Commit 074334e3 authored by nanored's avatar nanored

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\chapter{Modélisation}
\myminitoc
\sect{Introduction}
\paragraph{}
Ce cours a pour but de d'identifier les problèmes difficiles (ou du moins donc on ne connaît pas encore de solution rapide) et les problèmes faciles. On verra alors l'importance de la convexité dans cette identification. Et on verra bien sûr comme résoudre les problèmes faciles en pratique.
\paragraph{}
Voici par exemple un problème facile :
\begin{equation*}
\text{(LP)} \quad
\begin{array}{llr}
\min & c^\trans x \\
\text{s.t.} & a_i^\trans x \leqslant b_i & i = 1, ..., m
\end{array}
\end{equation*}
C'est un programme linéaire (LP). Il peut très bien être résolu avec $n = 1000$ variables et $m = 10000$ contraintes. Si les vecteurs $a_i$ et le vecteur $c$ sont creux alors $n$ et $m$ peuvent même être bien plus grands. De même mes le problème des moindres carrés (LS) est un problème facile :
$$ \text{(LS)} \quad \min \| Ax - b \|_2^2 $$
Ici $A \in \R^{m \times n}$ et $b \in \R^m$ sont les paramètres. $x \in \R^n$ est le vecteur à optimiser. En ajoutant des contraintes affines comme dans le programme linéaire, le problème reste facile.
\paragraph{}
Si $p$ est un polynôme de degré $d$ et $x$ appartient à $\R^n$ alors le problème :
$$ \min_x p(x) $$
Est un problème très difficile. Simplement avec $n = 20$ et $d = 10$ trouver une solution est presque inatteignable. Les algorithmes connus on une complexité exponentielle en $n$ ...
\paragraph{}
On a longtemps pensé que les problèmes faciles étaient ceux linéaires et les problèmes difficiles, ceux nn linéaires. En réalité la difficulté des problèmes d'optimisation se joue sur la convexité.
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\mytitle{Convex Optimization}
\author{
Notes écrites par \\
Yoann Coudert--Osmont \\
\texttt{ycoudert@ens-paris-saclay.fr}
\and
\qquad D'après un cours de \qquad \\
\qquad Alexandre d'Aspremont \qquad \\
\qquad ENS Ulm, INRIA \qquad
}
\date\today
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