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\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}
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\author{Pierre-Antoine \textsc{Comby}, Thomas \textsc{Bauvent}}
\title{TP -Probabilités}
\date{}
%\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
%\renewcommand{\thesubsection}{\Roman{subsection}}


\newcommand{\deriv}[2][]{\frac{\d#1}{\d#2}}
\newcommand{\derivp}[2][]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}
\newcommand{\derivpp}[2][]{\frac{\partial^2#1}{\partial#2^2}}

\usepackage{color} %red, green, blue, yellow, cyan, magenta, black, white
\definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0} % color values Red, Green, Blue
\definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241}


\let\vec\mathbf
\begin{document}
	\maketitle


\lstset{language=Matlab,%
	%basicstyle=\color{red},
	breaklines=true,%
	morekeywords={matlab2tikz},
	keywordstyle=\color{blue},%
	morekeywords=[2]{1}, keywordstyle=[2]{\color{black}},
	identifierstyle=\color{black},%
	stringstyle=\color{mylilas},
	commentstyle=\color{mygreen},%
	showstringspaces=false,%without this there will be a symbol in the places where there is a space
	numbers=left,%
	numberstyle={\tiny \color{black}},% size of the numbers
	numbersep=9pt, % this defines how far the numbers are from the text
	%emph=[1]{for,end,break},emphstyle=[1]\color{red}, %some words to emphasise
	emph=[1]{beta}, emphstyle=[2]{black},    
}

\begin{abstract}
	On étudie ici un canal de transmission binaire imparfait. On expérimente une méthode de correction des erreurs par répétition de la transmission puis on caractérise le canal (probabilité d'erreur), et le canal équivalent après corrections. 
\end{abstract}

\section*{Résultats préliminaires (cf TD)}
Le meilleur estimateur du maximum \textit{a posteriori} est celui du vote à la majorité (on prend pour valeur celle qui est la plus souvent reçue parmis les 3 bits envoyés).
Le calcul de la probabilité d'erreur est :
\begin{align*}
 p_B &= P(x=0|0x0)P(0x0,C) + P(x=1|1x0)P(1x0) + P(x=1|2x0)P(2x0)+P(x=1|3x0)P(3x0) \\
 	 &=\dots\\ 
 	 &= p^2(3-2p)
\end{align*}
\section*{Codage à 3 répétitions}
\subsection*{Affichage des données bruités}
\begin{figure}[H]
	\begin{subfigure}{.3\textwidth}
\begin{lstlisting}
clearvars; 
close all;
load DataTP;
figure(1);
subplot(2,2,1);
imagesc(s);
subplot(2,2,2);
imagesc(r1);
subplot(2,2,3);
imagesc(r1);
subplot(2,2,4);
imagesc(r1);
\end{lstlisting}
	\end{subfigure}%
	\begin{subfigure}{.7\textwidth}
		\centering
		\includegraphics[width=\textwidth]{rawData.png}
		\caption{Aperçu des données envoyées et reçues}
	\end{subfigure}	
\end{figure}

\subsection*{Application de l'estimateur à la majorité}
\begin{lstlisting}
	r = round((r1 + r2 + r3) / 3);
	figure(2);
	imagesc(r);
\end{lstlisting}
\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=.7\textwidth]{decodedData.png}
\end{figure}	
\section*{Estimation de la probabilité d'erreur\\(estimation de canal)}
Avec le code suivant on obtient les valeurs reportées dans le tableau ci-après.

\begin{lstlisting}
nbBit = size(s, 1) * size(s, 2);
nbErreur(1) = sum(sum(abs(r1 - s)));
nbErreur(2) = sum(sum(abs(r2 - s)));
nbErreur(3) = sum(sum(abs(r3 - s)));
nbErreur(4) = sum(sum(abs(r - s)));
nbErreur(5) = sum(nbErreur(1:3));
alpha = [0, 0, 0, 0, 0];
beta = [0, 0, 0, 0, 0];
esperance = [0, 0, 0, 0, 0];
variance = [0, 0, 0, 0, 0];
for i = 1:5
	alpha(i) = nbErreur(i) + 1;
	if (i == 5)
		beta(i) = 3 * nbBit - nbErreur(i) + 1;
	else
		beta(i) = nbBit - nbErreur(i) + 1;
	end
	esperance(i) = alpha(i) / (alpha(i) + beta(i));
	variance(i) = alpha(i) * beta(i) / ((alpha(i) + beta(i))^2 * (alpha(i) + beta(i) + 1));

end
\end{lstlisting}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
	\hline 
	loi de probabilité de l'erreur & bit 1 & bit 2 & bit 3 & erreur totale & erreur après décodage \\ 
	\hline 
	espérance & 0.1032 & 0.1026 & 0.0934  & 0.0999 & 0.0286\\ 
	\hline 
	variance & 3.46e-6 & 3.45e-6 & 3.17e-6  & 1.12e-6 & 1.04e-6\\ 
	\hline 
\end{tabular} 
\end{center}
L'application de l'estimateur à la majorité permet de  fortement réduire le bruit  sur l'image (la probabilité qu'un changement de bit s'opère lors de la transmission)

La valeur théorique donne $p_b= 0.028$ pour $p=0.1$. On retrouve se résultat dans notre manipulation.

\section*{Code à 9 répétitions}

L'opération se généralise pour 9 répétitions, la qualité de l'image reçu en est améliorée.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
	\hline 
	loi de probabilité de l'erreur & erreur totale & erreur après décodage \\ 
	\hline 
	esperance  & 0.1 & 8.6239e-4 \\ 
	\hline 
	variance  & 3.74e-7& 3.23e-8 \\ 
	\hline 
\end{tabular}  
\end{center}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=.5\textwidth]{decodedData9.png}
	\caption{Image reconstituée après l'estimateur à la majorité pour 9 répétitions}
\end{figure}


\section*{Conclusion}
La répétition de l'envoi des données permets de réduire l'erreur de transmission malgré tout la méthode montre ses limites, puisque elle n'élimine pas toutes les erreurs même avec une répétition élevée et donc coûteuse.


\end{document}