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 ... ... @@ -308,7 +308,7 @@ Finally, we can treat some cases directly, because we were able to find an explicit solution (which all satisfy the conjectures). When S ⩽ N, it can be proven by a short mathematical study that a tree of that shape is optimal: shape is optimal — and is indeed non-transitive: x x x x x x │ ... ... @@ -383,11 +383,18 @@ Score ⩽ Sc(i). This holds for all i, so Score ⩽ min_i Sc(i). It turns out that for S ⩽ N, we can combine those optimal cuts to obtain the tree drawed above. Hence this tree has Score = min_i Sc(i), which proves that it is optimal. is optimal. Moreover, we prove non-transitivity by a mathematical study. The degree-two polynomial Sc(i) is maximal at i = 1 and i = S, and minimal at i = S/2 when S is odd, or i = (S±1)/2) when S is even. The minimum value is Sc(s/2) = (S−1)×(3S+1) / 4 when S is odd, Sc((S±1)/2) = Sc(S/2) + ¼ when S is even, which is greater than S²/2 for all S ⩾ 3. Similarly, when S = N+1, there is at least one level which is a cut for two columns i and j. A quick mathematical analysis shows that the maximal such cut is obtained with i = 1 and j = S, both going left by 1. The tree drawed above columns i and j. Another quick analysis shows that the maximal such cut is obtained with i = 1 and j = S, both going left by 1. The tree drawed above precisely exploits this, hence is optimal too. The same kind of analysis is enough to treat the case where S = N+2, and we ... ...
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 sed '/^ ||/d' \ | sed '/^ ↓/d' \ | sed '/^ probabilities = /d' \ | sed '/^\*\$/{N;s/\*\n/ \*/;};' \ | sed '/(N,S)/{N;N;s/^(N,S) = (\([0-9]\+\),\([0-9]\+\))\n\( \*\)\?.*= \([0-9]\+ \/ [0-9]\+\) = \([0-9]\+\.[0-9]\{,3\}\).*\n%.* in \([0-9.]\+\) seconds.*\$/ \1 \2 \6 \4 ~ \5\3/;}' \ | sed '/^\$/d'
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 Die: [2,2,5] Die: [1,4,4] Die: [3,3,3] probabilities = [2 rdiv 3,5 rdiv 9,2 rdiv 3] minimum probability = 5 rdiv 9 ~ 0.5555555555555555 | 3 | 3 | 0.009 | 5 / 9 ~ 0.56 | Die: [2,2,5,5] Die: [1,4,4,4] Die: [3,3,3,6] probabilities = [5 rdiv 8,5 rdiv 8,9 rdiv 16] minimum probability = 9 rdiv 16 ~ 0.5625 | 3 | 4 | 0.013 | 9 / 16 ~ 0.56 | Die: [2,2,2,5,5] Die: [1,1,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3] probabilities = [3 rdiv 5,16 rdiv 25,3 rdiv 5] minimum probability = 3 rdiv 5 ~ 0.6 | 3 | 5 | 0.014 | 15 / 25 ~ 0.60 | Die: [2,2,2,5,5,5] Die: [1,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,6] probabilities = [7 rdiv 12,7 rdiv 12,25 rdiv 36] minimum probability = 7 rdiv 12 ~ 0.5833333333333333 | 3 | 6 | 0.019 | 21 / 36 ~ 0.58 | Die: [2,2,2,2,5,5,5] Die: [1,1,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [31 rdiv 49,29 rdiv 49,30 rdiv 49] minimum probability = 29 rdiv 49 ~ 0.5918367346938775 | 3 | 7 | 0.037 | 29 / 49 ~ 0.59 | Die: [2,2,2,2,2,5,5,5] Die: [1,1,1,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [5 rdiv 8,39 rdiv 64,5 rdiv 8] minimum probability = 39 rdiv 64 ~ 0.609375 | 3 | 8 | 0.043 | 39 / 64 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,5,5,5,5] Die: [1,1,1,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [49 rdiv 81,17 rdiv 27,16 rdiv 27] minimum probability = 16 rdiv 27 ~ 0.5925925925925926 | 3 | 9 | 0.068 | 48 / 81 ~ 0.59 | Die: [2,2,2,2,2,2,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [3 rdiv 5,16 rdiv 25,3 rdiv 5] minimum probability = 3 rdiv 5 ~ 0.6 | 3 | 10 | 0.122 | 60 / 100 ~ 0.60 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [7 rdiv 11,72 rdiv 121,7 rdiv 11] minimum probability = 72 rdiv 121 ~ 0.5950413223140495 | 3 | 11 | 0.160 | 72 / 121 ~ 0.60 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [89 rdiv 144,11 rdiv 18,11 rdiv 18] minimum probability = 11 rdiv 18 ~ 0.611111111111111 | 3 | 12 | 0.225 | 88 / 144 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [8 rdiv 13,105 rdiv 169,8 rdiv 13] minimum probability = 8 rdiv 13 ~ 0.6153846153846153 | 3 | 13 | 0.367 | 104 / 169 ~ 0.62 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6,6,6] probabilities = [17 rdiv 28,17 rdiv 28,121 rdiv 196] minimum probability = 17 rdiv 28 ~ 0.6071428571428571 | 3 | 14 | 0.546 | 119 / 196 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [2 rdiv 3,3 rdiv 5,3 rdiv 5] minimum probability = 3 rdiv 5 ~ 0.6 | 3 | 15 | 0.771 | 135 / 225 ~ 0.60 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [5 rdiv 8,39 rdiv 64,5 rdiv 8] minimum probability = 39 rdiv 64 ~ 0.609375 | 3 | 16 | 1.078 | 156 / 256 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [177 rdiv 289,179 rdiv 289,176 rdiv 289] minimum probability = 176 rdiv 289 ~ 0.6089965397923874 | 3 | 17 | 1.670 | 176 / 289 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [11 rdiv 18,203 rdiv 324,11 rdiv 18] minimum probability = 11 rdiv 18 ~ 0.611111111111111 | 3 | 18 | 2.345 | 198 / 324 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6,6] probabilities = [225 rdiv 361,218 rdiv 361,221 rdiv 361] minimum probability = 218 rdiv 361 ~ 0.6038781163434902 | 3 | 19 | 4.294 | 218 / 361 ~ 0.60 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [31 rdiv 50,61 rdiv 100,247 rdiv 400] minimum probability = 61 rdiv 100 ~ 0.61 | 3 | 20 | 5.939 | 244 / 400 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [13 rdiv 21,272 rdiv 441,13 rdiv 21] minimum probability = 272 rdiv 441 ~ 0.6167800453514739 | 3 | 21 | 8.128 | 272 / 441 ~ 0.62 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [295 rdiv 484,151 rdiv 242,147 rdiv 242] minimum probability = 147 rdiv 242 ~ 0.6074380165289256 | 3 | 22 | 14.446 | 294 / 484 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [14 rdiv 23,333 rdiv 529,14 rdiv 23] minimum probability = 14 rdiv 23 ~ 0.608695652173913 | 3 | 23 | 23.979 | 322 / 529 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6,6] probabilities = [89 rdiv 144,11 rdiv 18,11 rdiv 18] minimum probability = 11 rdiv 18 ~ 0.611111111111111 | 3 | 24 | 30.388 | 352 / 576 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [77 rdiv 125,77 rdiv 125,384 rdiv 625] minimum probability = 384 rdiv 625 ~ 0.6144 | 3 | 25 | 42.308 | 384 / 625 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [8 rdiv 13,105 rdiv 169,8 rdiv 13] minimum probability = 8 rdiv 13 ~ 0.6153846153846153 | 3 | 26 | 63.355 | 416 / 676 ~ 0.62 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [443 rdiv 729,457 rdiv 729,442 rdiv 729] minimum probability = 442 rdiv 729 ~ 0.6063100137174211 | 3 | 27 | 108.068 | 442 / 729 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [487 rdiv 784,239 rdiv 392,243 rdiv 392] minimum probability = 239 rdiv 392 ~ 0.6096938775510203 | 3 | 28 | 155.637 | 478 / 784 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3] probabilities = [18 rdiv 29,517 rdiv 841,18 rdiv 29] minimum probability = 517 rdiv 841 ~ 0.61474435196195 | 3 | 29 | 219.900 | 517 / 841 ~ 0.61 | Die: [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5] Die: [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4] Die: [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,6] probabilities = [46 rdiv 75,31 rdiv 50,551 rdiv 900] minimum probability = 551 rdiv 900 ~ 0.6122222222222221 | 3 | 30 | 339.375 | 551 / 900 ~ 0.61 |
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