
\item $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
\item $\dot{V}(t,x) = \derivp[V(t,x)]{t} + (\derivp[V(t,x)]{x})^Tf(t,x) \leq 0$, $\forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
\end{itemize}
L'origine du système $G$ est stable au sens de Lyapunov s'il existe une $V:[0,+\infty[ \times \D \rightarrow \R_+$ continue et différentiable telle que :
\begin{itemize}
\item $V(t,0) = 0, \forall t\geq 0$
\item $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
\item $\dot{V}(t,x) = \derivp[V(t,x)]{t} + (\derivp[V(t,x)]{x})^Tf(t,x) \leq 0$, $\forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
\end{itemize}
S'il existe $Q(t,x)$ tel que
\begin{itemize}
\item $Q(t,0)=0, \forall t \geq 0$
\item $Q(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
\item $\dot{V}(t,x) \leq - Q(t,x), \forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
\end{itemize}
Alors l'origine est asymptotiquement stable.\\
Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel que }$
\begin{itemize}
\item $\alpha \|x\|^c \leq V(t,x) \leq \beta \|x\|^c$
\item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma \|x\|^c$
\end{itemize}
Alors l'origine est exponentiellement stable.
S'il existe $Q(t,x)$ tel que
\begin{itemize}
\item $Q(t,0)=0, \forall t \geq 0$
\item $Q(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \D \setminus \{0\}$
\item $\dot{V}(t,x) \leq - Q(t,x), \forall (t,x) \in \R_+ \times \D$
\end{itemize}
Alors l'origine est asymptotiquement stable.\\
Si $\exists \alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0 \text{ et } c \geq 1 \text{ tel que }$
\begin{itemize}
\item $\alpha \|x\|^c \leq V(t,x) \leq \beta \|x\|^c$
\item $\dot{V}(,x) \leq - \gamma \|x\|^c$
\end{itemize}
\end{thm}
Alors l'origine est exponentiellement stable.
\begin{rem}
Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
Si $\D = \R^n$ : l'origine est globalement stable
\end{rem}
\end{thm}
Les démonstrations sont calquées sur celles du cas autonome, avec $x_1 = t \in \R_ +$, $x_2 = x \in \R^n$, $x_2 = x \in \R^n$ donc $\dot{x_1} = 1$ et $\dot{x_2} = f(x_1,x_2)$
\begin{exemple}[Système linéaire non stationnaire]
$\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$
$\dot{x}(t) = A(t) x(t)$ et $x(0)=x_0, t \geq 0$
Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$$P(t) > 9, \forall t \in \R_ +$
Soit $V(t,x)=x^TP(t)x$$P(t) > 9, \forall t \in \R_ +$
$V(t,0) = 0, \forall t \in \R_+$ et $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \R^n \setminus \{0\}$
$V(t,0) = 0, \forall t \in \R_+$ et $V(t,x) > 0, \forall (t,x) \in \R_+ \times \R^n \setminus \{0\}$
\begin{align*}
& \dot{V}(t,x) = x^T(t) \dot{P}(t) x(t) + x^T(t)A^T(t)P(t)x(t) + x^T(t)P(t)A(t)x(t) \leq 0 \\
& \Leftrightarrow \dot{P}(t) + A^T(t)P(t) + P(t)A(t) \leq 0 \\
\end{align*}
Inégalité de Lyapunov dynamique
\begin{align*}
& \dot{V}(t,x) = x^T(t) \dot{P}(t) x(t) + x^T(t)A^T(t)P(t)x(t) + x^T(t)P(t)A(t)x(t) \leq 0 \\
& \Leftrightarrow \dot{P}(t) + A^T(t)P(t) + P(t)A(t) \leq 0 \\
\end{align*}
Inégalité de Lyapunov dynamique
Stabilité asymptotique :
\[ P(t)+A^T(t)P(t) + P(t)A(t) = - Q(t) \]
Équation de Lyapunov dynamique
Stabilité asymptotique :
\[ P(t)+A^T(t)P(t) + P(t)A(t) = - Q(t) \]
Équation de Lyapunov dynamique
\[ \lambda_{min}(P(t)) \|x\|^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t)) \|x\|^{1=c} \]
\[ \lambda_{min}(P(t)) \|x\|^{1=c} \leq V(t,x) \leq \lambda_{max}(P(t)) \|x\|^{1=c} \]
$\forall t \in \R_+, \exists \gamma > 0$
\[ \dot{V}(t,x) \leq -\lambda_{min}(Q(t))\|x\| \] stabilité exponentielle
$\forall t \in \R_+, \exists \gamma > 0$
\[ \dot{V}(t,x) \leq -\lambda_{min}(Q(t))\|x\| \] stabilité exponentielle
\end{exemple}
\begin{rem}
Dans le cas non autonome, la fonction de Lyapunov candidate peut ne pas dépendre du temps, mais elle doit dépendre de toutes les variables d'état.
