424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap4.tex

@@ -19,7 +19,15 @@ On prend $x=X\sin \omega t$. Dans le cas linéaire, seule la valeur de $\omega$
 
 \begin{figure}[h!]
 \centering
-\includegraphics[scale=0.4]{2/424-1.png}
+\begin{tikzpicture}
+  \draw[-latex] (-4,0) -- (4,0)node[above]{$Re$};
+  \draw[-latex] (0,-4) -- (0,4)node[left]{$Im$};
+  \draw (0,0) to[out=110,in=0]  (-2,1)   to[out=180,in=80] (-4,-3) node[below]{$X_1$};
+  \draw (0,0) to[out=130,in=0] (-1,0.7)  to[out=180,in=80] (-3,-3)node[below]{$X_2$};
+  \draw (0,0) to[out=150,in=0] (-0.5,0.3) to[out=180,in=80](-2,-3) node[below]{$X_3$};
+  \node[above] at (-2,1) {$T_{BO}$};
+\end{tikzpicture}
+ \caption{Modification du lieu en fonction de l'amplitude}
 \end{figure}
 
 Puisque $H(p)$ rejette les harmoniques d'ordre supérieur à 1, on peut donc décomposer \[y(t)=P \sin \omega t + Q \cos \omega t\]
@@ -294,24 +302,36 @@ i.e. en notant $\left.\derivp[]{X}\right|_{\zero}=\left.\derivp[]{X}\right|_0$
   \centering
   \begin{tikzpicture}
     \begin{axis}
-      [axis lines= middle,
-      ticks=none, domain=0:10,
-      xmin=0,xmax=10,ymin=-2,ymax=2]
-      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))};
-      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(exp(x/10))};
-
+      [axis lines= middle,scale=0.8,
+      ticks=none, domain=0:10,samples=100,
+      xmin=0,xmax=10,ymin=-2,ymax=2,clip=false]
+      \addplot[black,smooth,dashed]{cos(2*deg(x))};
+      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(1+0.3*exp(x/8))};
+      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(1+0.3*exp(-x/5))};
+      \draw[-latex] (axis cs: -0.1,1) -- (axis cs: -0.1,1.3) node[midway,left]{$\delta x >0 $};
+      \draw (axis cs:10,1.5) node[right]{$m>0$};
+      \draw (axis cs:10,0.5) node[right]{$m<0$};
     \end{axis}
+  \end{tikzpicture}\qquad%
+  \begin{tikzpicture}
+  \begin{axis}
+      [axis lines= middle,scale=0.8,
+      ticks=none, domain=0:10,samples=100,
+      xmin=0,xmax=10,ymin=-2,ymax=2,clip=false]
+      \addplot[black,smooth,dashed]{cos(2*deg(x))};
+      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(1-0.3*exp(x/8))};
+      \addplot[black,smooth]{cos(2*deg(x))*(1-0.3*exp(-x/5))};
+      \draw[-latex] (axis cs: -0.1,1) -- (axis cs: -0.1,0.7) node[midway,left]{$\delta x< 0$};
+      \draw (axis cs:10,0) node[right]{$m>0$};
+      \draw (axis cs:10,0.5) node[right]{$m<0$};
+    \end{axis}
+  
   \end{tikzpicture}
-\includegraphics[scale=0.4]{2/424-61.png}
 \end{figure}
 $m > 0$ et $\delta X > 0$ : CL est stable
 
 $m < 0$ et $\delta X > 0$ : CL est instable
 
-\begin{figure}[h!]
-\centering
-\includegraphics[scale=0.4]{2/424-62.png}
-\end{figure}
 $\delta X < 0$ et $m < 0$ : CL est stable
 
 $\delta X < 0$ et $m > 0$ : CL est instable

424-Systeme_Non_Lineaires/Cours/chap5.tex

@@ -45,12 +45,6 @@ Ainsi la stabilité suivant Lagrange est qu'un petit changement borné sur $x^*$
 
 Sans perte de généralité, on considère le point d'équilibre $x^* = 0$.
 
-% \img{0.5}{4/lag}
-
-
-\begin{center}
-  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{4/lag.png} %HALLELUJAH !
-\end{center}
 
 \begin{rem}
   La stabilité suivant lagrange n'implique pas la convergence mais seulement la bornitude\footnote{sic.} (la trajectoire reste bornée), ce n'est pa suffisant pour faire de l'automatique, il faut pouvoir garantir la convergence. On utilise donc la stabilité au sens de Lyapounov
@@ -67,10 +61,6 @@ Attention : il n'y a pas d'implication entre les deux.
 \begin{rem}
   C'est $\varepsilon$ qui controle $\delta$.
 \end{rem}
-\begin{center}
-  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{4/lya.png}
-\end{center}
-
 \begin{rem}
   La condition de Lagrange est sur la bornitude de la trajectoire (quelles que soient les conditions initiales, on borne la solution). Par contre, la condition de Lyapunov est sur la convergence dans un voisinage (il existe des conditions initiales pour lesquelles les trajectoires convergent vers $x^*$).
 \end{rem}