Dans le cas non autonome, la fonction de Lyapunov candidate peut ne pas dépendre du temps, mais elle doit dépendre de toutes les variables d'état.
\end{rem}
\begin{exemple}
Soit le système non-linéaire
\begin{align*}
\dot{x_1}(t) & = -x_1^3(t) + \sin \omega t x_2(t) \\
\dot{x_2}(t) & = - \sin \omega t x_1(t) - x_2^3(t)
\end{align*}
avec $x_1(0) = x_{10}, x_2(0) = x_{20}$ et $t\geq 0$
L'origine est bien un point d'équilibre. Est-il asymptotiquement stable ?
\begin{align*}
V(x) & = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\
\dot{V}(x) & = x_1 (-x_1^3 + \sin \omega t x_2) + x_2(-\sin \omega t x_1 - x_2^3) \\
& = -x_1^4 - x_2 ^4 \leq 0 \text{ : stable } \\
& \leq - \frac{1}{2}(x_1^4 + x_2^4) = -Q(x) \text{ : globalement aymptotiquement stable }
\end{align*}
Soit le système non-linéaire
\begin{align*}
\dot{x_1}(t) & = -x_1^3(t) + \sin \omega t x_2(t) \\
\dot{x_2}(t) & = - \sin \omega t x_1(t) - x_2^3(t)
\end{align*}
avec $x_1(0) = x_{10}, x_2(0) = x_{20}$ et $t\geq 0$
L'origine est bien un point d'équilibre. Est-il asymptotiquement stable ?
\begin{align*}
V(x) & = \frac{1}{2} x_1^2 + \frac{1}{2}x_2^2 \\
\dot{V}(x) & = x_1 (-x_1^3 + \sin \omega t x_2) + x_2(-\sin \omega t x_1 - x_2^3) \\
& = -x_1^4 - x_2 ^4 \leq 0 \text{ : stable } \\
& \leq - \frac{1}{2}(x_1^4 + x_2^4) = -Q(x) \text{ : globalement aymptotiquement stable }
\end{align*}
\end{exemple}
\section{Stabilité entrées-états (SEE)/ Input-States Stability (ISS)}
......@@ -559,97 +574,116 @@ Soit l'origine un point d'équilibre :
Dans le cas 1, on analyse la stabilité du système en SEE. Dans le cas 2, on analyse localement ($\D$) la stabilité du système en SEE.
\begin{defin}
Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq 0$ et $\exists \alpha \in \Kc\Lc$ et $\exists\gamma \in \Kc_{\infty}$ tels que :
Le système est dit SEE si $\forall u(t)$ et $\forall x_0 \in \R^n$ bornées, il existe une solution $x(t,x_0), \forall t \geq 0$ et $\exists \alpha \in \Kc\Lc$ et $\exists\gamma \in \Kc_{\infty}$ tels que :
\[ \|x(t,x_0)\| \leq \alpha(\|x_0\|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty})\]
\[ \|x(t,x_0)\| \leq \alpha(\|x_0\|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty})\]
$\|u\|_{\infty} = \sup_{t\geq0}\|u(t)\| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
$\|u\|_{\infty} = \sup_{t\geq0}\|u(t)\| = \sup_{t\geq0} (u^Tu)^{1/2}$
\end{defin}
\begin{prop}
Par définition:
\begin{itemize}
\item Pour $u=0$ , l'origine est asymptotiquement stable.
\item Pour $u$ bornée, la trajectoire est bornée.
\end{itemize}
\end{prop}
\begin{rem}
\[ \lim_{t \to \infty} \|x(t,x_0)\| \leq \gamma (\|u\|_{\infty}) \]
\[ \lim_{t \to \infty} \|x(t,x_0)\| \leq \gamma (\|u\|_{\infty}) \]
$\gamma$ gain asymptotique du système
$\gamma$ gain asymptotique du système
\end{rem}
\emph{Cette définition dépend de la trajectoire, alors il faut trouver une condition suffisament indépendante de la trajectoire.}
\begin{exemple}
Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$
Soit le système $\dot{x}= Ax + Bu$
A Hurwitz implique que l'origine est stable.
A Hurwitz implique que l'origine est stable.
Le système est-il SEE ?
\[ x(t,x_0) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) de \tau \]
Le système est-il SEE ?
\[ x(t,x_0) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)} Bu(\tau) de \tau \]
\begin{align*}
\|x(t,x_0)\| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}\|x_0\| + \frac{1}{k} \|B\|.\|u\|_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(\|u\|_{\infty}) \text{} k = -\lambda_{max}(A)
\end{align*}
\begin{align*}
\|x(t,x_0)\| \leq e^{\lambda_{min}(A)t}\|x_0\| + \frac{1}{k} \|B\|.\|u\|_{\infty} = \frac{1}{k} \gamma(\|u\|_{\infty}) \text{} k = -\lambda_{max}(A)
\end{align*}
$\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$
SEE
$\|B\| = \sup_{\|v\|=1} \|Bv\|$ , on a bien un SEE
\end{exemple}
\begin{thm}[Condition suffisante de SEE]
Le système $\dot{x}= f(x,u)$ est SEE si $f$ est lipschitzienne et l'origine (pour $\dot{x}=f(x,0)$) est globalement exponentionellement stable.
\end{thm}
\begin{exemple}
Pour le système $\dot{x} = -x+(1+x^2)u$ :
\begin{itemize}
\item $f(x,0)$ origine exp stable. (car sys linéaire)
\item $f$ n'est pas lipschitzienne pour les deux variables. En effet pour $u=1$ on a $\dot{x} = -x+1+x^2 > 0; \forall x_0$
\end{itemize}
\end{exemple}
\section{Attracteur}
\emph{vu après}
\begin{defin}
Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système
Un ensemble $M \subset D$ est positivement invariant du système
\begin{equation}\label{eq:sys}
G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad \tag{$\ast$}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:sys}
G:\dot{x}(t) = f(x(t)), x(0) = x_0, t\in \R \quad \tag{$\ast$}
\end{equation}
si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$$\chi_t(M) = \{ \chi_t(x), x\in M \}$.\\
si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t\geq 0$$\chi_t(M) = \{ \chi_t(x), x\in M \}$.\\
Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$
Il est négativement invariant suivant la dynamique \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M$ pour $t<0$. Ainsi $M$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys} si $\chi_t(M) \subseteq M, \quad \forall t \in \R$
\end{defin}
\begin{prop}
Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys}, alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant.
Si $M \subset D$ est un ensemble invariant suivant \eqref{eq:sys}, alors $\overline{M}$ l'adhérence de $M$ est invariant.
\end{prop}
\begin{proof}
Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow x$ avec $x\in \overline{M}$.
Soit la suite $(x_n)_{n\in\N} \subset M$ tel que $x_n \rightarrow x$ avec $x\in \overline{M}$.
Puisque $M$ est invariant, alors $(\chi_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $\chi_t(x_n) \rightarrow \chi_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.
Puisque $M$ est invariant, alors $(\chi_t(x_n))_{n\in\N} \subset M$. De plus, $\chi_t(x_n) \rightarrow \chi_t(x) \in \overline{M}$ car c'est un fermé.
Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant \eqref{eq:sys}.
Ainsi, $\overline{M}$ est invariant suivant \eqref{eq:sys}.
\end{proof}
\begin{defin}
Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un \emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $\chi_t(x) \in M$
Un ensemble invariant fermé $M \subset D$ est un \emph{attracteur} du système \eqref{eq:sys}, s'il existe un voisinage $N$ de $M$ tel que $\forall x \in N, \exists t \in \R$ tel que $\chi_t(x) \in M$
\end{defin}
\begin{rem}
Un cycle limite stable ou semi-stable est un attracteur.
Un cycle limite stable ou semi-stable est un attracteur.
\end{rem}
\begin{exemple}
Soit le système :
\[
\begin{cases}
\dot{x_1}(t) = -x_2(t) + x_1(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t)) \\ \dot{x_2}(t) = x_1(t) + x_2(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t))
\end{cases}
\]
Soit le système :
\[
\begin{cases}
\dot{x_1}(t) = -x_2(t) + x_1(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t)) \\ \dot{x_2}(t) = x_1(t) + x_2(t)(1-x_1^2(t) - x_2^2(t))
\end{cases}
\]
En utilisant les coordonnées polaires, on trouve l'attracteur de $M$.\\
En utilisant les coordonnées polaires, on trouve l'attracteur de $M$.\\
On a en effet
$r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ et $ \theta = \arctan\frac{x_2}{x_1}$
On a en effet
$r = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ et $ \theta = \arctan\frac{x_2}{x_1}$
donc
$\dot{r} = \derivp[r]{x_1} \dot{x_1} + \derivp[r]{x_2}\dot{x_2} = r(1-r^2)$ et $\dot{\theta} = \derivp[\theta]{x_1}\dot{x_1} + \derivp[\theta]{x_2}\dot{x_2} = 1$\\
donc
$\dot{r} = \derivp[r]{x_1} \dot{x_1} + \derivp[r]{x_2}\dot{x_2} = r(1-r^2)$ et $\dot{\theta} = \derivp[\theta]{x_1}\dot{x_1} + \derivp[\theta]{x_2}\dot{x_2} = 1$\\
Ainsi,
Ainsi,
$r>1 \quad \dot{r}<0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
$r>1 \quad \dot{r}<0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
$r<1 \quad \dot{r}>0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
$r<1 \quad \dot{r}>0 \Rightarrow r \rightarrow 1$
$r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 / \{(0,0)\}$ car $x_1=x_2=0$ est un point d'équilibre, les trajectoires convergent vers le cercle unité. Suivant le théorème de Poincaré-Bendixon le cercle unité est un cycle limite, car c'est un compact et ne contient pas de point d'équilibre.
$r=1$ un fermé $\Rightarrow$ Attracteur où $\forall (x_1,x_2) \in \R^2 / \{(0,0)\}$ car $x_1=x_2=0$ est un point d'équilibre, les trajectoires convergent vers le cercle unité. Suivant le théorème de Poincaré-Bendixon le cercle unité est un cycle limite, car c'est un compact et ne contient pas de point d'équilibre.
\end{exemple}
\end{document}
%%% Local Variables:
......
......@@ -205,7 +205,7 @@ Pour déterminer \emph{l'index topologique} on utilise la méthode suivante:
\end{enumerate}
Ainsi \emph{l'index topologique} est la mesure de l'angle (modulo $2\pi$) que l'extrimité des vecteurs $(f(x_i))$ parcourt dans le sens trigonométrique.
\end{defin}
\begin{figure}[H]
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}
\node (x) at (0,0) {$\bullet$} node[above]{$\overline{x}$};
......
......@@ -6,12 +6,12 @@
\begin{document}
\section{Introduction (notations maths)}
\begin{defin}[Champ de vecteur]
C'est une application de $\R^n \rightarrow \R^n$.
\begin{defin}
On appelle \emph{champ de vecteur} toute application de $\R^n \rightarrow \R^n$.
\end{defin}
\begin{defin}[Crochet de Lie]
Soit $f : \R^n \rightarrow \R^n$ et $g : \R^n \rightarrow \R^n$, on définit le crochet de Lie :
\begin{defin}
Soit $f : \R^n \rightarrow \R^n$ et $g : \R^n \rightarrow \R^n$, on définit le \emph{crochet de Lie} :
\[ [f,g] :
\begin{cases}
\R^n & \rightarrow \R^n \\ x & \mapsto J_g(x)f(x) - J_f(x)g(x)
......@@ -30,9 +30,9 @@ Alors
[f,f] = 0 \quad
\end{align*}
\end{prop}
\begin{defin}[Algèbre de Lie]
$G$ est une algèbre de Lie sur $\K$ si $G$ est un espace vectoriel ayant pour loi interne le crochet de Lie.
\newpage
\begin{defin}
$G$ est une \emph{algèbre de Lie} sur $\K$ si $G$ est un espace vectoriel ayant pour loi interne le crochet de Lie.
\end{defin}
\begin{rem}
......@@ -51,8 +51,8 @@ $ad_f^1 g(x) = [f,g](x)$
$ad_f^k g(x) = [f,ad_f^{k-1}g](x)$
\begin{defin}[Dérivée de Lie]
la dérivée de Lie d'une fonction $\alpha : \R^n \rightarrow \R$ dans la direction de $f : \R^n \rightarrow \R^n$, notée $L_f\alpha$, est définie par :
\begin{defin}
la \emph{dérivée de Lie} d'une fonction $\alpha : \R^n \rightarrow \R$ dans la direction de $f : \R^n \rightarrow \R^n$, notée $L_f\alpha$, est définie par :
\[L_f \alpha(x) = \sum_{i=1}^n \derivp[\alpha(x)]{x_i}f_i(x) \]
Ainsi,
......@@ -70,8 +70,8 @@ L_{[f,g]} \alpha(x) & = L_f L_g \alpha(x) - L_gL_f \alpha(x)
\end{itemize}
\end{rem}
\begin{defin}[dimension]
La dimension d'un ensemble de champs de vecteurs $E=\{f_1(x) \dots f_n(x)\}$, où $f_i(x) : \R^n \rightarrow \R^n$, est la dimension de l'espace vectoriel $\Delta(x)$ engendré par l'ensemble $E$.
\begin{defin}
La \emph{dimension} d'un ensemble de champs de vecteurs $E=\{f_1(x) \dots f_n(x)\}$, où $f_i(x) : \R^n \rightarrow \R^n$, est la dimension de l'espace vectoriel $\Delta(x)$ engendré par l'ensemble $E$.
\begin{rem}
On fait la confusion entre rang et dimension.
......@@ -96,7 +96,7 @@ Soit le système non-linéaire (1) (affine en la commande)
\[ \dot{x} = f(x) + g(x)u = f(x) + \sum_{i=1}^m g_i(x) u_i, \quad x \in \R^n \text{ et }u \in \R^m \]
\begin{defin}[Commandabilité]
Un système est commandable ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
Un système est\emph{ commandable} ssi $\forall x \in \R^n, \exists u$ tel que $x$ est atteignable dans un temps fini.
\end{defin}
\begin{thm}[Théorème de Commandabilité]
......@@ -123,8 +123,8 @@ Soit le système NL (2) (affine en la commande) :
y & = h(x)
\end{align*}
\begin{defin}[Observabilité]
Un système est observable si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
\begin{defin}
Un système est \emph{observable} si $\forall x_1,x_2 \in \R^n$ 2 conditions initiales telles que $x_1 \neq x_2$, $\exists$ une commande $u$ admissible telle que les sorties soient distinctes, $\forall t \geq t_0$ ($t_0$ instant initial).
\end{defin}
\begin{defin}[Espace d'observabilité]
......@@ -159,3 +159,8 @@ l'action de la commande intervient dans l'observabilité. Cette contrainte est
\end{rem}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End:
......@@ -6,6 +6,8 @@
\teacher{Mohamed Abbas Turkis}
\module{424 \\ Commandes de système non linéaires}
\usepackage{multicol}
\usetikzlibrary{decorations.markings}
\usetikzlibrary{patterns}
\begin{document}
\maketitle
......@@ -20,7 +22,6 @@
\subfile{chap3.tex}
\chapter{Stabilité des systèmes non linéaires}
\subfile{chap4.tex}
\chapter{Commandabilité et observabilité en non linéaire}
\subfile{chap5.tex}
\end{document}
......
......@@ -91,7 +91,7 @@ L'estimateur devient :
\section{Interprétation bayésienne}
\section{Application à un cas simple d'observation multiple}
\section{Application à la déconvolution problème d'optimisation}
\section{Appliation de ma méthodologie bayésienne}
\section{Application de ma méthodologie bayésienne}
......
......@@ -9,7 +9,7 @@ find . -name "main.tex" -execdir sh -c "pwd && pdflatex -shell-escape -interact
mkdir "public"
for i in `find . -maxdepth 1 -type d -regex \.\/[0-9].*?`;do
cp $i/Cours/main.pdf ./public/${i:2}.pdf;
cp -f $i/Cours/main.pdf ./public/${i:2}.pdf;
done;
#clean up :
shopt -s globstar
......